kurvendiskussion < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Fr 04.05.2007 | | Autor: | jaes |
hallo erstmal ;)
ich hoffe ich mach nix falsch... ich habe glaub ich zunächst eine einfache frage ...
wo liegt der unterschied in einer hinreichenden und einer notwendigen bedingung???
ich würde luftsprünge machen wenn mir das jemand verraten könnte ;)
vielen dank im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Jaes,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") *smile* !!!
> ich hoffe ich mach nix falsch... ich habe glaub ich zunächst eine einfache frage ...
Nein, du hast alles richtig gemacht ! *g*
> wo liegt der unterschied in einer hinreichenden und einer notwendigen bedingung???
Ich entnehme der Betreffzeile das es hier wohl um die notwendige und hinreichende Bedingung auf der Suche nach den Extrema bei einer Kurvendiskussion geht. Dies Sache ist eigentlich ganz einfach. Wir wissen doch das folgendes für die Kurvendiskussion gilt:
Notwendige Bedingung:
Wenn f(a) ein relatives Extrema ist und f '(a) existiert, dann ist f'(a)=0
Denn wäre [mm] f''(a)\not=0 [/mm] , so würde f(x) im Falle f'(a)>0 bei "a" ansteigen und im Falle f'(a)<0 bei "a" fallen im Widerspruch zur Voraussetzung.
hinreichende Bedingung:
Wenn f'(x) bei "a" das Vorzeichen von + nach - wechselt, dann ist f(a) ein relatives Maximum.
Wenn f'(x) bei "a" das Vorzeichen von - nach + wechselt, dann ist f(a) ein relatives Minimum.
An diesen beiden Definition siehst du doch, dass eine objektive Bedingung A heißt notwendig, wenn ohne ihre Realisierung die Existenz der durch sie bedingten Erscheinung B unmöglich wird. Eine objektive Bedingung A heißt hinreichend, wenn ihre Realisierung die Existenz der durch sie bedingten Erscheinung B mit Notwendigkeit nach sich zieht. Das heißt im Klartext: Bestimmt man Punkte, bei denen die erste Ableitung = 0 ist, so ist dies die notwendige voraussetzung für eine Extremstelle, da ohne dies keine extremstelle existieren kann. Der vorzeichenwechsel der ersten ableitung ist hinreichend für ein lokales extremum, da dieser zwingend ein extremum mit sich zieht (funktion geht von fallend zu steigend oder umgekehrt).
> ich würde luftsprünge machen wenn mir das jemand verraten könnte ;)
Dann fang mal an zu springen *lächel*! Alles klar?
Liebe Grüße
analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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Hallo Analytiker!
Diese Ausführungen stimmen so nicht. Das hinreichende Kriterium für die Bestimmung von Extremwerten ist die Tatsache, dass die 2. Ableitung ungleich Null ist.
[mm] $f''(x_e) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Dieses Kriterium ist kediglich hinreichend, da durchaus auch ein Extremum vorligen kann, bei dem auch die 2. ableitung gleich Null ist.
"Klassiker"-Beispiel: $f(x) \ = \ [mm] x^4$
[/mm]
Der Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung ist nicht hinreichend, sondern ebenfalls notwendig. Schließlich wird auf dieses Kriterium zurückgegriffen, wenn gilt: [mm] $f'(x_e) [/mm] \ = \ 0 \ \ \ \ [mm] \wedge [/mm] \ \ \ \ [mm] f''(x_e) [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Analytiker |
Hi Roadrunner,
> Diese Ausführungen stimmen so nicht. Das hinreichende
> Kriterium für die Bestimmung von Extremwerten ist die
> Tatsache, dass die 2. Ableitung ungleich Null ist.
>
> [mm]f''(x_e) \ \not= \ 0[/mm]
das stimt, da hat sich der "Tippfehlerteufel" eingeschlichen... (habe es geändert!)
Grüße
Analytiker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Analytiker!
Da hast Du mich wohl missverstanden ... Du sagst ja, dass der Vorzeichenwechsel bei der 1. Ableitung das hinreichende Kriterium sei.
Das stimmt so nicht! Das hinreichende Kriterium ist die Bedingung:
[mm] $f''(x_e) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $x_e [/mm] \ [mm] \text{ist Extremum}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Fr 04.05.2007 | | Autor: | jaes |
ich danke euch vielmals... ;)
und ich find es einfach klasse, das einem hier so schnell geholfen wird...
also danke =)
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