konvexitätskriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mo 06.06.2005 | | Autor: | miriam_h |
In dem Buch Analysis 1 von Walter wird die Konvexität über die Tangente definiert: der Funktionsgraph liegt oberhalb der Tangenten an jeden [mm] x_{0}. [/mm] Ich soll jetzt das folgende Konvexitätskriterium beweisen: Die Funktion f ist genau dann auf einen Intervall I konvex, wenn ihre Ableitungsfunktion monoton wachsend ist.
Walters Beweis dazu habe ich auch einigermaßen verstanden, habe aber noch ein Problem.
Hier zunächst der Beweis:
Sei f stetig auf I=[a,b] und differenzierbar auf (a,b).
Voraussetzung: f ist konvex auf I, d.h. zu jedem Punkt [mm] x_{0} [/mm] aus dem Innern (a,b) von I gilt für die Tangentenfunktion in [mm] x_{0} [/mm] an f : t(x)<=f(x), falls [mm] x_{0}\not=x [/mm]
Z.z.: Die Ableitung ist auf I monoton wachsend,
Fallunterscheidung: 1.Fall: [mm] X_{0}x [/mm]
1.Fall:
Nach dem Mittelwertsatz gilt: [mm] \exists [/mm] Xi [mm] \in (x,x_{0}) [/mm] mit Ableitung von Xi = [mm] f(x_{0})-f(x)/x_{0}-x
[/mm]
Die Voraussetzung kann ich äquivalent umformen, mit dem MWS ergibt das dann: Ableitung an der Stelle Xi [mm] \le [/mm] Ableitung an der Stelle x
womit laut Walter die Monotonie der Ableitung (für den ersten Fall) bewiesen ist.
Mein Problem lautet nun:
Warum habe ich mit den Xi's alle x [mm] \le x_{0} [/mm] abgedeckt?
Für Hilfe wäre ich unendlich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Sa 11.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
> Hier zunächst der Beweis:
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> Sei f stetig auf I=[a,b] und differenzierbar auf (a,b).
> Voraussetzung: f ist konvex auf I, d.h. zu jedem Punkt
> [mm]x_{0}[/mm] aus dem Innern (a,b) von I gilt für die
> Tangentenfunktion in [mm]x_{0}[/mm] an f : t(x)<=f(x), falls
> [mm]x_{0}\not=x[/mm]
>
>
> Z.z.: Die Ableitung ist auf I monoton wachsend,
>
> Fallunterscheidung: 1.Fall: [mm]X_{0}x[/mm]
>
> 1.Fall:
>
> Nach dem Mittelwertsatz gilt: [mm]\exists[/mm] Xi [mm]\in (x,x_{0})[/mm] mit
> Ableitung von Xi = [mm]f(x_{0})-f(x)/x_{0}-x[/mm]
>
> Die Voraussetzung kann ich äquivalent umformen, mit dem MWS
> ergibt das dann: Ableitung an der Stelle Xi [mm]\le[/mm] Ableitung
> an der Stelle x
> womit laut Walter die Monotonie der Ableitung (für den
> ersten Fall) bewiesen ist.
>
> Mein Problem lautet nun:
> Warum habe ich mit den Xi's alle x [mm]\le x_{0}[/mm] abgedeckt?
Das ist ganz einfach: Deine Voraussetzung für Fall 1. war lediglich dass [mm] X_0 [/mm] < x, d.h. dieser Fall gilt für alle solchen x für jedes [mm] X_0.
[/mm]
Die Logik ist: du suchst dir erst ein [mm] X_0 [/mm] aus, für das du zeigen willst, dass df(x) monoton ist für alle x > [mm] X_0, [/mm] d.h. du hältst [mm] X_0 [/mm] fest. Jetzt betrachtest du alle x die größer als [mm] X_0 [/mm] sind und erhältst deswegen aus dem Mittelwertsatz, dass ein [mm] X_i \in (X_0,x) [/mm] ex., für das die Ableitung [mm]df(X_i) = (f(x) - f(X_0))/(x - X_0) \le df(x)[/mm] ist. So ein Punkt mit solch einer Ableitung existiert für alle x > [mm] X_0 [/mm] die du wählst, also muss auch für alle x > [mm] X_0 [/mm] gelten dass die Ableitung [mm] df(x_i) \le [/mm] df(x) für alle [mm] X_0 [/mm] < [mm] x_i [/mm] < x.
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> Für Hilfe wäre ich unendlich dankbar.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ich hoffe ich konnte es dir einigermaßen erklären, auch wenn das nicht unbedingt eine meiner Stärken ist ;)
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