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kurvendiskussion: nullstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Fr 22.04.2005
Autor: franciska

Ich hab die Funktion:
f(x) = px³-(p²-p)x
p >0

und bei dieser Funktion soll ich also die komplette kurvendiskussion machen..

aber jetzt fängts bei mir bei den nullstellen schon mal an..

ich hab mir gedacht, p²-p ist ja p

also wärs die funktion dann
px³-px

aber wenn ich dann gleich null setze, also x(px²-p)  is des eine x=0 und bei dem anderen würd sich des p dann wegkürzen dann wär des zweite x wurzel 1

aber stimmt des so überhaupts oder denk ich völlig falsch??

        
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kurvendiskussion: Ausklammern ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Fr 22.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Franziska!


(Ein kleines "Hallo" Deinerseits wäre auch ganz nett ;-) ...)


> Ich hab die Funktion:
> f(x) = px³-(p²-p)x ,  p >0
>  
> und bei dieser Funktion soll ich also die komplette
> kurvendiskussion machen..
>  
> aber jetzt fängts bei mir bei den nullstellen schon mal
> an..
>  
> ich hab mir gedacht, p²-p ist ja p

[notok] Das ist falsch.
Wenn Du das machst, "fasst Du ja Äpfel mit Birnen" zusammen, das geht nicht.

Vergleiche doch mal mit [mm] $x^2 [/mm] + x$, das kannst Du ja auch nicht weiter zusammenfassen, außer ausklammern - und da wären wir schon beim Stichwort!.

Wir können Deine Funktion etwas umschreiben, wir klammern nämlich etwas aus ...

[mm] $f_p(x) [/mm] \ = \ [mm] p*x^3 [/mm] - [mm] (p^2-p)*x [/mm] \ = \ [mm] p*x^3 [/mm] - p*(p-1)*x \ = \ [mm] p*x*\left[x^2 - (p-1)\right]$ [/mm]


Nullstellen:   [mm] $f_p(x_N) [/mm] \ = \ 0 \ = \ [mm] p*x_N*\left[x_N^2 - (p-1)\right]$ [/mm]

Kannst Du nun die Nullstellen bestimmen?


Gruß
Loddar


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kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Fr 22.04.2005
Autor: franciska

ok..dankeschön=)

aber bei den extremas muss ich ja jetzt die 1. Ableitung gleich null setzung,
und stimmt das wenn ich die so ausrechne, indem ich dass das ergebnis dann wär:
also dass ich  das x mit der klammer mulitplizier
px³-px²+px

aber wenn ich das dann gleich 0 setzte würd unter der wurzle etwas negatives rauskommen, bedeuted das dann dass es keine extremas gibt?

vlg
franci

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kurvendiskussion: antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Fr 22.04.2005
Autor: antje1986

Hallo! also wenn ich das richtig sehe ist die funktion die du aufgeschrieben hast doch nur die ursprüngliche funktion, nur dass du die klammer aufgelöst hast. diese musst du jetzt also noch ableiten. achte dabei darauf, dass nach x abgeleitet wird und p eine ganz normale zahl ist, z.B. 2 ( also p quadrat=4). die ableitung von px wäre also p.  damit solltest du die funktion ableiten können;)
Anschließend setzt du =0. dafür kannst du durch p teilen, da p in jedem term vorkommt. Dadurch wirds schon einfacher. dann noch durch drei teilen, und du hast es fast...

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kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Fr 22.04.2005
Autor: franciska

danke,

stimmt dann dieser Lösungsweg?

ableitung: 3px²-2px+p
x(3px-p)

x1: 0
x2: 1/3

und stimmt das dass beide punkte terrassenpunkte sind??

oder völlig falsch?

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kurvendiskussion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Fr 22.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Franciska!


[notok] Leider falsch!

Und zwar machst Du den Fehler schon sehr viel früher, nämlich beim Ausmultiplizieren (was nicht unbedingt erforderlich):

[mm] $f_p(x) [/mm] \ = \ [mm] p*x^3 [/mm] - [mm] \left(p^2 - p\right)*x [/mm] \ = \ [mm] p*x^3 [/mm] - [mm] p^{\red{2}}*x [/mm] + p*x$

Das " ² " bezieht sich nämlich lediglich auf das $p$, nicht mehr auf das $x$ !!


Damit wird die Ableitung:

[mm] $f_p'(x) [/mm] \ = \ [mm] 3*p*x^2 [/mm] - [mm] p^{\red{2}} [/mm] + p \ = \ [mm] 3p*\left(x^2 - \bruch{p-1}{3}\right)$ [/mm]


Gruß
Loddar


PS: Was hast Du denn bei den Nullstellen erhalten?



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kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Fr 22.04.2005
Autor: franciska

oh..ok..stimmt..

aber ich versteh nicht wie du auf

bei der ableitung auf ...p²-1 ... kommst

weil ich hätt da ...p²+1 geschrieben...
und wie rechne ich dann weiter?

als nullstellen hab ich
N1(0/0)
n2(+/-Wurzel(p-1)/0)
rausbekommen
stimmt das??



Bezug
                                                        
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kurvendiskussion: Erläuterungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Fr 22.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Franciska!


> aber ich versteh nicht wie du auf
> bei der ableitung auf ...p²-1 ... kommst
> weil ich hätt da ...p²+1 geschrieben...

[mm] $f_p'(x) [/mm] \ = \ [mm] 3*p*x^2 [/mm] - [mm] p^2 [/mm] + p \ = \ [mm] 3p*\left(x^2 - \bruch{p}{3} + \bruch{1}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] 3p*\left[x^2 - \left(\bruch{p}{3} \red{-} \bruch{1}{3}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] 3p*\left(x^2 - \bruch{p \red{-} 1}{3}\right)$ [/mm]


Nun klar? [lichtaufgegangen] ??



>  und wie rechne ich dann weiter?

Nun, um die (möglichen) Extremstellen der Funktion zu finden, mußt Du die Nullstellen der 1. Ableitung [mm] $f_p'(x)$ [/mm] ermitteln:

[mm] $f_p'(x_E) [/mm] \ = \ 0$



> als nullstellen hab ich
> N1(0/0)
> n2(+/-Wurzel(p-1)/0)
> rausbekommen
>  stimmt das??

[daumenhoch] Schreibe aber sauberer auf (schließlich sind es ja drei Nullstellen) :

[mm] $N_1 [/mm] \ [mm] \left( \ 0 \ \left| \ 0 \ \right)$ $N_2 \ ( \ - \wurzel{p-1} \ \left| \ 0 \ )$ $N_3 \ ( \ \wurzel{p-1} \ \left| \ 0 \ )$ Zudem solltest Du der Vollständigkeit halber noch untersuchen, für welche $p$ der Ausdruck $\wurzel{p-1}$ überhaupt definiert ist. Gruß Loddar [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Fr 22.04.2005
Autor: franciska








>  und wie rechne ich dann weiter?

Nun, um die (möglichen) Extremstellen der Funktion zu finden, mußt Du die Nullstellen der 1. Ableitung  ermitteln:

ok, also dass ich des 0 setzten muss ich klar, aber ich weiß nicht wie ich des x ausrechnen kann, also wie ich die klammer so ausmulitiplizier dass nur noch x da steht..

PS: ich hoff ich nerv dich noch ned zu sehr..:-)



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kurvendiskussion: Warum ausmultiplizieren?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Fr 22.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Franciska!


> aber ich weiß nicht wie ich des x ausrechnen kann, also wie ich die
> klammer so ausmulitiplizier dass nur noch x da steht..

Warum willst Du das ausmultiplizieren? Bei der Ermittlung von Nullstellen ist doch eine faktorisierte Form das Beste, was Dir passieren kann:

[mm] $f_a'(x_E) [/mm] \ = \ 3p * [mm] \left(x^2 - \bruch{p-1}{3}\right) [/mm] \ = \ 0$    [mm] $\left| \ : \ (3p) \ \not= \ 0$ $\gdw$ $x^2 - \bruch{p-1}{3} \ = \ 0$ $\left| \ + \bruch{p-1}{3}$ $\gdw$ $x^2 \ = \ \bruch{p-1}{3}$ $\left| \ \wurzel{ ... }$ $\gdw$ $x_{1,2} \ = \ \pm \ \wurzel{\bruch{p-1}{3}}$ > PS: ich hoff ich nerv dich noch ned zu sehr..:-) Nee, [b]Du[/b] nicht! Ich lasse mich gerade an einer anderen "Front" ärgern. (Ich kann Petzen nicht ausstehen! Nicht wahr, mathemaduenn??) OK, etwas [offtopic] ... Gruß Loddar [/mm]

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kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Sa 23.04.2005
Autor: franciska

ok, dankeschön..

aber wenn ich jetzt die Art der Extrema, also ob es hoch oder tiefpunkte sind ausrechnen will könnte ich sie doch
1. in die 2. ableitung einsetzen, aber des wär doch ziemlich umständlich oder
2. mit der Vorzeichentabelle

aber ich hab keine ahnung wie ich das hier machen soll

Bezug
                                                                                        
Bezug
kurvendiskussion: 2. Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Sa 23.04.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Franciska!


> aber wenn ich jetzt die Art der Extrema, also ob es hoch
> oder tiefpunkte sind ausrechnen will könnte ich sie doch
> 1. in die 2. ableitung einsetzen, aber des wär doch
> ziemlich umständlich

[haee] Wieso umständlich?
Laß Dich doch durch diese große Klammer nicht erschrecken!

[mm] $f_p'(x) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{3p}_{konstanter Faktor} [/mm] \ * [mm] \left(x^2 - \bruch{p-1}{3}\right)$ [/mm]


[mm] $\Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] f_p''(x) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{3p}_{konstanter Faktor} [/mm] \ * [mm] \left(x^2 - \bruch{p-1}{3}\right)' [/mm] \ = \ 3p * 2x \ = \ 6p*x$   Voilà!


> oder
> 2. mit der Vorzeichentabelle

Wie ich Dir eben gezeigt habe, ist das nicht erforderlich!

Ansonsten nimmt man jeweils x-Werte rechts und links von der zu untersuchenden Stelle [mm] $x_E$, [/mm] setzt diese in die 1. Ableitung ein und untersucht das Ergebnis auf das jeweilige Vorzeichen.

Bei einem Vorzeichenwechsel liegt eine Extremstelle vor, sonst nicht!


Gruß
Loddar


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kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Sa 23.04.2005
Autor: franciska

dir auch einen guten morgen,

aber ich versteh jetzt ehrlich gesagt nicht so ganz, wie du auf dieses ergebnis kommst, weil warum fällt das 3p nicht weg??es ist ja kein x dabei..hmm..bin schon fast am verzweifeln mit der aufgaben...

Bezug
                                                                                                        
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kurvendiskussion: Konstanter Faktor
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Sa 23.04.2005
Autor: Loddar

Hallo ...


> aber ich versteh jetzt ehrlich gesagt nicht so ganz, wie du
> auf dieses ergebnis kommst, weil warum fällt das 3p nicht
> weg??

Wie ich ja eben in meiner Antwort angedeutet habe, ist das "$3p$" ein konstanter Faktor.

[aufgemerkt] Diese bleiben nach der MBFaktorregel beim Ableiten erhalten!

Beispiel:  $y = [mm] 6*x^3$ $\Rightarrow$ [/mm]   $y' = 6 * [mm] 3x^2 [/mm] \ = \ [mm] 18x^2$ [/mm]


Ich nehme mal an, Du verwechselst das gerade mit dem Ableiten von konstanten Summanden.
Diese fallen bei der Ableitung dann weg, so wie der Bruch [mm] $\bruch{p-1}{3}$ [/mm] innerhalb der Klammer.


Nun etwas klarer?

Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                
Bezug
kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 Sa 23.04.2005
Autor: franciska

ok,
dann hab ich
6p*Wurzel(p-1)/3

aber wie kann ich dann rausfinden ob das ergebniss größer oder kleiner 0 ist?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
kurvendiskussion: Definitionsbereich beachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Sa 23.04.2005
Autor: Loddar

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Hi ...


> ok, dann hab ich
> 6p*Wurzel(p-1)/3

Achtung, bitte etwas sauberer aufschreiben:

$f_p''\left(x_{E1}\right) \ = \ f_p''\left(\wurzel{{\bruch{p-1}{3}}\right) \ = \ 6p * \wurzel{{\bruch{p-1}{3}}$

> aber wie kann ich dann rausfinden ob das ergebnis größer
> oder kleiner 0 ist?

Der Wurzelausdruck ist ja immer positiv, da gilt: $\wurzel{z} \ \ge \ 0$.

Damit verbleibt noch der Faktor $6p$ ...
Sieh' Dir doch mal Deine Aufgabenstellung genau an.
Da steht doch: $p \ > \ 0$.

Also:

$f_p''\left(x_{E1}\right) \ = \ \underbrace{6p}_{> \ 0} \ * \underbrace{\wurzel{\bruch{p-1}{3}}}_{> \ 0} \ > \ 0 \ \ \ \Rightarrow$   (relatives) Minimum!


[aufgemerkt] $f_p''\left(x_{E2}\right) \ = \ f_p''\left(\red{-} \ \wurzel{{\bruch{p-1}{3}}\right)$ nicht vergessen!


Wäre der Parameter $p$ gemäß Aufgabenstellung nicht eingeschränkt gewesen mit $p \ > \ 0$, hätte man eine Fallunterscheidung vornehmen müssen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                        
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kurvendiskussion: Anmerkung: Übrigens ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 Sa 23.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Franciska!


Um die 2. Ableitung (bzw. deren Ermittlung) wärst Du doch gar nicht herum gekommen.

Schließlich gehört zu einer vollständigen Kurvendiskussion auch die Bestimmung der (möglichen) Wendestellen [mm] $x_W$. [/mm]

Und dafür benötigen wir . . .




. . . richtig: die 2. Ableitung für [mm] $f_p''(x_W) [/mm] \ = \ 0$  !!


Gruß
Loddar


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