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Hey, also ich beschäftige mich zur zeit mit der struktur multiplikativer gruppen modulo m. könnte mir kurz jemand sagen, ob das Folgende so richtig ist?
Betrachtet man z.B. die multiplikative Gruppe modulo 7 (sei diese mal bezeichnet mit G(7) ), dann besteht diese doch aus den positiven ganzen Zahlen, die kleiner als m sind und relativ prim zu m sind, also aus 1,2,3,4,5 und 6.
nun ist G(7) nun doch isomorph zu Z(6) (dies sei die zyklische, multiplikative Gruppe (mod 6) Gruppe mit 6 Elementen)
Den Isomorphismus würd ich jetzt so begründen, indem ich alle Elemente von G(7) als Potenzen einer gewissen Zahl a darstelle, z.B. a=3, dann wäre doch:
[mm] 3^0\hat=1 [/mm] , [mm] 3^2=9\hat=2 [/mm] , [mm] 3^1=3\hat=3 [/mm] , [mm] 3^4=81\hat=4 [/mm] , [mm] 3^5=243\hat=5 [/mm] , [mm] 3^3=27\hat=6
[/mm]
man hätte auch a=5 wählen können, ist dies bis hierher so richtig?
ich will dann nämlich allgemeiner zeigen, dass gilt:
[mm] G(p^e)\cong Z(p^e-p^{e-1}), [/mm] wobei p eine ungerade Primzahl ist.
mfg
piccolo
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Hallo piccolo,
das stimmt soweit; schau auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Auch die zu zeigende Isomorphie ist m.E. korrekt.
Grüße
reverend
PS: Ich lasse die Frage mal "halboffen". Vielleicht verstehe ich den Witz daran nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 24.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hey, also ich beschäftige mich zur zeit mit der struktur
> multiplikativer gruppen modulo m. könnte mir kurz jemand
> sagen, ob das Folgende so richtig ist?
>
> Betrachtet man z.B. die multiplikative Gruppe modulo 7 (sei
> diese mal bezeichnet mit G(7) ), dann besteht diese doch
> aus den positiven ganzen Zahlen, die kleiner als m sind und
> relativ prim zu m sind, also aus 1,2,3,4,5 und 6.
>
> nun ist G(7) nun doch isomorph zu Z(6) (dies sei die
> zyklische, multiplikative Gruppe (mod 6) Gruppe mit 6
> Elementen)
>
> Den Isomorphismus würd ich jetzt so begründen, indem ich
> alle Elemente von G(7) als Potenzen einer gewissen Zahl a
> darstelle, z.B. a=3, dann wäre doch:
> [mm]3^0\hat=1[/mm] , [mm]3^2=9\hat=2[/mm] , [mm]3^1=3\hat=3[/mm] , [mm]3^4=81\hat=4[/mm] ,
> [mm]3^5=243\hat=5[/mm] , [mm]3^3=27\hat=6[/mm]
>
> man hätte auch a=5 wählen können, ist dies bis hierher
> so richtig?
Soweit korrekt. Es gibt im allgemeinen [mm] $\phi(6)$ [/mm] Erzeuger (siehe hier fuer [mm] $\phi$).
[/mm]
> ich will dann nämlich allgemeiner zeigen, dass gilt:
> [mm]G(p^e)\cong Z(p^e-p^{e-1}),[/mm] wobei p eine ungerade Primzahl
> ist.
Das stimmt so nicht. Wenn [mm] $G(p^e)$ [/mm] die Einheitengruppe eines endlichen Koerpers mit [mm] $p^e$ [/mm] Elementen ist, dann ist [mm] $G(p^e) \cong Z(p^e [/mm] - 1)$. Wenn [mm] $G(p^e)$ [/mm] die Einheitengruppe von [mm] $\IZ/p^e \IZ$ [/mm] ist, dann stimmt es nur fuer $p [mm] \neq [/mm] 2$, oder fuer $p = 2$ und $e = 1, 2$. (Siehe hier.)
LG Felix
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> > ich will dann nämlich allgemeiner zeigen, dass gilt:
> > [mm]G(p^e)\cong Z(p^e-p^{e-1}),[/mm] wobei p eine ungerade Primzahl
> > ist.
>
> Das stimmt so nicht. Wenn [mm]G(p^e)[/mm] die Einheitengruppe eines endlichen Koerpers mit [mm]p^e[/mm] Elementen ist, dann ist [mm]G(p^e) \cong Z(p^e - 1)[/mm]. Wenn [mm]G(p^e)[/mm] die Einheitengruppe von [mm]\IZ/p^e \IZ[/mm] ist, dann stimmt es nur fuer [mm]p \neq 2[/mm], oder fuer [mm]p = 2[/mm] und [mm]e = 1, 2[/mm]. (Siehe hier.)
>
> LG Felix
>
hmm, also ich soll meine obige behauptung beweisen für den Fall, dass G(m) die multiplikative Gruppe modulo m ist und [mm] Z(p^e-p^{e-1}) [/mm] ist dann die zyklische Gruppe (multiplikativ). (steht so auch in dem Buch von Zuckerman) Deswegen bin ich jetzt gerad ein bisschen verwirrt.
Ich hätte gedacht, dass in dem Beweis dann benutzt werden muss, dass [mm] \phi(p^e)=p^e-p^{e-1} [/mm] und dann kann ja die entsprechenden Elemente wie in dem Beispiel durch Potenzen einer Primitivwurzel darstellen, wodurch dann der Isomorphismus gezeigt wird. Kann man das so machen?
lg
piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > ich will dann nämlich allgemeiner zeigen, dass gilt:
> > > [mm]G(p^e)\cong Z(p^e-p^{e-1}),[/mm] wobei p eine ungerade
> Primzahl
> > > ist.
> >
> > Das stimmt so nicht. Wenn [mm]G(p^e)[/mm] die Einheitengruppe eines
> endlichen Koerpers mit [mm]p^e[/mm] Elementen ist, dann ist [mm]G(p^e) \cong Z(p^e - 1)[/mm].
> Wenn [mm]G(p^e)[/mm] die Einheitengruppe von [mm]\IZ/p^e \IZ[/mm] ist, dann
> stimmt es nur fuer [mm]p \neq 2[/mm], oder fuer [mm]p = 2[/mm] und [mm]e = 1, 2[/mm].
> (Siehe
> hier.)
>
> hmm, also ich soll meine obige behauptung beweisen für den
> Fall, dass G(m) die multiplikative Gruppe modulo m ist und
> [mm]Z(p^e-p^{e-1})[/mm] ist dann die zyklische Gruppe
> (multiplikativ). (steht so auch in dem Buch von Zuckerman)
> Deswegen bin ich jetzt gerad ein bisschen verwirrt.
Fuer $p > 2$ sollst du das beweisen. Fuer $p = 2$ stimmt es nur fuer ganz wenige $e$.
> Ich hätte gedacht, dass in dem Beweis dann benutzt werden
> muss, dass [mm]\phi(p^e)=p^e-p^{e-1}[/mm] und dann kann ja die
> entsprechenden Elemente wie in dem Beispiel durch Potenzen
> einer Primitivwurzel darstellen, wodurch dann der
> Isomorphismus gezeigt wird. Kann man das so machen?
So einfach ist das nicht. Gehe wie folgt vor:
a) Beweise das ganze per Induktion nach $e$.
b) Fuer $e = 1$ kennst du das Resultat schon; es basiert dadrauf dass [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$ [/mm] endliche Untergruppe eines Integritaetsringes ist.
c) Fuer $e [mm] \to [/mm] e + 1$ nimmst du ein erzeugendes Element [mm] $\alpha$ [/mm] der Gruppe modulo [mm] $p^e$ [/mm] und zeigst, dass entweder [mm] $\alpha$ [/mm] oder [mm] $\alpha [/mm] + [mm] p^e$ [/mm] erzeugendes Element der Gruppe modulo [mm] $p^{e+1}$ [/mm] ist.
* Da [mm] $\alpha$ [/mm] (und [mm] $\alpha [/mm] + [mm] p^e$) [/mm] erzeugendes Element modulo [mm] $p^e$ [/mm] ist, muss es modulo [mm] $p^{e+1}$ [/mm] eine Ordnung haben, die Vielfaches von [mm] $\phi(p^e)$ [/mm] ist.
* Wegen der Gruppenordnung von [mm] $(\IZ/p^{e+1}\IZ)^\ast$ [/mm] gibt es also genau zwei Moeglichkeiten fuer die Ordnung.
* Damit [mm] $\alpha$ [/mm] modulo [mm] $p^{e+1}$ [/mm] erzeugendes Element ist, muss [mm] $\alpha^{\phi(p^e)} \neq [/mm] 1$ sein modulo [mm] $p^{e+1}$. [/mm] (Das gleiche fuer [mm] $\alpha [/mm] + [mm] p^e$.)
[/mm]
* Rechne ein wenig und argumentiere damit, dass eins von beiden erzeugendes Element sein muss.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Mo 04.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> c) Fuer [mm]e \to e + 1[/mm] nimmst du ein erzeugendes Element
> [mm]\alpha[/mm] der Gruppe modulo [mm]p^e[/mm] und zeigst, dass entweder
> [mm]\alpha[/mm] oder [mm]\alpha + p^e[/mm] erzeugendes Element der Gruppe
> modulo [mm]p^{e+1}[/mm] ist.
Eine kleine Korrektur: du musst nicht nur [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] + [mm] p^e$ [/mm] betrachten, sondern [mm] $\alpha [/mm] + k [mm] p^e$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] k < p$.
LG Felix
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