\lambda- Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Die Liouvillesche [mm] \lambda-Funktion [/mm] ist definiert durch [mm] \lambda(1) [/mm] := 1
und [mm] \lambda(n) [/mm] := [mm] (-1)^{\alpha_{1}+\alpha_{2}+....+\alpha_{r}}
[/mm]
falls [mm] n=(p_{1})^{\alpha_{1}}*...*(p_{r})^{\alpha_{r}} [/mm] die Primzerlegung von n ist. Zeigen Sie:
a) [mm] \summe_{d|n} \lambda(d) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ Quadratzahl} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ sonst } \end{cases}
[/mm]
b) [mm] \lambda(n) [/mm] = [mm] \summe_{d^2|n} \mu(n/d^2) [/mm] |
Hallo zusammen,
hab mir zu obiger Aufgabe schon mal was überlegt komme aber an einer bestimmten Stelle nicht mehr weiter und zwar:
zu a) Wenn gilt [mm] n=(p_{1})^{\alpha_{1}}*...*(p_{r})^{\alpha_{r}} [/mm] und dies die Primzerlegung ist,muss doch für alle Teiler d von n gelten:
Jeder Teiler d hat die Form: [mm] (p_{1})^{h_{1}}*...*(p_{r})^{h_{s}} [/mm] mit [mm] 0\le h_{k}\le [/mm] r für [mm] k=1,...,\alpha_{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] mit der Multiplikativität der [mm] \lambda-Fkt: \lambda(d)= \lambda((p_{1})^{h_{1}})*...*\lambda(p_{s})^{h_{s}}
[/mm]
Hieraus folgt doch wieder:
[mm] \summe_{d|n} \lambda(d)= [/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{r}(\summe_{h=0}^{\alpha_{k}} \lambda((p_{k})^{h}) [/mm] )
Soweit richtig?
Jetzt fangen meine Probleme langsam an:
Kann ich [mm] \lambda((p_{k})^{h}) [/mm] nicht umschreiben als [mm] (-1)^h [/mm] ?oder geht das nicht so einfach?
Dann hätte ich ja [mm] \produkt_{k=1}^{r}(\summe_{h=0}^{\alpha_{k}} (-1)^h [/mm] )
Und weiter:
[mm] (\summe_{h=0}^{\alpha_{k}} (-1)^h)^r [/mm] ???
Aber auch jetzt weiß ich nicht mehr wirklich weiter.
Ich muss ja am Ende darauf kommen, dass dieser Ausdruck 1 wird falls n Quadratzahl und o sonst.
Was kann ich den für die Koeffizienten von einer Quadratzahl aussagen außer, dass sie mindestens alle 2 sein müssen? Und was bringt mir das für die Aufgabe?
zu b): Hier weiß ich nur, dass die Funktion [mm] \mu [/mm] (n) so definiert ist, dass sie 0 ergibt, wenn n nicht quadratfrei ist und dass sie [mm] (-1)^r [/mm] ergibt, wenn n = [mm] p_{1}*...*p_{r} [/mm] quadratfrei.
Die [mm] \mu-Fkt [/mm] ist ja auch wieder multiplikativ: KÖnnte man die Summe deshalb vllt umschreiben in: [mm] \summe_{d^2|n} \mu(n/d^2)= \summe_{d^2|n} \mu(n)*\mu(1/d^2) [/mm] ? Aber kommt dann nicht 0 raus wenn ich für n eine Quadratzahl wähle? Aber nach Vor. darf das ja gar nicht sein?
Irgendwas übersehe ich!Hätte mir jemand auch hier vielleicht eine Anregung?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mo 15.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Lati
Wenn d ein Teiler von n ist, dann gibt es Zahlen [mm] 0\leq k_1\leq\alpha_1, 0\leq k_2\leq\alpha_2, \dots, 0\leq k_r\leq\alpha_r [/mm]
so dass [mm] d=p_1^{k_1}\cdot\dots\cdot p_r^{k_r}.
[/mm]
Dann gilt
[mm] \sum_{d|n}\lambda(d)=\sum_{k_1=0}^{\alpha_1}\sum_{k_2=0}^{\alpha_2} \dots\sum_{k_r=0}^{\alpha_r}(-1)^{k_1+\dots+k_r}=\sum_{k_1=0}^{\alpha_1} \dots\sum_{k_{r-1}}^{\alpha_{r-1}}(-1)^{k_1+\dots+k_{r-1}} \underbrace{\sum_{k_r}^{\alpha_r}(-1)^{k_r}}_{\dfrac{1+(-1)^{\alpha_r}}{2}}
[/mm]
[mm] =\left(\dfrac{1+(-1)^{\alpha_1}}{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(\dfrac{1+(-1)^{\alpha_r}}{2}\right)
[/mm]
Wegen [mm] \dfrac{1+(-1)^{\alpha_1}}{2}=\begin{cases}0 & \alpha_1 \mbox{ ungerade} \\ 1 & \alpha_1 \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
ist das ergebnis nur dann 1, wenn alle [mm] \alpha_i [/mm] gerade sind. Das ist aber genau dann der Fall, wenn n
eine Quadratzahl ist.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hi moudi,
vielen Dank für deine schnelle und sehr gut nachvollziehbare Antwort!
Hättest du mir vielleicht auch noch einen Tipp zu b)?
Vielen Dank und viele Grüße
Lati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 15.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Lati
b) wuerde ich so anpacken. Definiere [mm] $\lambda^\ast(n)=\sum_{d^2|n}\mu\left(\frac{n}{d^2}\right)$.
[/mm]
Zeige dann, dass [mm] $\lambda^\ast*(n)$ [/mm] multiplikativ ist. Das ist relativ einfach, da die Moebiusfunktion multiplikativ ist.
Dann musst du nur noch fuer Primzahlpotenzen zeigen, dass [mm] $\lambda^\ast(n)=\lambda(n)$ [/mm] ist, da multiplikative
Funktionen, die fuer Primzahlpotenzen uebereinstimmen, fuer alle Zahlen uebereinstimmen. Dieser zweite Punkt
ist auch einfach.
Das ist eigentlich ein natuerliches Vorgehen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Di 16.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Moudi,
vielen Dank, dass du mir auch noch zur b) eine Antwort geschrieben hast.
Hat mir geholfen!
Danke!
Viele Grüße
Lati
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