krümmungsradius von kurven < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Di 16.10.2007 | | Autor: | giskard |
Hallo!
ich möchte bei einer e-funktion den punkt bestimmen, in dem der krümmungsradius am kleinsten ist.
man hat ja bei einer [mm] e^{-x} [/mm] funktion grob beschrieben zwei äste, einmal den ast, der sich asymptotisch der x-achse nähert, und den ast, der gegen [mm] \infty [/mm] strebt. auf beiden ästen ist die krümmung der kurve eher klein, zwischen diesen beiden ästen jedoch wird sie stärker. ich meine mit krümmung hierbei nicht die änderung der steigung in abhängigkeit von x - das wäre ja einfach die 2. ableitung. ich beziehe mich eher auf den krümmunsradius (wenn man sowas bestimmen kann).
ich suche also den punkt, in dem der krümmungsradius am kleinsten wird.
dazu hab ich mir verschiedene gedanken gemacht:
legt man durch zwei punkten auf der kurve die normalen, müssten sich diese doch im mittelpunkt des kreises schneiden, der mit dem richtigen radius die kurve in den beiden punkten tangiert. der radius müsste dann aus der entfernung zwischen dem mittelpunkt und einem der beiden punkte zu bestimmen sein. (ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt)
lässt man nun den abstand der beiden punkte infinitesimal klein werden, könnte man so den krümmungsradius in jedem punkt auf einer kurve bestimmen.. stimmt das soweit?
ich habe mich da an den differenzenquotienten mit der (x+h)-methode erinnert und einfach drauflosgerechnet. leider wird diese allgemeine rechnung ein wenig zu komplex für mich als nichtmathematiker...
deshalb meine fragen:
1. gibt es eine einfachere methode? und wie geht sie?
2. ist sowas schonmal gerechnet worden und wenn ja, unter welchen stichwort könnte ich das finden?
vielen dank schonmal für eure hilfe!
giskard
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Hallo giskard,
> Hallo!
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> ich möchte bei einer e-funktion den punkt bestimmen, in dem
> der krümmungsradius am kleinsten ist.
> man hat ja bei einer [mm]e^{-x}[/mm] funktion grob beschrieben zwei
> äste, einmal den ast, der sich asymptotisch der x-achse
> nähert, und den ast, der gegen [mm]\infty[/mm] strebt. auf beiden
> ästen ist die krümmung der kurve eher klein, zwischen
> diesen beiden ästen jedoch wird sie stärker. ich meine mit
> krümmung hierbei nicht die änderung der steigung in
> abhängigkeit von x - das wäre ja einfach die 2. ableitung.
> ich beziehe mich eher auf den krümmunsradius (wenn man
> sowas bestimmen kann).
>
> ich suche also den punkt, in dem der krümmungsradius am
> kleinsten wird.
> dazu hab ich mir verschiedene gedanken gemacht:
> legt man durch zwei punkten auf der kurve die normalen,
> müssten sich diese doch im mittelpunkt des kreises
> schneiden, der mit dem richtigen radius die kurve in den
> beiden punkten tangiert. der radius müsste dann aus der
> entfernung zwischen dem mittelpunkt und einem der beiden
> punkte zu bestimmen sein. (ich hoffe, ich habe mich
> verständlich ausgedrückt)
> lässt man nun den abstand der beiden punkte infinitesimal
> klein werden, könnte man so den krümmungsradius in jedem
> punkt auf einer kurve bestimmen.. stimmt das soweit?
>
> ich habe mich da an den differenzenquotienten mit der
> (x+h)-methode erinnert und einfach drauflosgerechnet.
> leider wird diese allgemeine rechnung ein wenig zu komplex
> für mich als nichtmathematiker...
>
> deshalb meine fragen:
> 1. gibt es eine einfachere methode? und wie geht sie?
> 2. ist sowas schonmal gerechnet worden und wenn ja, unter
> welchen stichwort könnte ich das finden?
>
> vielen dank schonmal für eure hilfe!
> giskard
>
ich würde es vielleicht mal so versuchen: der krümmungsradius ist genau der kehrwert der krümmung (so ist die krümmung oft definiert). Also kleiner krümmungsradius=große krümmung. Du suchst folglich den maximalen krümmungswert der e-Kurve. Nimm doch einfach die formel für krümmung von funktionsgraphen (x,f(x)) (wikipedia)
[mm] $\kappa= \left| \frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}\right| [/mm] $
und versuche diese zu maximieren. Analog kannst du natürlich auch den bruch umkehren, dann hast du eine formel für den krümmungsradius (wenn [mm] $f''\ne [/mm] 0$).
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 16.10.2007 | | Autor: | giskard |
hallo matthias!
hmm, so wie es aussieht,
ist das genau die antwort, die ich gesucht habe... 
hab das jetzt zwar noch nicht ausgerechnet, aber das werd ich noch..
vielen dank für die schnelle antwort!
ps.: ist nicht nötig, aber mich würde die herleitung für die formel interessieren.
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