lagrange - extrema unter nb < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Sa 20.02.2010 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Bestimmen SIe die Extrea der Funktion z= [mm] x_1^{4}+x_2^{4}+...+ x_n^{4} [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] x_1+x_2+x_3+ [/mm] ... [mm] +x_n=n*a [/mm] |
Hallo,
ich komme mit diesen Aufgabentypen im unendlichen irgendwie nicht klar.
ich weiss nicht einmal wie ich aus der definition, die wir für relative extrema unter Nebenbedingungen haben irgendwas aufstellen soll.
den satz den wir dazu haben ist:
[mm] $\displaystyle \exists [/mm] ! [mm] (\lambda_1, \ldots, \lambda_m) \in \mathbb{R}^m: \, \fr... [/mm] ...i [mm] \frac{\partial g^i}{\partial x^k}(\mathbf{a}) \quad \forall [/mm] \ k=1, [mm] \ldots, [/mm] n $
hat mir jemand einen tip fuer die herangehensweise?
vielen dank
lg
katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Sa 20.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen SIe die Extrea der Funktion z=
> [mm]x_1^{4}+x_2^{4}+...+ x_n^{4}[/mm] unter der Nebenbedingung
> [mm]x_1+x_2+x_3+[/mm] ... [mm]+x_n=n*a[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme mit diesen Aufgabentypen im unendlichen irgendwie
> nicht klar.
>
> ich weiss nicht einmal wie ich aus der definition, die wir
> für relative extrema unter Nebenbedingungen haben
> irgendwas aufstellen soll.
>
> den satz den wir dazu haben ist:
>
> [mm]\displaystyle \exists ! (\lambda_1, \ldots, \lambda_m) \in \mathbb{R}^m: \, \fr... ...i \frac{\partial g^i}{\partial x^k}(\mathbf{a}) \quad \forall \ k=1, \ldots, n[/mm]
>
> hat mir jemand einen tip fuer die herangehensweise?
>
> vielen dank
>
> lg
> katja
Hallo,
ich kenne mich leider mit dem Verahren nicht aus. Ein Minimum ergibt sich nach meiner Überzeugung, wenn [mm] x_1=x_2=...=x_n=a [/mm] gilt.
Wenn die x-Werte auch negativ sein dürfen, gibt es kein Maximum [mm] (x_1 [/mm] kann z.B. beliebig groß werden, [mm] x_2=-x_1, x_3=n*a, [/mm] der Rest wird Null).
Wenn sie nicht negativ werden dürfen, dann haben wir sicher ein Maximum, wenn ein Wert n*a ist und alle anderen Null werden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm, ich denke dass sie schon auch negativ werden dürfen, zumindest steht kein hinweis in der aufgabenstellung.
hat mir das jemand noch wie in dem verfahren,d ass man eigtl anwenden solte?
lg
und danke
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> hat mir das jemand noch wie in dem verfahren,d ass man
> eigtl anwenden solte?
Ich kenne zwar das Verfahren an sich, aber nicht die Art und Weise, wie sie im OP angegeben ist. Das müsste man nochmal ausfürhlich hinschreiben bevor ich mehr Gehirnschmalz drauf ansetze.
> katja
Sag mal, gehören die beiden Accounts zu der gleichen Katja?!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm ne, kenne den katjap account nicht.
ich bin nur öfters auf ihre threads gestoßen, weil ich die gleichen fragen habe.
sie ist wahrscheinlich im gleichen semester wie ich, zumindest studiert sie auch physik;)
lg muhmuh
(dann bleibe ich wohl bei muhmuh, um keine verwirrungen zu stiften, ich mag sowieso meinen chatnamen mehr;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 21.02.2010 | | Autor: | katjap |
Hallo,
tut mir Leid, dass die Frage so lange von mir unberührt blieb,
habe mir das verfahren erstmal im 2 dimensionalen angeschaut.
also zunächst habe ich gelernt, dass man schaut was für extrema vorliegen
also bildet man die ersten Ableitungen der Funktion nach den Variablen
[mm] df/dx_1 [/mm] = [mm] 4*x_1^{3} [/mm] =0
ebenso mit den anderen n
nun die 2. Ableitungen für die Eigenwerte, da die gemischten, jeweils wegfallen entsteht eine Diagonalmatrix
mit jeweils [mm] \lambda -12*x_1^{2}, [/mm]
[mm] \lambda [/mm] - [mm] 12*x_2^{2} [/mm]
, ...,
[mm] \lambda -12*x_n^{2}
[/mm]
als Einträge der Diagonalen
Die Determinante daraus ist leicht zu berechnen, das Produkt der Einträge auf der Diagonalen. Für die Eigenwert berechnung soll dies nun = 0 sein,
daraus ergibt sich, dass [mm] \lambda [/mm] = 12 > 0 -> Minima liegen vor
Nun muss man die Nebenbedingung anschauen,
es ergibt sich ein Gleichungssystem:
[mm] \bruch{df}{dx_1} [/mm] + [mm] \lambda *\bruch{dg}{dx_2}= [/mm] 0
-> [mm] 4x_1^{3}* \lambda [/mm] = 0
... [mm] \bruch{df}{dx_n} [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * [mm] \bruch{dg}{dx_n}=0
[/mm]
->....4* [mm] x_n^{3} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] =0
wir haben daher n Gleichungen und n+1 unbekannte
um lambda zu bestimmen stellt man nun die Bedingung für den Extremwert nochmal,
und zwar soll
die Determinante
[mm] \vmat{ 4*x_1^{3} & ... & 4* x_n^{3}\\ \lambda & ....& \lambda }=0 [/mm] sein
jetzt bin ich mir nur unsicher, mit der nx2 oder 2x n Matrix,
weil in unserem 2 dimensionalen Beispiel war es so:
LGS:
[mm] 8x-3y+\lambda*2x [/mm] =0
-3x + [mm] \lambda [/mm] * 2y = 0
die Determinante war dann:
[mm] \vmat{ 8+ 2* \lambda & -3\\ -3 & 2* \lambda }= [/mm] 0
Dann hat man daraus lambda bestimmt
und daraus y in abhängigkeit von x und das konnte man dann in die Nebenbedinung einsetzen.
Ich stocke beim n-dimensionalen eben oben bei der Determinante,
weil ich auch schon nicht weiss, wie man eine nicht quadratische n-dimensionale Determinante ausrechnet.
Tips?
vielen dank,
lg
katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 21.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> tut mir Leid, dass die Frage so lange von mir unberührt
> blieb,
Eher ja dein Schaden, also kein Problem! 
> habe mir das verfahren erstmal im 2 dimensionalen
> angeschaut.
Extrea unter Nebenbedingung? Im 2 dim.? Wie meinst du das?
> also zunächst habe ich gelernt, dass man schaut was für
> extrema vorliegen
Nun, ja, das ist die Aufgabe ...
> also bildet man die ersten Ableitungen der Funktion nach
> den Variablen
>
> [mm]df/dx_1[/mm] = [mm]4*x_1^{3}[/mm] =0
>
> ebenso mit den anderen n
Nciht bie Extrema unter Nebenbedingung! Wäre gut, wenn du die Sätze dafür, die ihr hatte, psoten würdest!
> nun die 2. Ableitungen für die Eigenwerte, da die
> gemischten, jeweils wegfallen entsteht eine Diagonalmatrix
Was für Eigenwerte? Diagonalmatrix? Bitte was?
> mit jeweils [mm]\lambda -12*x_1^{2},[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] - [mm]12*x_2^{2}[/mm]
> , ...,
> [mm]\lambda -12*x_n^{2}[/mm]
Ein [mm] \lambda [/mm] - woher kommt das denn?! Was sind das für terme?
> Nun muss man die Nebenbedingung anschauen,
Nein, das musst du vorher machen, oder zusammen - so habt ihr Extrema unter NB sicher nciht ausgerechnet!
> es ergibt sich ein Gleichungssystem:
>
> [mm]\bruch{df}{dx_1}[/mm] + [mm]\lambda *\bruch{dg}{dx_2}=[/mm] 0
Und was ist g? Ich sehe hier eine Gleichung, kein System!
> -> [mm]4x_1^{3}* \lambda[/mm] = 0
>
> ... [mm]\bruch{df}{dx_n}[/mm] * [mm]\lambda[/mm] * [mm]\bruch{dg}{dx_n}=0[/mm]
>
> ->....4* [mm]x_n^{3}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] =0
Diese Gleichungen sind alle konfus, wie kommst du von der einen auf die andere?
> und zwar soll
> die Determinante
> [mm]\vmat{ 4*x_1^{3} & ... & 4* x_n^{3}\\ \lambda & ....& \lambda }=0[/mm]
> sein
Diese Determianten existiert so, wie du denkst, nicht. Aber da fehlen im Zweifel viele Einträge!
> Tips?
Gehe das mit den Sätzen und Verfahren durch - du verschweigst viele Sachen (zB was ist g ist!), daher sit alles sehr wirr. Wenn wir das langsam machen, wird das.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 21.02.2010 | | Autor: | katjap |
ok,
ich versuche es mal zu ordnen,
meine Funktion ist:
[mm] f(x_1,...,x_n) [/mm] = [mm] x_1^{4}+...+x_n^{4}
[/mm]
die part. Ableitungen dazu:
[mm] \bruch{df}{dx_1}= 4*x_1^{3}
[/mm]
....
[mm] \bruch{df}{dx_n}= 4*x_n^{3}
[/mm]
die nebenbedingung ist:
[mm] g(x_1,..,x_n)= x_1+x_2+...x_n [/mm] - n*a= 0
die Partiellen Ableitungen dazu:
[mm] \bruch{df}{dx_1}= [/mm] 1
...
[mm] \bruch{df}{dx_n}= [/mm] 1
Wegen dem Satz,dass genau dann [mm] \bruch{\partial F}{\partial x_i} [/mm] + [mm] \summe_{s=1}^{m} \lambda \bruch{\partial g_s}{\partial{x_i}} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] 1,...,n
habe ich nun das Gleichungssystem:
[mm] 4*x_1^{3}+ \lambda [/mm] =0
[mm] 4*x_2^{3}+ \lambda [/mm] =0
....
[mm] 4*x_n^{3}+ \lambda [/mm] =0
nun weiss ich nicht weiter, wie ich dann die Matrix für die Determinante aufstellen soll.
danke für tips,
lg
katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 21.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> die Partiellen Ableitungen dazu:
> [mm]\bruch{df}{dx_1}=[/mm] 1
> ...
> [mm]\bruch{df}{dx_n}=[/mm] 1
g, nciht f. Aber sonst alles richtig.
>
>
> Wegen dem Satz,dass genau dann [mm]\bruch{\partial F}{\partial x_i}[/mm]
> + [mm]\summe_{s=1}^{m} \lambda \bruch{\partial g_s}{\partial{x_i}} \forall[/mm]
> i [mm]\in[/mm] 1,...,n
=0 für alle i!
> habe ich nun das Gleichungssystem:
>
> [mm]4*x_1^{3}+ \lambda[/mm] =0
> [mm]4*x_2^{3}+ \lambda[/mm] =0
> ....
> [mm]4*x_n^{3}+ \lambda[/mm] =0
Genau.
> nun weiss ich nicht weiter, wie ich dann die Matrix für
> die Determinante aufstellen soll.
Ist das Gleichungssystem linear? Nein, daher kommst du mit liearen Lösen (bzw. Determinante) nicht weiter. Aber, mann aknn doch aus den Gleichungen [m]x_i=x_j[/m] folgern. Wir brauchen das [mm] \lambda [/mm] nciht berechnen! Wenn man das hat, setzt man es in die NB ein, erechnet den wert der Funtion - und argumentiert (!), warum es ein Minimum sein muss.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 21.02.2010 | | Autor: | katjap |
ahhh ok,
macht sinn:)
gut dann wäre es mit der Nebenbedingung
[mm] x_1+x_2+...+x_n [/mm] = n*a
wegen [mm] x_1=x_2=...=x_n [/mm]
ist n*x=n*a
-> x=a
Für x= a gibt es ein Extremum mit [mm] x_1=x_2=...=x_n=a
[/mm]
Beim argumentieren für das Minimum bin ich mir unsicher,
kann ich da sagen, dass es ein MInimum sein muss, da es kein Maximum gibt, da x auch unter der Nebenbedingung unendlich groß werden kann?
vielen dank:)
lg
katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 21.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> -> x=a
Wenn du das so raus hast und das so aus dem GLS lösen konntest!
> Für x= a gibt es ein Extremum mit [mm]x_1=x_2=...=x_n=a[/mm]
Kann auch ein Sattelpunkt sein! Aber: wir haben genau einen solchen Punkt.
> Beim argumentieren für das Minimum bin ich mir unsicher,
> kann ich da sagen, dass es ein MInimum sein muss, da es
> kein Maximum gibt, da x auch unter der Nebenbedingung
> unendlich groß werden kann?
Die Funktion ist immer positiv (auf unserer NB), nun gilt für x mit großer Norm, dass die Funktion groß wird (unendlich groß wird sie nie!), dh es gibt kein Maximum, aber es heißt auch, dass es ein globales Minimum gibt, was wir damit gefunden haben.
SEcki
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