lagebeziehungen drei Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 19.04.2005 | | Autor: | Jen19 |
Hallo noch mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wenn ich drei ebenen habe und dazu die koorinatenformen der ebenengleichungen dann kann uch doch rauskriegen wie die zueinander liegen!?
Und da ist auch schon die Frage ob das stimmt was ich mir da ausmale:
Wenn die koeffizienten aller drei ebenen bei ax+by+cz=d die an der stelle a, b und c stehen linear abhängig sind sind die ebenen Parallel
wenn jetzt auch noch der "d" koeffizient der ebenen linear abhängig ist sind die Ebenen sogar identisch
und wenn das nicht stimmt muss ich folgendes machen:
um die lage der Ebenen zu bestimmen muss ich die drein funktionen in eine matrix schreiben und diese dann nach dem gaußverfahren auflösen...
und dann gucke ich on ich auf ein ergebnis komme (das bedeutet, das ich einen SP für alle drei Ebenen habe)
oder eine vollständige nullzeie, was eine substitution der zbsp z variable zur folge hat (eine Schnittpunktgerade)
oder eine unvollständige nullzeile ( was bedeutet, dass es keinen Sp für die Ebenen gibt...
ok das weis ich, aber irgendwie könen das doch nciht alle lagebeziehungen von drei ebenen sein oder?
danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 19.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Wenn die koeffizienten aller drei ebenen bei ax+by+cz=d die
> an der stelle a, b und c stehen linear abhängig sind sind
> die ebenen Parallel
> wenn jetzt auch noch der "d" koeffizient der ebenen linear
> abhängig ist sind die Ebenen sogar identisch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") sehr richtig! 
>
> und wenn das nicht stimmt muss ich folgendes machen:
>
> um die lage der Ebenen zu bestimmen muss ich die drein
> funktionen in eine matrix schreiben und diese dann nach dem
> gaußverfahren auflösen...
> und dann gucke ich on ich auf ein ergebnis komme (das
> bedeutet, das ich einen SP für alle drei Ebenen habe)
> oder eine vollständige nullzeie, was eine substitution der
> zbsp z variable zur folge hat (eine Schnittpunktgerade)
> oder eine unvollständige nullzeile ( was bedeutet, dass es
> keinen Sp für die Ebenen gibt...
>
> ok das weis ich, aber irgendwie könen das doch nciht alle
> lagebeziehungen von drei ebenen sein oder?
>
>
> danke schon mal
Also wenn du zwei Ebenen hast gibt es die Möglichkeiten, dass sie sich entweder in einer gerade schneiden, dass sie parallel liegen und/oder parallel liegen. In diesen fällen gibt es keinen Schnittpunkt bzw. eine Ebene als Schnittmenge! Nimmst du eine dritte Ebende hinzu können nur 3 Fälle eintreten:
Angenommen die ersten 2 haben sich in einer Gerade geschnitten. Dann kann die 3. Ebene identisch sein mit einer der ersten beiden und es bleibt eine Ebene. Sie kann diese Schnittgerade schneiden in einem Punkt, dann haben wir einen Schnittpunkt für alle 3 Ebenen. Oder aber die schneidet die gerade gar nicht, und wir haben keine besonders ausgezeichnete Lagebeziehung.
Nehmen wir nun an, die ersten zwei ebenen waren parallel und nicht identisch. Dann führt die 3. Ebene nicht zu einer neuen Lagebeziehung, ausser sie steht ebenfalls parallel zu ihnen.
Angenommen die ersten 2 waren identisch, dann reduziert sich unser Problem auf die betrachtung zweier Ebenen, die eine Gerade als Schnittmenge haben können oder eben keine oder die dritte ist auch noch identisch mit den anderen zweien.
Zusammenfassung:
3 Ebenen können sich nur in einem Punkt, einer Geraden oder einer Ebene schneiden. Oder aber sie nehmen keinen der 3 Fälle an (was recht häufig ist).
Gruß Micha 
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