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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Fr 08.07.2011 | | Autor: | kalor |
hallo
Ich habe eine konzeptionelle Frage zu Beweise mit vollständiger Induktion. Wenn ich eine Aussage $\ [mm] \mathcal{A}(k) [/mm] $ beweisen möchte, dann mache ich zuerst einen Induktionsverankerung. Nehmen wir an für $\ k=0$. Dann mache ich ja die Induktionsvoraussetzung, dass die Aussage für ein $\ k $ stimmt und ich möchte daraus die Richtigkeit der Aussage $\ [mm] \mathcal{A}(k+1) [/mm] $ zeigen.
Wenn ich jetzt den Beweise führe, und ich kann meine Aussage z.B. wie folgt "aufteilen":
$\ [mm] \mathcal{A}(k+1) [/mm] = [mm] \mathcal{A}(k)\mathcal{A}(1) [/mm] $
dann kann ich ja sicher für $\ [mm] \mathcal{A}(k)$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung gebrauche. Darf ich dann aber auch den Fall $\ k=1 $ für den zweiten "Term" als wahr nehmen. Danke für die Antwort.
mfg
KaloR
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Hallo kalor,
> Ich habe eine konzeptionelle Frage zu Beweise mit
> vollständiger Induktion. Wenn ich eine Aussage [mm]\ \mathcal{A}(k)[/mm]
> beweisen möchte, dann mache ich zuerst einen
> Induktionsverankerung. Nehmen wir an für [mm]\ k=0[/mm]. Dann mache
> ich ja die Induktionsvoraussetzung, dass die Aussage für
> ein [mm]\ k[/mm] stimmt und ich möchte daraus die Richtigkeit der
> Aussage [mm]\ \mathcal{A}(k+1)[/mm] zeigen.
Ja, genau.
> Wenn ich jetzt den Beweise führe, und ich kann meine
> Aussage z.B. wie folgt "aufteilen":
>
> [mm]\ \mathcal{A}(k+1) = \mathcal{A}(k)\mathcal{A}(1)[/mm]
>
> dann kann ich ja sicher für [mm]\ \mathcal{A}(k)[/mm] die
> Induktionsvoraussetzung gebrauche. Darf ich dann aber auch
> den Fall [mm]\ k=1[/mm] für den zweiten "Term" als wahr nehmen.
Hm. Das darfst Du nur, wenn entweder [mm]\ \mathcal{A}(1)[/mm] tatsächlich schon gezeigt ist, oder aber alle [mm]\mathcal{A}(i)[/mm] mit 0<i<k vorkommen. Im letzteren Fall ließe sich der Beweis aber auch anders führen, so dass das gewöhnliche Vorgehen bei einem Induktionsbeweis gewahrt bleibt.
Fazit: nein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Fr 08.07.2011 | | Autor: | kalor |
Hm...es geht eben um folgeden Beweis:
Nehmen wir an, $\ t [mm] \in L^1$ [/mm] sei schwach harmonisch. Ich brauche folgende Abschätzung:
[mm]\integral_{B_R}{|\nabla^k{t}|^2 dx}\le \bruch{M_k}{R^{2k}}\integral_{B_{2^{k}R}}{|t|^2 dx} [/mm]
Ich habe dies mit Induktion zeigen wollen. Klar für $\ k=0 $ ist alles richtig. Dann der Schritt von $\ k [mm] \to [/mm] k+1$:
[mm]\integral_{B_R}{|\nabla^{k+1}{t}|^2 dx}=\integral_{B_R}{|\nabla^{k}{(\nabla t)}|^2 dx}\le \bruch{M_k}{R^{2k}}\integral_{B_{2^{k}R}}{|\nabla t|^2 dx} [/mm]
Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter. Wenn ich hier den Fall $\ k=1 $ verwenden dürfte, wäre ja alles gezeigt. Wie soll ich den hier weitermachen? Ich weiss auch nicht, wieso ich brauche, dass mein $\ t $ schwach harmonisch ist.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Fr 08.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
inhaltlich kann ich Dir da nicht helfen, deswegen dies nur als Mitteilung, die Frage lasse ich offen.
Kannst Du den Fall [mm]k=1[/mm] nicht separat zeigen?
Das Problem der Induktion ist nämlich sonst gerade der Schritt von [mm]k=0[/mm] zu [mm]k=1[/mm], der dann nicht abgesichert ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Fr 08.07.2011 | | Autor: | kalor |
Ja wenn ich das zeigen könnte, hätte ich keine Probleme mehr :) Leider weiss ich nicht, wie die Abschätzung hinkriegen soll. Normalerweise ist man ja an Ungleichungen in der anderen Richtung interessiert.
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Hallo kalor,
> Hm...es geht eben um folgeden Beweis:
>
> Nehmen wir an, [mm]\ t \in L^1[/mm] sei schwach harmonisch. Ich
> brauche folgende Abschätzung:
>
> [mm]\integral_{B_R}{|\nabla^k{t}|^2 dx}\le \bruch{M_k}{R^{2k}}\integral_{B_{2^{k}R}}{|t|^2 dx}[/mm]
>
> Ich habe dies mit Induktion zeigen wollen. Klar für [mm]\ k=0[/mm]
> ist alles richtig. Dann der Schritt von [mm]\ k \to k+1[/mm]:
>
> [mm]\integral_{B_R}{|\nabla^{k+1}{t}|^2 dx}=\integral_{B_R}{|\nabla^{k}{(\nabla t)}|^2 dx}\le \bruch{M_k}{R^{2k}}\integral_{B_{2^{k}R}}{|\nabla t|^2 dx}[/mm]
>
> Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter. Wenn ich hier den
> Fall [mm]\ k=1[/mm] verwenden dürfte, wäre ja alles gezeigt.
Nun, du hast gezeigt, dass die Beh. für [mm]k=0[/mm] gilt.
Dann nimm doch die erweiterte Induktionsvoraussetzung her:
" Sei [mm]k\in\IN, k>0[/mm] bel., aber fest und gelte die Beh. für alle [mm]i\le k[/mm] "
Das schließt doch die Gültigkeit der Beh. für $k=1$ ein ...
> Wie soll ich den hier weitermachen? Ich weiss auch nicht, wieso
> ich brauche, dass mein [mm]\ t[/mm] schwach harmonisch ist.
>
> Gruss
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Fr 08.07.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo schachuzipus!
> Hallo kalor,
>
> > Hm...es geht eben um folgeden Beweis:
> >
> > Nehmen wir an, [mm]\ t \in L^1[/mm] sei schwach harmonisch. Ich
> > brauche folgende Abschätzung:
> >
> > [mm]\integral_{B_R}{|\nabla^k{t}|^2 dx}\le \bruch{M_k}{R^{2k}}\integral_{B_{2^{k}R}}{|t|^2 dx}[/mm]
>
> >
> > Ich habe dies mit Induktion zeigen wollen. Klar für [mm]\ k=0[/mm]
> > ist alles richtig. Dann der Schritt von [mm]\ k \to k+1[/mm]:
> >
> > [mm]\integral_{B_R}{|\nabla^{k+1}{t}|^2 dx}=\integral_{B_R}{|\nabla^{k}{(\nabla t)}|^2 dx}\le \bruch{M_k}{R^{2k}}\integral_{B_{2^{k}R}}{|\nabla t|^2 dx}[/mm]
>
> >
> > Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter. Wenn ich hier den
> > Fall [mm]\ k=1[/mm] verwenden dürfte, wäre ja alles gezeigt.
>
> Nun, du hast gezeigt, dass die Beh. für [mm]k=0[/mm] gilt.
>
> Dann nimm doch die erweiterte Induktionsvoraussetzung her:
>
> " Sei [mm]k\in\IN, k>0[/mm] bel., aber fest und gelte die Beh. für
> alle [mm]i\le k[/mm] "
>
> Das schließt doch die Gültigkeit der Beh. für [mm]k=1[/mm] ein
> ...
so wie ich diese Argumentation interpretiere, ist sie falsch. Wie soll das kalor helfen?
>
> > Wie soll ich den hier weitermachen? Ich weiss auch nicht,
> wieso
> > ich brauche, dass mein [mm]\ t[/mm] schwach harmonisch ist.
> >
> > Gruss
>
> LG
>
> schachuzipus
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 10.07.2011 | | Autor: | kalor |
Wieso ist dies falsch? Für mich ist die Argumentation von schachuzipus schlüssig! Ich wäre aber froh, wenn mir das jemand bestätigen könnte, ansonsten kann ich das ja nicht verwenden.
greetz
KaloR
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Hallo nochmal,
> Wieso ist dies falsch? Für mich ist die Argumentation von
> schachuzipus schlüssig! Ich wäre aber froh, wenn mir das
> jemand bestätigen könnte, ansonsten kann ich das ja nicht
> verwenden.
Nein, das ist nicht schlüssig, weil der Fall k=1 damit nicht nachzuweisen ist, und damit alle weiteren auch nicht.
Wenn Deine Voraussetzung ist, dass alle kleineren k ok sind, dann heißt das für k=1, dass Du nur k=0 voraussetzen darfst. Wenn dann aber im Induktionsschritt k=1 benötigt wird, ist der Schritt ohne Aussage.
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:25 So 10.07.2011 | | Autor: | kalor |
Nun gut, das hilft mir nun leider nicht weiter. Wie kann ich denn folgendes zeigen:
[mm] \integral_{B_R}{|\nabla t|^2}\le \bruch{M_1}{R^2}\integral_{B_{2R}}{|t|^2} [/mm]
Kann mir da jemand helfen. Leider schaffe ich es nicht dies zu zeigen.
mfg
KaloR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 So 10.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo kalor,
wenn es nicht mehr nur im die Frage des Induktionsbeweises geht, liegt der Thread besser weiter "oben" im Forum Analysis (reell, eindimensional). Deswegen habe ich ihn mal dahin verschoben. Hoffentlich weiß da jemand mehr. Ich nämlich definitiv nicht, sorry.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 So 10.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nun gut, das hilft mir nun leider nicht weiter. Wie kann
> ich denn folgendes zeigen:
>
> [mm]\integral_{B_R}{|\nabla t|^2}\le \bruch{M_1}{R^2}\integral_{B_{2R}}{|t|^2}[/mm]
>
> Kann mir da jemand helfen. Leider schaffe ich es nicht dies
> zu zeigen.
Es wuerd sicher helfen, wenn du sagst was das alles sein soll. Also etwa [mm] $B_R$, $B_{2R}$ [/mm] (Baelle mit Radius $R$, $2 R$? Welcher Mittelpunkt?), [mm] $M_1$ [/mm] (eine Konstante? was fuer ein Wert?), $t$ (eine Funktion? eine allgemeine, spezielle, ...?), und in welchem Raum sind wir eigentlich, [mm] $\IR$, $\IR^2$, $\IR^n$, [/mm] ...?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Mo 11.07.2011 | | Autor: | kalor |
Also nur um die Notation zu klären:
[mm] B_R:=\{x\in \IR^n;d(x,0) < R\} [/mm]
Wir befinden uns im $\ [mm] \IR^n$, [/mm] wobei $\ t [mm] \in L^1(\IR^n)$ [/mm] und schwach harmonisch ist. Die $\ [mm] M_k's$ [/mm] sind verschiedene Konstanten. $\ [mm] M_0 [/mm] $ hat ja nach meiner Induktionsverankerung den Wert 1. So ich hoffe, dass ich alles geklärt habe.
Gruss
KaloR
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 10.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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