längentreue Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mi 09.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] eines längentreuen Endomorphismus [mm] |\lambda| [/mm] = 1 haben |
Hallo,
Also eine längentreue lineare Abbildung [mm] \alpha: [/mm] V [mm] \to [/mm] W zwischen 2 euklidischen Vektorräumen, hat ja die Eigenschaft, dass für alle x aus V gilt: [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] _{V}= [mm] \parallel \alpha(x) \parallel [/mm] _{W}, wobei [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] _{V}, [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] _{W}, die vom Skalarprodukt induzierte Norm auf V bzw. W bezeichnen soll.
Also gilt in einem längentreuen Endomorphismus für alle x aus V: [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] _{V}= [mm] \parallel \alpha(x) \parallel [/mm] _{V}, also gilt für alle x: [mm] \wurzel{} =\wurzel{<\alpha(x),\alpha(x)>}, [/mm] aber was sagt mir das nun über die Eigenwerte aus?
Hoffe irgendwer kann mir helfen. Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass alle Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] eines
> längentreuen Endomorphismus [mm]|\lambda|[/mm] = 1 haben
> Hallo,
> Also eine längentreue lineare Abbildung [mm]\alpha:[/mm] V [mm]\to[/mm] W
> zwischen 2 euklidischen Vektorräumen, hat ja die
> Eigenschaft, dass für alle x aus V gilt: [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel[/mm] _{V}= [mm]\parallel \alpha(x) \parallel[/mm] _{W}, wobei
> [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] _{V}, [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] _{W}, die
> vom Skalarprodukt induzierte Norm auf V bzw. W bezeichnen
> soll.
>
> Also gilt in einem längentreuen Endomorphismus für alle x
> aus V: [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] _{V}= [mm]\parallel \alpha(x) \parallel[/mm]
> _{V}, also gilt für alle x: [mm]\wurzel{} =\wurzel{<\alpha(x),\alpha(x)>},[/mm]
> aber was sagt mir das nun über die Eigenwerte aus?
>
> Hoffe irgendwer kann mir helfen. Vielen Dank schon mal im
> voraus.
Du mußt doch nur rechnen ! Ich schreibe mal $||x||$ statt $ [mm] \parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel_{V}$
[/mm]
Nimm Dir einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von [mm] \alpha [/mm] her. Dann gibte es ein $x [mm] \in [/mm] V$ mit $x [mm] \not=0$ [/mm] und
[mm] $\alpha(x) [/mm] = [mm] \lambda*x$
[/mm]
Gehe jetzt zur Norm über
FRED
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 09.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
> > Beweisen Sie, dass alle Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] eines
> > längentreuen Endomorphismus [mm]|\lambda|[/mm] = 1 haben
> > Hallo,
> > Also eine längentreue lineare Abbildung [mm]\alpha:[/mm] V [mm]\to[/mm]
> W
> > zwischen 2 euklidischen Vektorräumen, hat ja die
> > Eigenschaft, dass für alle x aus V gilt: [mm]\parallel[/mm] x
> > [mm]\parallel[/mm] _{V}= [mm]\parallel \alpha(x) \parallel[/mm] _{W}, wobei
> > [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] _{V}, [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] _{W}, die
> > vom Skalarprodukt induzierte Norm auf V bzw. W bezeichnen
> > soll.
> >
> > Also gilt in einem längentreuen Endomorphismus für alle x
> > aus V: [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] _{V}= [mm]\parallel \alpha(x) \parallel[/mm]
> > _{V}, also gilt für alle x: [mm]\wurzel{} =\wurzel{<\alpha(x),\alpha(x)>},[/mm]
> > aber was sagt mir das nun über die Eigenwerte aus?
> >
> > Hoffe irgendwer kann mir helfen. Vielen Dank schon mal im
> > voraus.
> Du mußt doch nur rechnen ! Ich schreibe mal [mm]||x||[/mm] statt
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{V}[/mm]
>
> Nimm Dir einen Eigenwert [mm]\lambda[/mm] von [mm]\alpha[/mm] her. Dann
> gibte es ein [mm]x \in V[/mm] mit [mm]x \not=0[/mm] und
>
> [mm]\alpha(x) = \lambda*x[/mm]
>
> Gehe jetzt zur Norm über
Ah, da gilt: [mm] ||\lambda [/mm] x|| = [mm] |\lambda|* [/mm] ||x|| und das ganze gleich ||x|| sein soll ist [mm] |\lambda| [/mm] = 1?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Beweisen Sie, dass alle Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] eines
> > > längentreuen Endomorphismus [mm]|\lambda|[/mm] = 1 haben
> > > Hallo,
> > > Also eine längentreue lineare Abbildung [mm]\alpha:[/mm] V
> [mm]\to[/mm]
> > W
> > > zwischen 2 euklidischen Vektorräumen, hat ja die
> > > Eigenschaft, dass für alle x aus V gilt: [mm]\parallel[/mm] x
> > > [mm]\parallel[/mm] _{V}= [mm]\parallel \alpha(x) \parallel[/mm] _{W}, wobei
> > > [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] _{V}, [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] _{W}, die
> > > vom Skalarprodukt induzierte Norm auf V bzw. W bezeichnen
> > > soll.
> > >
> > > Also gilt in einem längentreuen Endomorphismus für alle x
> > > aus V: [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] _{V}= [mm]\parallel \alpha(x) \parallel[/mm]
> > > _{V}, also gilt für alle x: [mm]\wurzel{} =\wurzel{<\alpha(x),\alpha(x)>},[/mm]
> > > aber was sagt mir das nun über die Eigenwerte aus?
> > >
> > > Hoffe irgendwer kann mir helfen. Vielen Dank schon mal im
> > > voraus.
> > Du mußt doch nur rechnen ! Ich schreibe mal [mm]||x||[/mm]
> statt
> > [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{V}[/mm]
> >
> > Nimm Dir einen Eigenwert [mm]\lambda[/mm] von [mm]\alpha[/mm] her. Dann
> > gibte es ein [mm]x \in V[/mm] mit [mm]x \not=0[/mm] und
> >
> > [mm]\alpha(x) = \lambda*x[/mm]
> >
> > Gehe jetzt zur Norm über
>
> Ah, da gilt: [mm]||\lambda[/mm] x|| = [mm]|\lambda|*[/mm] ||x|| und das ganze
> gleich ||x|| sein soll ist [mm]|\lambda|[/mm] = 1?
Ja, ich glaube Du meinst das richtige. Ausführlich: wir hatten
$ [mm] \alpha(x) [/mm] = [mm] \lambda\cdot{}x [/mm] $
Folglich ist
$ [mm] ||\alpha(x)|| [/mm] =|| [mm] \lambda\cdot{}x|| [/mm] $
Wegen
$ [mm] ||\alpha(x)|| [/mm] =|| x|| $
ist
$||x|| =|| [mm] \lambda\cdot{}x||= [/mm] | [mm] \lambda|* [/mm] ||x|| $
Aus $||x|| [mm] \not=0$ [/mm] folgt dann : $| [mm] \lambda|=1$
[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 09.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Wir betrachten nun den [mm] \IR^n [/mm] mit dem kanonischen Skalarprodukt. Sei [mm] \alpha_{A}: \IR^n \to \IR^n [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax, die durch eine Matrix A aus [mm] \IR^{n x n} [/mm] induzierte Abbildung.
Beweisen Sie: Wenn [mm] A^{T}A [/mm] = E (die Einheitsmatrix), dann ist [mm] \alpha_{A} [/mm] längentreu. |
Also vielen Dank nochmals für das Bisherige.
Hier weiß ich nun, dass wenn [mm] A^{T}A [/mm] = E ist, ist [mm] A^{-1}=A^{T}, [/mm] also eine orthogonale Matrix. Von orthogonalen Matrizen weiß ich aber bereits, dass deren Eigenwerte Betrag 1 haben.
Reicht das denn schon für den Beweis oder brauch ich noch mehr?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mi 09.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir betrachten nun den [mm]\IR^n[/mm] mit dem kanonischen
> Skalarprodukt. Sei [mm]\alpha_{A}: \IR^n \to \IR^n[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> Ax, die durch eine Matrix A aus [mm]\IR^{n x n}[/mm] induzierte
> Abbildung.
> Beweisen Sie: Wenn [mm]A^{T}A[/mm] = E (die Einheitsmatrix), dann
> ist [mm]\alpha_{A}[/mm] längentreu.
>
> Also vielen Dank nochmals für das Bisherige.
> Hier weiß ich nun, dass wenn [mm]A^{T}A[/mm] = E ist, ist
> [mm]A^{-1}=A^{T},[/mm] also eine orthogonale Matrix. Von
> orthogonalen Matrizen weiß ich aber bereits, dass deren
> Eigenwerte Betrag 1 haben.
>
> Reicht das denn schon für den Beweis oder brauch ich noch
> mehr?
Du brauchst noch mehr.
Weisst du, was orthogonale Abbildungen mit Skalarprodukten machen?
(Die Norm ist ja ueber Skalarprodukte definiert.)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 09.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
> Hallo!
>
> > Wir betrachten nun den [mm]\IR^n[/mm] mit dem kanonischen
> > Skalarprodukt. Sei [mm]\alpha_{A}: \IR^n \to \IR^n[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> > Ax, die durch eine Matrix A aus [mm]\IR^{n x n}[/mm] induzierte
> > Abbildung.
> > Beweisen Sie: Wenn [mm]A^{T}A[/mm] = E (die Einheitsmatrix),
> dann
> > ist [mm]\alpha_{A}[/mm] längentreu.
> >
> > Also vielen Dank nochmals für das Bisherige.
> > Hier weiß ich nun, dass wenn [mm]A^{T}A[/mm] = E ist, ist
> > [mm]A^{-1}=A^{T},[/mm] also eine orthogonale Matrix. Von
> > orthogonalen Matrizen weiß ich aber bereits, dass deren
> > Eigenwerte Betrag 1 haben.
> >
> > Reicht das denn schon für den Beweis oder brauch ich noch
> > mehr?
>
> Du brauchst noch mehr.
>
> Weisst du, was orthogonale Abbildungen mit Skalarprodukten
> machen?
>
> (Die Norm ist ja ueber Skalarprodukte definiert.)
>
Also wir hatten, wenn [mm] \beta [/mm] ein Endomorphismus ist und orthogonal, gilt für alle v aus V: ||v|| = || [mm] \beta(v) [/mm] || bzw. für alle u,v aus V gilt: <u,v> = < [mm] \beta(u), \beta(v)>.
[/mm]
Meintest du das?
Wenn ja, was hilft mir das denn?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo!
> >
> > > Wir betrachten nun den [mm]\IR^n[/mm] mit dem kanonischen
> > > Skalarprodukt. Sei [mm]\alpha_{A}: \IR^n \to \IR^n[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> > > Ax, die durch eine Matrix A aus [mm]\IR^{n x n}[/mm] induzierte
> > > Abbildung.
> > > Beweisen Sie: Wenn [mm]A^{T}A[/mm] = E (die Einheitsmatrix),
> > dann
> > > ist [mm]\alpha_{A}[/mm] längentreu.
> > >
> > > Also vielen Dank nochmals für das Bisherige.
> > > Hier weiß ich nun, dass wenn [mm]A^{T}A[/mm] = E ist, ist
> > > [mm]A^{-1}=A^{T},[/mm] also eine orthogonale Matrix. Von
> > > orthogonalen Matrizen weiß ich aber bereits, dass deren
> > > Eigenwerte Betrag 1 haben.
> > >
> > > Reicht das denn schon für den Beweis oder brauch ich noch
> > > mehr?
> >
> > Du brauchst noch mehr.
> >
> > Weisst du, was orthogonale Abbildungen mit Skalarprodukten
> > machen?
> >
> > (Die Norm ist ja ueber Skalarprodukte definiert.)
> >
>
> Also wir hatten, wenn [mm]\beta[/mm] ein Endomorphismus ist und
> orthogonal, gilt für alle v aus V: ||v|| = || [mm]\beta(v)[/mm] ||
> bzw. für alle u,v aus V gilt: <u,v> = < [mm]\beta(u), \beta(v)>.[/mm]
>
> Meintest du das?
> Wenn ja, was hilft mir das denn?
Na klar. Da steht doch alles: ||v|| = || [mm]\beta(v)[/mm] ||
Bei Dir ist [mm] \beta(x) [/mm] = Ax
FRED
>
> Viele Grüße
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