lim-Rechnung mit Wurzeln < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:34 Mi 11.02.2004 | | Autor: | mmeixner |
Hallo,
bin zum ersten Mal hier, schon lange keine Schüler mehr, aber wieder auf dem Weg, meine mathematischen Kenntnisse aufzupolieren...
(Mein erster Frageversuch wurde als Mitteilung klassifiziert, deswegen nochmal hier - sorry für die Verdoppelung)
Also: ich bräuchte eine kurze Starthilfe für:
[mm] \limes_{n \to \infty} \left( \wurzel{n^2 -1}\ - \ \wurzel{n^2+n}\ \right) [/mm]
Bis jetzt rechne ich für den linken Wurzelterm:
[mm] \limes_{n \to \infty} \left( \wurzel{n^2 -1} \right) = \limes_{n \to \infty} n\wurzel{1- \bruch{1}{n^2}} = \limes_{n \to \infty} n*1 = \infty[/mm]
Ist das korrekt? (Wahrscheinlich nicht...)
Die rechte Wurzel ist mir dann noch nicht so ganz klar...
Danke im voraus!
Michael
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mi 11.02.2004 | | Autor: | mmeixner |
Hallo, danke für die rasche Antwort, und duzen ist sehr ok!
Ich hab die Aufgabe aus dem Buch "Brücken zur Mathematik" Bd. 4, und die geben da zur Grenzwertberechnung mit Wurzeln folgende Beispiele:
1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n^2+1}}{2n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n\wurzel{1+\bruch {1}{n^2}}}{2n} = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{2n} = \bruch {1}{2} [/mm]
Das versteh ich noch ganz gut, und daher hab ich meinen Lösungsansatz.
2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n^3+n^2}}{n^2-3n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^\bruch{3}{2}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}{n^2(1-\bruch{3}{n})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^\bruch{3}{2}}{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty}n^{-\bruch{1}{2}} = 0 [/mm]
[gutes Training im Formeltippen das, nebenbei...]
Und dann wird dazu erläutert:
"Im Radikanden einer Wurzel bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz das Verhalten für grosse n, also etwa [mm]\wurzel{n^3+n^2} \approx \wurzel{n^3} = n^\bruch{3}{2} [/mm] für grosse n."
Den ersten Teil davon versteh ich schon, aber ist das eine präzise Herleitung, oder eher so eine Hausregel?
Das mit dem Mittelwertsatz werd ich nachschlagen und probieren, und dann möcht ich gern mit deiner Lösung vergleichen.
(Hinten im Lösungsteil steht in der Tat [mm]-\bruch{1}{2}[/mm], aber ohne Herleitung.)
Danke vorerst!
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 11.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael,
die Beispiele sind in Ordnung, dort war die Findung des Grenzwertes aber auch (vergleichsweise) einfach.
Die Regel, die du da gefunden hast,
> "Im Radikanden einer Wurzel bestimmt der Summand mit der
> höchsten Potenz das Verhalten für grosse n, also etwa
> [mm]\wurzel{n^3+n^2} \approx \wurzel{n^3} = n^\bruch{3}{2}[/mm] für
> grosse n."
ist eine mit Vorsicht zu genießende "Hausregel", wie du es schön formuliert hast, keine exakte mathematische Regel. Nach der Regel wäre dein ursprünglich gefragter Grenzwert ja 0. Daran sieht man schon, wie unzuverlässig solche "Regeln" bei der konkreten Berechnung von Grenzwerten sind. Was man sagen kann (und das kann man auch mathematisch sauber beweisen) ist die Tatsache, dass der Grenzwert einer rationalen Funktion (Polynom:Polynom) durch die höchsten Exponenten bestimmt ist. Aber die Sache mit der Wurzel finde ich etwas gewagt, auch wenn es in gewissen Sinne natürlich intuitiv ist.
> Das mit dem Mittelwertsatz werd ich nachschlagen und
> probieren, und dann möcht ich gern mit deiner Lösung
> vergleichen.
Ja, die Argumentation ist dann am Schluss aber vielleicht nicht ganz einfach. Melde dich bitte bei Problemen wieder...
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 13.02.2004 | | Autor: | mmeixner |
Zu der Aufgabe, zu der ich gefragt habe, ist mir noch ein Hinweis in dem betreffenden Buch begegnet, den ich zuerst übersehen habe (Erweiterung von [mm](\wurzel{a_n}-\wurzel{b_n})[/mm] mit [mm](\wurzel{a_n}+\wurzel{b_n})[/mm] ).
Wäre also folgende Lösung korrekt?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2-1} - \wurzel{n^2+n}) =[/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n^2-1} - \wurzel{n^2+n})(\wurzel{n^2-1} + \wurzel{n^2+n})}{(\wurzel{n^2-1} + \wurzel{n^2+n})} =[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2-1-n^2-n}{n\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}} + n\wurzel{1+\bruch{1}{n}}} =[/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-n-1}{n+n} =[/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-n}{2n} =[/mm]
[mm]= -\bruch{1}{2}[/mm]
Danke im voraus, und das hier ist eine hervorragende Einrichtung...
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Sa 14.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael,
perfekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Danke, das hatte ich glatt übersehen. (Peinlich...) Ich hatte zwar auch -wie gesagt- die gleiche Lösung, aber dieser Lösunsgweg hier ist schöner, weil elementarer.
Melde dich einfach wieder bei weiteren Fragen...
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Sa 14.02.2004 | | Autor: | mmeixner |
> Danke, das hatte ich glatt übersehen.
Dafür bin ich jetzt mit den Mittelwertsätzen beschäftigt, und das ist es wert!
> Melde dich einfach wieder bei weiteren Fragen...
Die kommen sicher bald...würden Fragen zu komplexenZahlen und Euler-Gleichungen auch in dieses Forum hier passen (Oberstufe-Analysis)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Sa 14.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael,
> ...würden Fragen zu komplexenZahlen
> und Euler-Gleichungen auch in dieses Forum hier passen
> (Oberstufe-Analysis)?
Ja, auf jeden Fall!
Wir freuen uns darauf. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Sa 14.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael,
Kommando zurück  :
Stelle Fragen zu komplexen Zahlen bitte doch besser ins Forum "Uni-Analysis" (obwohl es manchmal auch Schulstoff ist), sonst werden hier Schülerinnen und Schüler ob des Schwierigkeitsgrades der anderen Fragen abgeschreckt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Sa 14.02.2004 | | Autor: | mmeixner |
> Stelle Fragen zu komplexen Zahlen bitte doch besser ins
> Forum "Uni-Analysis" (obwohl es manchmal auch Schulstoff
> ist), sonst werden hier Schülerinnen und Schüler ob des
> Schwierigkeitsgrades der anderen Fragen abgeschreckt.
ok, dort bin ich dann sozusagen als Anfänger willkommen...
also dann...
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