lim sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Fr 22.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo liebe Community!
Ich habe eine Frage zu einem Beweis. Es geht um Folgenden:
Sei [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine beschränkte Folge.
Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] x_{n}, [/mm] so konvergiert die Folge und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] x_{n}.
[/mm]
Beweis: Es gelte [mm] x_{\infty}:= \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] x_{n}.
[/mm]
Sei [mm] y_{n} [/mm] = [mm] inf\{x_{k} | k \ge n\}, z_{n} [/mm] := [mm] sup\{x_{k} | k \ge n\} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] (y_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (z_{n})_{n\in\IN} [/mm] gegen [mm] x_{\infty} [/mm] konvergent.
Weiter ist [mm] \{x_{k} | k \ge n\} \supseteq \{x_{k} | k \ge n+1\}
[/mm]
und damit
[mm] y_{n} [/mm] = [mm] inf\{x_{k} | k \ge n\} \le inf\{x_{k} | k \ge n+1\} [/mm] = [mm] y_{n+1}
[/mm]
für alle n [mm] \in \IN, [/mm] d.h. die Folge [mm] (y_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist monoton wachsend. Analog ist [mm] (z_{n})_{n\in\IN} [/mm] monoton fallend.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Da die Folge [mm] (y_{n}) [/mm] konvergiert, existiert ein [mm] N_{i} \in \IN, [/mm] so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge N_{i} [/mm] gilt
[mm] |y_{n} [/mm] - [mm] x_{\infty}| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Weiter ist [mm] y_{n} \le x_{\infty} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] da die Folge monoton wächst. Damit ist insbesondere
[mm] x_{\infty} [/mm] - <_{n} = [mm] |x_{\infty} [/mm] - [mm]
Ebenso existiert ein [mm] N_{s} \in \IN, [/mm] so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge N_{s} [/mm] gilt
[mm] z_{n} [/mm] - [mm] x_{\infty} [/mm] = [mm] |x_{\infty} [/mm] - [mm] z_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Sei nun [mm] N:=max\{N_{i}, N_{s}\}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] N,
1.Fall: [mm] x_{n} \le x_{\infty}. [/mm] Da [mm] y_{n} \le x_{n} [/mm] ist, ist damit
[mm] |x_{\infty} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] = [mm] x_{\infty} [/mm] - [mm] x_{n} \le x_{\infty} [/mm] - <_{n} < [mm] \epsilon.
[/mm]
2.Fall: [mm] x_{n} \ge x_{\infty}. [/mm] Da [mm] z_{n} \ge x_{n} [/mm] ist, ist damit
[mm] |x_{\infty} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] x_{\infty} \le z_{n} [/mm] - [mm] x_{\infty} [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Damit konvergiert [mm] (x_{n})_{n\in\IN}.
[/mm]
Zunächst einmal verstehe ich nicht, wieso aus [mm] \{x_{k} | k \ge n\} \supseteq \{x_{k} | k \ge n+1\} [/mm] die Aussage [mm] y_{n} [/mm] = [mm] inf\{x_{k} | k \ge n\} \le inf\{x_{k} | k \ge n+1\} [/mm] = [mm] y_{n+1} [/mm] folgt.
Fall 1: Aus [mm] \{x_{k} | k \ge n\} [/mm] = [mm] \{x_{k} | k \ge n+1\} [/mm] folgt [mm] y_{n} [/mm] = [mm] inf\{x_{k} | k \ge n\} [/mm] = [mm] inf\{x_{k} | k \ge n+1\} [/mm] = [mm] y_{n+1} [/mm] ist mir denke ich klar, denn wenn eine Menge gleich der anderen ist, dann ist auch deren größte unterste Schranke gleich.
Aber was ist mit dem anderen Fall, wenn die eine Menge eine echte Teilmenge der anderen Menge ist?
Für eure Antworten wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Fr 22.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Seien A und B nichtleere und nach unten beschränkte Teilmengen von [mm] \IR [/mm] mit A [mm] \subseteq [/mm] B.
Dann gilt: [mm] $\inf [/mm] B [mm] \le \inf [/mm] A$.
Das hattet Ihr vielleicht. Wenn nicht, so beweise ich Dir das:
sei a:= [mm] \inf [/mm] A und b := [mm] \inf [/mm] B.
Ist x [mm] \in [/mm] A, so ist x [mm] \in [/mm] B. Somit gilt:
b ist eine untere Schranke von A.
Nun ist a die größte untere Schranke von A, also haben wir a [mm] \le [/mm] b.
Edit: ich hab mich verschrieben. Es ist natürlich b [mm] \le [/mm] a.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Fr 22.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED,
vielen Dank für deine Antwort und den vorgeführten Beweis!
Sorry falls ich mich irre, aber hast du da nicht etwas vertauscht?
Zu Zeigen ist ja: wenn A und B nichtleere und nach unten beschränkte Teilmengen von [mm] \IR [/mm] mit A [mm] \subseteq [/mm] B sind, dann gilt: [mm] \inf [/mm] B [mm] \le \inf [/mm] A
Du definierst a:= [mm] \inf [/mm] A und b := [mm] \inf [/mm] B, und kommst zum Schluss, dass a [mm] \le [/mm] b ist, also [mm] \inf [/mm] A [mm] \le \inf [/mm] B.
Gruß X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Fr 22.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> vielen Dank für deine Antwort und den vorgeführten
> Beweis!
> Sorry falls ich mich irre, aber hast du da nicht etwas
> vertauscht?
>
> Zu Zeigen ist ja: wenn A und B nichtleere und nach unten
> beschränkte Teilmengen von [mm]\IR[/mm] mit A [mm]\subseteq[/mm] B sind,
> dann gilt: [mm]\inf[/mm] B [mm]\le \inf[/mm] A
>
> Du definierst a:= [mm]\inf[/mm] A und b := [mm]\inf[/mm] B, und kommst zum
> Schluss, dass a [mm]\le[/mm] b ist, also [mm]\inf[/mm] A [mm]\le \inf[/mm] B.
>
> Gruß X3nion
Ja, pardon, da hab ich mich verschrieben. Es ist b [mm] \le [/mm] a.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 23.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Okay, ich versuche nun einmal die Idee des Beweises zusammenzufassen:
Sei a:= inf A die größte untere Schranke von A und b:= inf B die größte untere Schranke von B. Da A [mm] \subseteq [/mm] B, liegen alle Elemente von A auch in B.
b ist also auf jeden Fall immer kleiner oder gleich eines Elementes von A. Denn es gibt insbesondere kein Element aus A, welches kleiner ist als ein Element von B und somit kleiner wäre als das Infimum von B.
Weil nun a die größte untere Schranke von A ist, kann nicht gelten: b > a, denn dann wäre b die größte untere Schranke von A, was im Widerspruch zur Annahme a:= inf A ist. Somit muss b [mm] \le [/mm] a gelten.
Wäre dies soweit korrekt?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 23.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Okay, ich versuche nun einmal die Idee des Beweises
> zusammenzufassen:
> Sei a:= inf A die größte untere Schranke von A und b:=
> inf B die größte untere Schranke von B. Da A [mm]\subseteq[/mm] B,
> liegen alle Elemente von A auch in B.
>
> b ist also auf jeden Fall immer kleiner oder gleich eines
> Elementes von A. Denn es gibt insbesondere kein Element aus
> A, welches kleiner ist als ein Element von B und somit
> kleiner wäre als das Infimum von B.
>
> Weil nun a die größte untere Schranke von A ist, kann
> nicht gelten: b > a, denn dann wäre b die größte untere
> Schranke von A, was im Widerspruch zur Annahme a:= inf A
> ist. Somit muss b [mm]\le[/mm] a gelten.
>
> Wäre dies soweit korrekt?
Ja
FRED
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:39 Sa 23.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Alles klaro,
vielen Dank für's Drüberblicken!
Ich verstehe nun beim eigentlichen Beweis, den ich im ersten Beitrag abgetippt habe, ein zwei Sachen nicht.
Zum Beispiel die Aussage: 'Es ist [mm] y_{n} \le x_{\infty} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] da die Folge monoton wächst.'
Die Folge [mm] (y_{n}) [/mm] ist ja konvergent gegen [mm] x_{\infty}, [/mm] würde es dann nicht ausreichen aus dem monotonen Wachstum von [mm] (y_{n}) [/mm] zu folgern, dass [mm] y_{n} [/mm] < [mm] x_{\infty} [/mm] gilt?
Auch die Fallunterscheidung verstehe ich nicht zu 100%. Ich möchte ja eine Abschätzung über den Betrag [mm] |x_{\infty} [/mm] - [mm] x_{n}|. [/mm] Diesen "drösele" ich dann auf zwei Fälle auf, weil man bei jedem Betrag Fallunterscheidungen machen muss, oder?
Aber ist auch hier nicht ein "=" zu viel?
Wenn ich zum Beispiel einmal den Fall [mm] x_{n} \le x_{\infty} [/mm] betrachte, würde dann im anderen Fall nicht [mm] x_{n} [/mm] > [mm] x_{\infty} [/mm] genügen?
Und wieso betrachte ich überhaupt eine "Gleichheit"? Weil es noch zu zeigen gilt, ob [mm] (x_{n}) [/mm] wirklich gegen [mm] x_{\infty} [/mm] konvergiert?
Viele Grüße
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 25.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:08 Fr 29.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen!
Die Fälligkeit für meine Frage ist abgelaufen, deshalb stelle ich sie nochmal:
Ich verstehe nun beim eigentlichen Beweis, den ich im ersten Beitrag abgetippt habe, ein zwei Sachen nicht.
Zum Beispiel die Aussage: 'Es ist $ [mm] y_{n} \le x_{\infty} [/mm] $ für alle n $ [mm] \in \IN, [/mm] $ da die Folge monoton wächst.'
Die Folge $ [mm] (y_{n}) [/mm] $ ist ja konvergent gegen $ [mm] x_{\infty}, [/mm] $ würde es dann nicht ausreichen aus dem monotonen Wachstum von $ [mm] (y_{n}) [/mm] $ zu folgern, dass $ [mm] y_{n} [/mm] $ < $ [mm] x_{\infty} [/mm] $ gilt?
Auch die Fallunterscheidung verstehe ich nicht zu 100%. Ich möchte ja eine Abschätzung über den Betrag $ [mm] |x_{\infty} [/mm] $ - $ [mm] x_{n}|. [/mm] $ Diesen "drösele" ich dann auf zwei Fälle auf, weil man bei jedem Betrag Fallunterscheidungen machen muss, oder?
Aber ist auch hier nicht ein "=" zu viel?
Wenn ich zum Beispiel einmal den Fall $ [mm] x_{n} \le x_{\infty} [/mm] $ betrachte, würde dann im anderen Fall nicht $ [mm] x_{n} [/mm] $ > $ [mm] x_{\infty} [/mm] $ genügen?
Und wieso betrachte ich überhaupt eine "Gleichheit"? Weil es noch zu zeigen gilt, ob $ [mm] (x_{n}) [/mm] $ wirklich gegen $ [mm] x_{\infty} [/mm] $ konvergiert?
Viele Grüße
X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 01.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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