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| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n})_{n} [/mm] eine Folge in [mm] \IC^{*} [/mm] und R der Konvergenzradius des Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] \liminf_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| \le [/mm] R [mm] \le \limsup_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|.
[/mm]
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Hallo,
irgendwie ist dieses Wochenende nicht so wirklich mein Glanzwochenende ;). Ich hab bei obiger Aufgabe Probleme, auf den grünen Zweig zu kommen. Mir ist klar, dass diese Aufgabe praktisch ja bedeutet, dass R= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] gilt. Und ich würde gerne die Definition benutzen von limsup und liminf und dazu noch das Quotientenkriterium. Aber praktisch umgesetzt bekomm ichs einfach nicht..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
(Ich habe deine Eingabe ein bischen korrigiert, du musst bei [mm] $a_{n+1}$ [/mm] auch Klammern um das n+1 machen.)
> Seien [mm](a_{n})_{n}[/mm] eine Folge in [mm]\IC^{*}[/mm] und R der
> Konvergenzradius des Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.[/mm] Zeigen Sie, dass
> [mm]\liminf_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| \le R \le \limsup_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|.[/mm]
>
> Hallo,
> irgendwie ist dieses Wochenende nicht so wirklich mein
> Glanzwochenende ;). Ich hab bei obiger Aufgabe Probleme,
> auf den grünen Zweig zu kommen. Mir ist klar, dass diese
> Aufgabe praktisch ja bedeutet, dass R=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] gilt.
Aber nur dann, wenn dieser Limes existiert. Ein Gegenbeispiel ist die Sinusreihe, wo alle gerade Koeffizienten 0 sind, sodass [mm] $|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|$ [/mm] abwechselnd 0 und undefiniert ist.
> Und
> ich würde gerne die Definition benutzen von limsup und
> liminf und dazu noch das Quotientenkriterium. Aber
> praktisch umgesetzt bekomm ichs einfach nicht..
Wie habt ihr denn den Konvergenzradius formal definiert? Der Konvergenzradius ist zum Beispiel das Supremum der Menge aller positiven reellen Zahlen t, für die die Folge [mm] $|a_n| t^n$ [/mm] eine beschränkte Folge ist. (Das ergibt sich durch Vergleich mit der geometrischen Reihe als konvergenter Majoranten.)
Du musst zum einen zeigen, dass der Limes inferior kleiner als der Konvergenzradius R ist. Wenn also
[mm] s:= \liminf_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm],
so muss [mm] $\summe a_n s^n [/mm] $ konvergieren. Versuche zu zeigen, dass die Folge [mm] $|a_n| s^n$ [/mm] beschränkt ist.
Tipp: Nun gilt für ein gewisses N: $ [mm] \liminf_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| \le |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] $ für alle $n>N$, das ist äquivalent zu [mm] $|a_{n+1} [/mm] | s [mm] \le |a_n|$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Ne, ich glaub, diese aufgabe wird nichts...ich sitz da seit über 5 stunden dran....Das regt mich immer so auf, wenn man die Lösung sieht, denkt man: ja, klar. Aber draufkommen tut man einfach oft nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ne, ich glaub, diese aufgabe wird nichts...ich sitz da seit
> über 5 stunden dran....Das regt mich immer so auf, wenn
> man die Lösung sieht, denkt man: ja, klar. Aber
> draufkommen tut man einfach oft nicht...
Geh von meinem Tipp aus:
[mm]|a_n| \ge |a_{n+1}|s [/mm]
und setze das iterativ fort:
[mm] |a_n| \ge |a_{n+1}|s \ge |a_{n+2}| s^2 \ge \dots \ge |a_{n+k}|s^k [/mm] für alle $k>0$.
Was ergibt sich also für [mm] $|a_{n+k}|s^{n+k}$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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Was du machst, versteh ich schon irgendwie, doch nicht wirklich, worauf du hinauswillst...also was das mit dem urpsrungsproblem zu tun hat..
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Ich hab jetzt folgendes:
wenn man das iterativ fortsetzt, ergibt sich ja:
[mm] |a_{n+k}|s^{k+n}\ge |a_{n}s^{n}|. [/mm] Dann folgt also dass [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+k}}| \le \bruch{s^{n+k}}{s^{k}}. [/mm] Damit is aber [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+k}}|s^n \le s^{n+k} [/mm]
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ne moment ;) also, wenn ich ja weiß, dass [mm] |a_{n+k}|s^{k+n} \le a_{n}s^{n} [/mm] , dann is das ja ne monoton fallende folge, oder? Und damit belibt sie schon mal nach oben beschränkt, und nach unten sowieso durch 0 oder? sorry ;) für die vielen fragen hintereinander, aber mit fällt immer was neues auf ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ne moment ;) also, wenn ich ja weiß, dass [mm]|a_{n+k}|s^{k+n} \le a_{n}s^{n}[/mm]
> , dann is das ja ne monoton fallende folge, oder? Und damit
> belibt sie schon mal nach oben beschränkt, und nach unten
> sowieso durch 0 oder?
Genau! Denn das gilt für alle n ab einem gewissen $N>0$. Die endlich vielen Glieder vor diesem N spielen für die Konvergenz keine Rolle. Also ist für dieses feste N und jedes $k<0$ $k>0$:
[mm] |a_{N+k}|s^{k+N} \le a_{N}s^{N}[/mm]
Die rechte Seite ist eine feste Zahl $M := [mm] a_{N}s^{N}$.
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] $s\le$ [/mm] dem Konvergenzradius sein muss, denn für ein r mit $0<r<s$ gilt:
[mm] \summe |a_n| r^n = \summe| a_n |s^n (\bruch{r}{s})^n \le \summe M (\bruch{r}{s})^n = M\summe (\bruch{r}{s})^n [/mm].
Da $ 0 [mm] <\bruch{r}{s}< [/mm] 1$, steht rechts die konvergente geometrische Reihe als Majorante. Also ist die Reihe für beliebige r mit $0<r<s$ konvergent. Also muss [mm] $s\le [/mm] R$ sein.
So, und jetzt musst du diese Argumentation analog für den Limes superior führen.
Viele Grüße
Rainer
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ahm ja ;) endlcih, danke dir. warum aber muss k kleiner 1 sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 09.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ahm ja ;) endlcih, danke dir. warum aber muss k kleiner 1
> sein?
Sorry, den Tippfehler habe ich gar nicht gesehen: es muss $k>0$ heissen! Danke.
Viele Grüße
Rainer
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