lim sup, Folge und Reihe Wert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | a) Finden Sie eine rekursive Definition für die Folge [mm] (x_n), [/mm] deren erste Folgenglieder gegeben sind durch
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2}, x_2 [/mm] = [mm] \wurzel{2\wurzel{2}}, x_3 [/mm] = [mm] \wurzel{2\wurzel{2\wurzel{2}}}, [/mm] ...
b) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie, dass für je zwei beschränkte reelle Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] gilt:
lim [mm] sup(a_n [/mm] + [mm] b_n) \le [/mm] lim [mm] sup(a_n) [/mm] + lim [mm] sup(b_n)
[/mm]
Finden Sie außerdem ein Beispiel, für das die linke Seite echt kleiner als die rechte Seite der Ungleichung ist! |
| Aufgabe 3 | Untersuchen Sie die Konvergenz folgender Reihe und berechnen Sie im Falle der Konvergenz ihren Wert!
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{n^2},
[/mm]
wobei Sie die folgende Identität ohne Beweis verwenden dürfen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] |
| Aufgabe 4 | Nehme an, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe A(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n
[/mm]
mindestens 1 betrage. Definiere dann für jedes n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] A_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für jedes x [mm] \in \IC [/mm] mit |x| < 1 gilt:
[mm] \bruch{A(x)}{1-x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}A_nx^n [/mm] |
Hallo zusammen,
ich wünsche euch ein frohes neues Jahr!
Ich habe bei den obigen 4 Aufgabe Probleme.
Zu Aufgabe 1:
Als rekursive Definition habe ich: [mm] x_n [/mm] := [mm] \wurzel{2}*\wurzel{x_{n-1}}, [/mm] wobei [mm] x_0 [/mm] := 1.
Jetzt weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm] x_n [/mm] konvergiert und den Grenzwert bestimmen soll.
Zu Aufgabe 2:
Hier habe ich keinen Ansatz, und wäre für einen Tipp dankbar.
Zu Aufgabe 3:
Die Reihe ist absolut konvergent (verallg. harmonische Reihe), und deshalb auch konvergent. Jetzt weiß ich nicht, wie ich den Wert bestimmen soll.
Zu Aufgabe 4:
Hier habe ich auch keinen Ansatz.
Dann noch eine Frage zu Häufungswerten:
Sei [mm] (z_n) [/mm] eine komplexe Folge mit [mm] z_n \to [/mm] L. Dann ist L der einzige Häufungswert.
Gilt auch die Umkehrung von der Aussage?
Ich würde sagen nein.
Grüsse
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Di 01.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alexander!
Poste doch bitte derartige unabhängige / eigenständige Aufgaben auch in separaten Threads, damit es übersichtlich(er) bleibt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Di 01.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alexander!
> Die Reihe ist absolut konvergent (verallg. harmonische
> Reihe), und deshalb auch konvergent.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt weiß ich nicht, wie ich den Wert bestimmen soll.
Zerlege die Reihe in zwei Teilreihen aus den geraden und ungeraden $n_$ .
Gruß
Loddar
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Sei [mm] S_k [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{(-1)^{n-1}}{n^2} [/mm] Partialsumme von der Reihe.
[mm] \Rightarrow S_k [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n-1)^2} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n)^2}
[/mm]
Aber wie bestimme ich jetzt den Wert von [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n-1)^2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]S_k[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{(-1)^{n-1}}{n^2}[/mm]
> Partialsumme von der Reihe.
>
> [mm]\Rightarrow S_k[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n-1)^2}[/mm] - [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n)^2}[/mm]
das stimmt so nicht: Teste es mal für [mm] $k=2\,:$ [/mm]
[mm] $$S_2=(-1)^0/1^2+(-1)^1/2^2=1-1/4\,,$$
[/mm]
aber es ist
[mm] $$\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n-1)^2}=1/1^2+1/\red{3}^2$$
[/mm]
und
[mm] $$\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n)^2}=1/2^2+1/4^2\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n-1)^2}-\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n)^2}=1/1^2+1/\red{3}^2-1/2^2-1/4^2=1+1/\red{3}^2-1/4-1/16 \not=S_2\,.$$
[/mm]
Du kannst "sowas ähnliches" richtig hinschreiben, indem Du
Fallunterscheidungen [mm] $k=2m\,$ [/mm] und $k=2m+1$ triffst - mit einem $m [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm]
(Also unterscheide, ob [mm] $k\,$ [/mm] gerade oder ungerade ist!)
> Aber wie bestimme ich jetzt den Wert von
> [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n-1)^2}[/mm] ?
Aus dieser Rechnung
[mm] $$\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}}_{\text{Beachte, dass beide Reihen konvergieren: warum?}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{1}{4}*\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{24}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$$
[/mm]
solltest Du das erkennen können, denn daraus folgt:
[mm] $$\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$$
[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] ...$$
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Sei [mm]S_k[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{(-1)^{n-1}}{n^2}[/mm]
> > Partialsumme von der Reihe.
> >
> > [mm]\Rightarrow S_k[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n-1)^2}[/mm] -
> [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{(2n)^2}[/mm]
>
> das stimmt so nicht: Teste es mal für [mm]k=2\,:[/mm]
> [mm]S_2=(-1)^0/1^2+(-1)^1/2^2=1-1/4\,,[/mm]
> aber es ist
> [mm]\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n-1)^2}=1/1^2+1/\red{3}^2[/mm]
> und
> [mm]\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n)^2}=1/2^2+1/4^2\,,[/mm]
> also
> [mm]\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n-1)^2}-\sum_{n=1}^2 \frac{1}{(2n)^2}=1/1^2+1/\red{3}^2-1/2^2-1/4^2=1+1/\red{3}^2-1/4-1/16 \not=S_2\,.[/mm]
Ok, da hast du recht.
> Du kannst "sowas ähnliches" richtig hinschreiben, indem Du
> Fallunterscheidungen [mm]k=2m\,[/mm] und [mm]k=2m+1[/mm] triffst - mit einem
> [mm]m \in \IN_0\,.[/mm]
> (Also unterscheide, ob [mm]k\,[/mm] gerade oder ungerade ist!)
Ok, das hat mich jetzt weiter gebracht. Sowohl für gerade, als auch ungerade k, konvergiert die Folge der Partialsummen [mm] (S_k) [/mm] gegen [mm] \bruch{\pi^2}{12}
[/mm]
Hieraus kann ich dann indirekt folgern, dass der Wert der Reihe auch [mm] \bruch{\pi^2}{12} [/mm] ist.
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[mm]\underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}+\sum_{n=1}^\infty >\frac{1}{(2n-1)^2}}_{\text{Beachte, dass beide Reihen konvergieren: >warum?}}[/mm]
Sei [mm] T_k [/mm] := [mm] \sum_{n=1}^k \frac{1}{n^2} [/mm] die Partialsumme von [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.
[/mm]
Dann ist lim [mm] T_k [/mm] = [mm] \frac{\pi^2}{6} [/mm] = [mm] lim(\sum_{n=1}^k \frac{1}{(2n)^2}+\sum_{n=1}^k \frac{1}{(2n-1)^2})
[/mm]
Insbesondere müssen also [mm] \sum_{n=1}^k \frac{1}{(2n)^2} [/mm] und [mm] \sum_{n=1}^k \frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] für k [mm] \to \infty [/mm] endlich sein.
> solltest Du das erkennen können, denn daraus folgt:
> [mm]\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}[/mm]
>
> [mm]\iff ...[/mm]
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{8}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alexander!
> Als rekursive Definition habe ich: [mm]x_n[/mm] := [mm]\wurzel{2}*\wurzel{x_{n-1}},[/mm] wobei [mm]x_0[/mm] := 1.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das muss [mm]x_n \ = \ \wurzel{2*\wurzel{x_{n-1}}}[/mm] lauten.
Oder hattest Du das gemeint?
Sorry, mein Fehler! Ich hatte [mm] $\red{x_n \ = \ \wurzel{2*x_{n-1}}}$ [/mm] gemeint, was auch Deiner Darstellung entspricht!
> Jetzt weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm]x_n[/mm] konvergiert
Zeige, dass diese Folge sowohl beschränkt ist als auch monoton ist.
Verwende hierfür z.B. jeweils vollständige Induktion.
> und den Grenzwert bestimmen soll.
Wenn Du gezeigt hast, dass diese Folge konvergiert (s.o.), kannst Du annehmen:
[mm]x \ := \ \limes_{n\rightarrow\infty}x_n \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n-1}[/mm]
Das führt dann zu folgender Bestimmungsgleichung für den Grenzwert [mm]x_[/mm] :
[mm]x \ = \ \wurzel{2*x}[/mm]
Gruß
Loddar
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> Das muss [mm]x_n \ = \ \wurzel{2*\wurzel{x_{n-1}}}[/mm]
> lauten.
> Oder hattest Du das gemeint?
Ich habe gerade nochmal drüber geguckt, und ich meine, dass meine rekursive Definition richtig ist.
> Zeige, dass diese Folge sowohl beschränkt ist als auch
> monoton ist.
Ich habe jetzt gezeigt, dass die Folge monoton steigend ist.
Also gilt: lim [mm] x_n [/mm] = sup [mm] x_n
[/mm]
Aber wie zeige ich jetzt, dass sup [mm] x_n [/mm] nicht [mm] +\infty [/mm] ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Ich habe gerade nochmal drüber geguckt, und ich meine,
> dass meine rekursive Definition richtig ist.
Du hast Recht. Ich habe es oben auch korrigiert.
> > Zeige, dass diese Folge sowohl beschränkt ist als auch
> > monoton ist.
>
> Ich habe jetzt gezeigt, dass die Folge monoton steigend ist.
> Also gilt: lim [mm]x_n[/mm] = sup [mm]x_n[/mm]
>
> Aber wie zeige ich jetzt, dass sup [mm]x_n[/mm] nicht [mm]+\infty[/mm] ist?
Berechne die ersten Glieder der Folge. Dann solltest Du einen Verdacht haben, was die obere Schranke sowie den Grenzwert angeht.
Den Nachweis der Beschränktheit kannst Du dann mittels vollständiger Induktion führen.
Gruß
Loddar
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> Berechne die ersten Glieder der Folge. Dann solltest Du
> einen Verdacht haben, was die obere Schranke sowie den
> Grenzwert angeht.
>
> Den Nachweis der Beschränktheit kannst Du dann mittels
> vollständiger Induktion führen.
>
>
> Gruß
> Loddar
Hallo Loddar,
ich habe mir jetzt die ersten Glieder der Folge mit dem Taschenrechner ausgerechnet und behaupte, dass sup [mm] x_n [/mm] = 2.
Ich habe auch schon per Induktion gezeigt, dass 2 eine obere Schranke von [mm] (x_n) [/mm] ist, aber ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass sup [mm] x_n [/mm] = 2 ist.
Übrigens ist dies eine Aufgabe aus einer Probeklausur. Da finde ich es schon krass, dass man in der Klausur OHNE Taschenrechner sehen soll, dass sup [mm] x_n [/mm] = 2 ist... Was meint ihr dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Berechne die ersten Glieder der Folge. Dann solltest Du
> > einen Verdacht haben, was die obere Schranke sowie den
> > Grenzwert angeht.
> >
> > Den Nachweis der Beschränktheit kannst Du dann mittels
> > vollständiger Induktion führen.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
>
> Hallo Loddar,
>
> ich habe mir jetzt die ersten Glieder der Folge mit dem
> Taschenrechner ausgerechnet und behaupte, dass sup [mm]x_n[/mm] =
> 2.
> Ich habe auch schon per Induktion gezeigt, dass 2 eine
> obere Schranke von [mm](x_n)[/mm] ist, aber ich weiß nicht, wie ich
> zeigen soll, dass sup [mm]x_n[/mm] = 2 ist.
>
> Übrigens ist dies eine Aufgabe aus einer Probeklausur. Da
> finde ich es schon krass, dass man in der Klausur OHNE
> Taschenrechner sehen soll, dass sup [mm]x_n[/mm] = 2 ist... Was
> meint ihr dazu?
ich finde die Aufgabe nun nicht so wirklich krass: Es gilt ja
[mm] $x_1=\sqrt{2}\,,$ [/mm] und dann hattest Du [mm] $x_{n+1}=\sqrt{2*x_n}\,.$ [/mm] Dann
ist doch schon wegen [mm] $x_{n+1}=\sqrt{2}*\sqrt{x_n}$ [/mm] relativ schnell
ersichtlich, dass [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] streng wächst:
Sicherlich wird [mm] $x_n \ge \sqrt{2}$ [/mm] sein für alle [mm] $n\,,$ [/mm] und die oben
behauptete (strenge) Monotonie erkennt man dann wegen
[mm] $$x_{n+1}/x_n=\sqrt{2}/\sqrt{x_n} \ge \sqrt{2/\sqrt{2}} [/mm] > [mm] 1\,,$$
[/mm]
weil [mm] $2/\sqrt{2} [/mm] > 1$ ist (Beweis?) und weil [mm] $\sqrt{{\cdot\;}}\colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] streng wachsend
ist und [mm] $\sqrt{1}=1$ [/mm] gilt.
Die Monotonie ist also relativ einfach zu erkennen. Ebeneso erkennt man
auch relativ einfach:
[mm] $${\sqrt{2}}^{\,2}=2=2^1\,,$$
[/mm]
[mm] $${\sqrt{2*\sqrt{2}}}^{\,4}=2^2*2=2^3=8 \le 2^4\,,$$
[/mm]
[mm] $${\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2}}}}^{\,8}=2^4*2^2*2^1=2^7 \le 2^8\,,$$
[/mm]
[mm] $${\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2}}}}^{\,16}=2^8*2^4*2^2*2^1=2^{15} \le 2^{16}\,,$$
[/mm]
etc. pp., also liegt es nahe, [mm] $2\,$ [/mm] als obere Schranke von [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm]
anzunehmen. Daher konvergiert [mm] ${(x_n)}_n\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $x_{n} \to [/mm] x [mm] \Rightarrow x_{n+1} \to [/mm] x$ folgt dann aus
[mm] $$x_{n+1}=\sqrt{2}*\sqtrt{x_n}$$
[/mm]
wegen insbesondere der Stetigkeit der [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] sodann
$$x [mm] \stackrel{\infty \leftarrow n}{\longleftarrow} x_{n+1}=\sqrt{2}*\sqrt{x_n} \stackrel{\infty \rightarrow n}{\longrightarrow} \sqrt{2}*\sqrt{x}\,,$$
[/mm]
und die Eindeutigkeit des Grenzwertes liefert sodann die für [mm] $x\,$ [/mm] zu
erfüllende Gleichung
[mm] $$x=\sqrt{2}*\sqrt{x}\,.$$
[/mm]
Da $x > [mm] 0\,$/oder [/mm] einfacher: $x [mm] \ge [/mm] 0$ sein muss (warum?), folgt [mm] $x=2\,.$
[/mm]
Nebenbei:
Der eigentliche Trick, auf den man vielleicht nicht ohne weiteres kommt,
steckt ja eigentlich in den Überlegungen hier:
[mm] $${\sqrt{2}}^{\,2}=2=2^1\,,$$
[/mm]
[mm] $${\sqrt{2*\sqrt{2}}}^{\,4}=2^2*2=2^3=8 \le 2^4\,,$$
[/mm]
[mm] $${\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2}}}}^{\,8}=2^4*2^2*2^1=2^7 \le 2^8\,,$$
[/mm]
[mm] $${\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2}}}}^{\,16}=2^8*2^4*2^2*2^1=2^{15} \le 2^{16}\,,$$
[/mm]
etc. pp.
Man kann aber auch ohne diese auskommen: Zunächst überlegt man sich
wie oben, dass die Folge monoton (wachsend) ist. Nun überlegt man sich
einfach:
Wenn [mm] ${(x_n)}_{n}$ [/mm] denn konvergent wäre gegen [mm] $x\,,$ [/mm] dann muss
doch, mit genau den oben genannten Überlegungen, halt [mm] $x=\sqrt{2}*\sqrt{x}$
[/mm]
gelten. Und dann ist klar, dass man jede Zahl [mm] $\ge [/mm] 2$ wohl als obere
Schranke für [mm] ${(x_n)}_{n}$ [/mm] nehmen kann. Vor allem wird mit diesem
kleinen Trick die Aufgabe dann auch "weniger krass". 
Gruß,
Marcel
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Okay, aber auf den Trick wäre ich in der Klausur niemals gekommen.
Aber um jetzt mal auf den Lösungsweg ohne den Trick zu sprechen zu kommen: Wenn ich gezeigt habe, dass [mm] (x_n) [/mm] monoton wachsend ist, weiß ich, dass lim [mm] x_n [/mm] = sup [mm] x_n [/mm] ist. Aber wieso nehme ich jetzt einfach an, dass [mm] (x_n) [/mm] konvergent ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, aber auf den Trick wäre ich in der Klausur niemals
> gekommen.
welchen nun? Den mit dem Potenzieren, oder den anderen? Ich nehme
an, dass Du den mit dem Potenzieren meinst. In der Klausur hätte ich
persönlich, wenn ich diesen sehen wollte, dass auch dazugeschrieben.
Ich bin aber kein Dozent.
> Aber um jetzt mal auf den Lösungsweg ohne den Trick zu
> sprechen zu kommen: Wenn ich gezeigt habe, dass [mm](x_n)[/mm]
> monoton wachsend ist, weiß ich, dass lim [mm]x_n[/mm] = sup [mm]x_n[/mm]
Schreibe mal lieber rechterhand [mm] $\sup {(x_n)}_n\,,$ [/mm] denn Du meinst doch sicher
das Supremum der Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] - hoffe ich jedenfalls!
> ist. Aber wieso nehme ich jetzt einfach an, dass [mm](x_n)[/mm]
> konvergent ist?
Na, Dir ist die Überlegung nicht ganz klar. Ich mache es nun mal anders,
ich spreche mal von monoton fallenden Folgen, damit Du Dich nicht zu
sehr an der Aufgabe hier orientierst:
Sei [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Jetzt nimm' an, dass Du
bewiesen hättest, dass die Folge monoton fallend sei. Zudem nimm' an,
dass Du beweisen könntest: "Wenn [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] konvergiert, dann
kommt nur [mm] $r_0$ [/mm] in Frage.", wobei Du das [mm] $r_0$ [/mm] irgendwoher kennst.
(Ein bisschen allgemeiner: Du kannst auch annehmen, dass Du
mittels irgendwelchen Überlegungen die Annahme treffen könntest, dass
der potentielle Grenzwert [mm] $r_0$ [/mm] von [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] in einer nach unten
beschränkten Menge $U [mm] \subseteq \IR$ [/mm] liegt, und dann würdest Du das
Infimum von [mm] $U\,$ [/mm] als untere Schranke für [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] wählen können,
wenn die Folge denn wirklich konvergent ist; bzw. natürlich auch jede Zahl $< [mm] r_0$ [/mm] -
aber egal, das können wir danach mal behandeln, wenn Du magst...)
Wenn nun [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] monoton fallend ist und gegen [mm] $r_0$ [/mm] konvergiert,
so solltest Du Dir überlegen, dass dann [mm] $r_0$ [/mm] die größte untere Schranke
für [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] sein muss - vor allem ist aber [mm] $r_0$ [/mm] dann insbesondere
eine untere Schranke für [mm] ${(r_n)}_n\,.$
[/mm]
Und vollkommen Analoges kannst Du Dir für "monoton wachsende Folge"
und "kleinste obere Schranke" überlegen - bzw. sogar auch einfach aus
dem hier gesagten folgern.
(Denn: [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] ist genau dann monoton fallend, wenn [mm] ${(w_n)}_n$ [/mm] mit [mm] $w_n:=-r_n$
[/mm]
monoton wachsend ist. Und eine Menge $U [mm] \subseteq \IR$ [/mm] erfüllt: Genau dann
ist [mm] $U\,$ [/mm] nach unten beschränkt, wenn [mm] $-U:=\{-u: u \in U\}$ [/mm] nach oben
beschränkt ist. Und ist [mm] $U\,$ [/mm] nach unten beschränkt (oder gleichwertig:
[mm] $-U\,$ [/mm] nach oben beschränkt), so gilt [mm] $\inf U=-\sup(-U)\,$.
[/mm]
Diese Aussage kann man sich schnell mit Intervallen klarmachen (natürlich
ist die Aussage nicht nur für Intervalle, sondern viel allgemeiner gültig):
Einfaches Beispiel: $U:=(-2,5]$ ist nach unten beschränkt mit [mm] $\inf U=-2\,,$
[/mm]
und [mm] $-\;U=[-5,2)$ [/mm] ist nach oben beschränkt und es ist [mm] $-\sup (-U)=2=-(-2)=-\inf(U)\,.$)
[/mm]
P.S. Ich formuliere mal einen Satz: Ist [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] monoton fallend, so gilt:
Genau dann ist [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] konvergent, wenn [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] nach unten
beschränkt ist.
Insbesondere gilt für monoton fallende(!!) Folgen [mm] ${(r_n)}_n$:
[/mm]
Falls [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] konvergent ist (oder, was, wie gesagt, hier gleichwertig
ist: Falls [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] nach unten beschränkt ist), dann gilt
[mm] $$\inf {(r_n)}_n=\lim_{n \to \infty} r_n\;\;(=\limsup_{n \to \infty} r_n=\liminf_{n \to \infty} r_n\,).$$
[/mm]
(Wegen [mm] $\inf {(r_n)}_n=\lim_{n \to \infty}r_n=:r_0$ [/mm] ist hier dann [mm] $r_0$
[/mm]
und auch jede Zahl $< [mm] r_0$ [/mm] eine untere Schranke für [mm] ${(r_n)}_n\,.$)
[/mm]
Einen analogen Satz kannst Du Dir nun für monoton wachsende Folgen
überlegen und hinschreiben!
Gruß,
Marcel
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> welchen nun? Den mit dem Potenzieren, oder den anderen? Ich
> nehme
> an, dass Du den mit dem Potenzieren meinst. In der Klausur
> hätte ich
> persönlich, wenn ich diesen sehen wollte, dass auch
> dazugeschrieben.
> Ich bin aber kein Dozent.
Ja, ich meine das mit dem Potenzieren.
> Schreibe mal lieber rechterhand [mm]\sup {(x_n)}_n\,,[/mm] denn Du
> meinst doch sicher
> das Supremum der Folge [mm]{(x_n)}_n[/mm] - hoffe ich jedenfalls!
Ja, ich meine das Supremum der Folge [mm] (x_n).
[/mm]
> Na, Dir ist die Überlegung nicht ganz klar.
Ok, ich denke, ich weiß jetzt, was du meinst. Wir nehmen an, dass die Folge konvergiert, um eine Idee zu bekommen, was eine mögliche Schranke ist, richtig?
> P.S. Ich formuliere mal einen Satz: Ist [mm]{(r_n)}_n[/mm] monoton
> fallend, so gilt:
> Genau dann ist [mm]{(r_n)}_n[/mm] konvergent, wenn [mm]{(r_n)}_n[/mm] nach
> unten
> beschränkt ist.
> Insbesondere gilt für monoton fallende(!!) Folgen
> [mm]{(r_n)}_n[/mm]:
> Falls [mm]{(r_n)}_n[/mm] konvergent ist (oder, was, wie gesagt,
> hier gleichwertig
> ist: Falls [mm]{(r_n)}_n[/mm] nach unten beschränkt ist), dann
> gilt
> [mm]\inf {(r_n)}_n=\lim_{n \to \infty} r_n\;\;(=\limsup_{n \to \infty} r_n=\liminf_{n \to \infty} r_n\,).[/mm]
>
> (Wegen [mm]\inf {(r_n)}_n=\lim_{n \to \infty}r_n=:r_0[/mm] ist hier
> dann [mm]r_0[/mm]
> und auch jede Zahl [mm]< r_0[/mm] eine untere Schranke für
> [mm]{(r_n)}_n\,.[/mm])
>
> Einen analogen Satz kannst Du Dir nun für monoton
> wachsende Folgen
> überlegen und hinschreiben!
Ja, das hatten wir auch so in der Vorlesung.
Gruß
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > welchen nun? Den mit dem Potenzieren, oder den anderen? Ich
> > nehme
> > an, dass Du den mit dem Potenzieren meinst. In der
> Klausur
> > hätte ich
> > persönlich, wenn ich diesen sehen wollte, dass auch
> > dazugeschrieben.
> > Ich bin aber kein Dozent.
>
> Ja, ich meine das mit dem Potenzieren.
okay.
> > Schreibe mal lieber rechterhand [mm]\sup {(x_n)}_n\,,[/mm] denn Du
> > meinst doch sicher
> > das Supremum der Folge [mm]{(x_n)}_n[/mm] - hoffe ich jedenfalls!
>
> Ja, ich meine das Supremum der Folge [mm](x_n).[/mm]
> > Na, Dir ist die Überlegung nicht ganz klar.
>
> Ok, ich denke, ich weiß jetzt, was du meinst. Wir nehmen
> an, dass die Folge konvergiert, um eine Idee zu bekommen,
> was eine mögliche Schranke ist, richtig?
Das hast Du schön kurz und prägnant zusammengefasst. 
> > P.S. Ich formuliere mal einen Satz: Ist [mm]{(r_n)}_n[/mm] monoton
> > fallend, so gilt:
> > Genau dann ist [mm]{(r_n)}_n[/mm] konvergent, wenn [mm]{(r_n)}_n[/mm]
> nach
> > unten
> > beschränkt ist.
> > Insbesondere gilt für monoton fallende(!!) Folgen
> > [mm]{(r_n)}_n[/mm]:
> > Falls [mm]{(r_n)}_n[/mm] konvergent ist (oder, was, wie gesagt,
> > hier gleichwertig
> > ist: Falls [mm]{(r_n)}_n[/mm] nach unten beschränkt ist), dann
> > gilt
> > [mm]\inf {(r_n)}_n=\lim_{n \to \infty} r_n\;\;(=\limsup_{n \to \infty} r_n=\liminf_{n \to \infty} r_n\,).[/mm]
>
> >
> > (Wegen [mm]\inf {(r_n)}_n=\lim_{n \to \infty}r_n=:r_0[/mm] ist hier
> > dann [mm]r_0[/mm]
> > und auch jede Zahl [mm]< r_0[/mm] eine untere Schranke für
> > [mm]{(r_n)}_n\,.[/mm])
> >
> > Einen analogen Satz kannst Du Dir nun für monoton
> > wachsende Folgen
> > überlegen und hinschreiben!
>
> Ja, das hatten wir auch so in der Vorlesung.
Sehr gut.
Gruß,
Marcel
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Sorry Marcel, dass ich mich jetzt erst melde, aber ich wollte mich noch für deine Hilfe bedanken!
Gruss
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry Marcel, dass ich mich jetzt erst melde, aber ich
> wollte mich noch für deine Hilfe bedanken!
kein Thema. Gern geschehen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für je zwei beschränkte reelle Folgen
> [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] gilt:
>
> lim [mm]sup(a_n[/mm] + [mm]b_n) \le[/mm] lim [mm]sup(a_n)[/mm] + lim [mm]sup(b_n)[/mm]
>
> Finden Sie außerdem ein Beispiel, für das die linke Seite
> echt kleiner als die rechte Seite der Ungleichung ist!
wir verwenden ![[]](/images/popup.gif) Satz 5.20 1.:
Seien [mm] $A:=\limsup_{n \to \infty} a_n$ [/mm] und [mm] $B:=\limsup_{n \to \infty} b_n\,.$ [/mm] Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existieren [mm] $N_1=N_\epsilon^{(1)}$ [/mm] und
[mm] $N_2=N_\epsilon^{(2)}$ [/mm] so, dass
[mm] $$a_n [/mm] < [mm] A+\epsilon/2\;\;\text{ für alle }n \ge N_1\,,$$
[/mm]
[mm] $$b_n [/mm] < [mm] B+\epsilon/2\;\;\text{ für alle }n \ge N_2\,.$$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge N=N_\epsilon:=\max\{N_1,\;N_2\}$ [/mm] folgt also
[mm] $$a_n+b_n [/mm] < [mm] A+B+\epsilon\,,$$
[/mm]
und daraus ergibt sich, weil für den Limsup der (insbesondere nach
oben beschränkten) Folge [mm] $(a_n+b_n)_n$ [/mm] ja auch Satz 5.20.1 a) erfüllt
sein muss, dass [mm] $\limsup_{n \to \infty} (a_n+b_n) \le [/mm] A+B$ gelten muss. (Warum?)
Alternativ kannst Du auch mit Teilfolgen argumentieren: Sei [mm] ${(a_{n_k}+b_{n_k})}_k$ [/mm]
eine konvergente Teilfolge von [mm] ${(a_n+b_n)}_n\,.$ [/mm] Dann existieren:
[mm] $\bullet$ [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] ${(a_{n_{k^{(1)}_\ell}})}_{\ell}$ [/mm] von [mm] ${(a_{n_k})}_k$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] ${(b_{n_{k^{(2)}_\ell}})}_{\ell}$ [/mm] von [mm] ${(b_{n_k})}_k$
[/mm]
(Warum?)
Es gilt [mm] $\lim_{\ell \to \infty}a_{n_{k^{(1)}_\ell}} \le [/mm] A$ und [mm] $\lim_{\ell \to \infty}b_{n_{k^{(2)}_\ell}} \le B\,.$ [/mm] Wir betrachten die Menge [mm] $I\,$
[/mm]
mit [mm] $I:=\{n_{k^{(1)}_\ell},\;n_{k^{(2)}_\ell}:\;\;\ell \in \IN\} \subseteq \IN\,,$ [/mm] und schreiben [mm] $I=\{i_1,\,i_2,\,i_3,\,\ldots\}\,,$ [/mm] wobei $i: [mm] \IN \to [/mm] I$
streng monoton wachsend und bijektiv definiert sei und [mm] $i_j:=i(j)$ [/mm] ($j [mm] \in \IN$).
[/mm]
(Hinweis: [mm] $i\,$ [/mm] ist eindeutig definiert, es muss gelten: [mm] $i(1):=\min I\,,$ [/mm]
[mm] $i(2):=\min [/mm] (I [mm] \setminus \{i(1)\})\,,$ $i(3):=\min [/mm] (I [mm] \setminus \{i(1),i(2)\})\,$ [/mm] ... [mm] $i(k):=\min [/mm] (I [mm] \setminus \{i(1),...,i(k-1)\})$ [/mm] für alle
$k [mm] \in \IN \setminus \{1\}\,.$)
[/mm]
Dann ist [mm] ${(a_{i_j}+b_{i_j})}_{j \in \IN}$ [/mm] (nochmals: beachte, dass hier $i: [mm] \IN \to [/mm] I$ eine SPEZIELLE
Abbildung ist!) eine Teilfolge von der konvergenten Folge [mm] ${(a_{n_k}+b_{n_k})}_k\,.$ [/mm] Was
folgt also für
[mm] $$\lim_{k \to \infty} (a_{n_k}+b_{n_k})\;\;\;\text{ ?}$$
[/mm]
Und was folgt dann für [mm] $\limsup_{n \to \infty} (a_n+b_n)\,,$ [/mm] wenn Du
beachtest, dass der Limes Superior einer (nach oben) beschränkten Folge
der größte Häufungspunkt dieser Folge ist?
Und zu dem Beispiel:
Betrachte [mm] $a_n:=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $b_n:=(-1)^{n+1}\,.$ [/mm] Was ist dann der jeweilige
Limes Superior und was ist [mm] ${(a_n+b_n)}_n$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> wir verwenden
> Satz 5.20 1.:
>
> Seien [mm]A:=\limsup_{n \to \infty} a_n[/mm] und [mm]B:=\limsup_{n \to \infty} b_n\,.[/mm]
> Ist [mm]\epsilon > 0\,,[/mm] so existieren [mm]N_1=N_\epsilon^{(1)}[/mm] und
> [mm]N_2=N_\epsilon^{(2)}[/mm] so, dass
> [mm]a_n < A+\epsilon/2\;\;\text{ für alle }n \ge N_1\,,[/mm]
> [mm]b_n < B+\epsilon/2\;\;\text{ für alle }n \ge N_2\,.[/mm]
>
> Für alle [mm]n \ge N=N_\epsilon:=\max\{N_1,\;N_2\}[/mm] folgt also
> [mm]a_n+b_n < A+B+\epsilon\,,[/mm]
> und daraus ergibt sich, weil
> für den Limsup der (insbesondere nach
> oben beschränkten) Folge [mm](a_n+b_n)_n[/mm] ja auch Satz 5.20.1
> a) erfüllt
> sein muss, dass [mm]\limsup_{n \to \infty} (a_n+b_n) \le A+B[/mm]
> gelten muss. (Warum?)
Da [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] nach oben beschränkt sind, folgt:
L := sup [mm] a_n [/mm] , M := sup [mm] b_n
[/mm]
[mm] a_n [/mm] + [mm] b_n \le [/mm] L + M [mm] \le [/mm] A + B + [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N und für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] + [mm] b_n \le [/mm] L + M [mm] \le [/mm] A + B.
Und jetzt komme ich nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > wir verwenden
> > Satz 5.20 1.:
>
> >
> > Seien [mm]A:=\limsup_{n \to \infty} a_n[/mm] und [mm]B:=\limsup_{n \to \infty} b_n\,.[/mm]
> > Ist [mm]\epsilon > 0\,,[/mm] so existieren [mm]N_1=N_\epsilon^{(1)}[/mm] und
> > [mm]N_2=N_\epsilon^{(2)}[/mm] so, dass
> > [mm]a_n < A+\epsilon/2\;\;\text{ für alle }n \ge N_1\,,[/mm]
> >
> [mm]b_n < B+\epsilon/2\;\;\text{ für alle }n \ge N_2\,.[/mm]
> >
> > Für alle [mm]n \ge N=N_\epsilon:=\max\{N_1,\;N_2\}[/mm] folgt also
> > [mm]a_n+b_n < A+B+\epsilon\,,[/mm]
> > und daraus ergibt sich,
> weil
> > für den Limsup der (insbesondere nach
> > oben beschränkten) Folge [mm](a_n+b_n)_n[/mm] ja auch Satz
> 5.20.1
> > a) erfüllt
> > sein muss, dass [mm]\limsup_{n \to \infty} (a_n+b_n) \le A+B[/mm]
> > gelten muss. (Warum?)
>
> Da [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] nach oben beschränkt sind, folgt:
>
> L := sup [mm]a_n[/mm] , M := sup [mm]b_n[/mm]
>
> [mm]a_n[/mm] + [mm]b_n \le[/mm] L + M [mm]\le[/mm] A + B + [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm]
> N und für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0
>
> [mm]\Rightarrow a_n[/mm] + [mm]b_n \le[/mm] L + M [mm]\le[/mm] A + B.
>
> Und jetzt komme ich nicht weiter.
da weiß ich nicht, was Du eigentlich machen willst. Du kannst es so
begründen (okay, dabei verwenden wir auch Satz 5.20 1 b)):
Sei [mm] $S:=\limsup_n (a_n+b_n)\,.$ [/mm] Gemäß des genannten Satzes gilt dann
für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] dass [mm] $a_n+b_n \le S+\varepsilon$ [/mm] für fast alle
[mm] $n\,.$ [/mm] ("Fast alle" bedeutet: alle bis auf endlich viele Ausnahmen!)
Sei [mm] $N\,$ [/mm] wie oben, dann gilt [mm] $a_n+b_n \le (A+B)+\varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Weiterhin
gibt es ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_\varepsilon$ [/mm] so, dass [mm] $a_n+b_n \le S+\varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge \tilde{N}\,.$
[/mm]
Für ein [mm] $n_1=n_1(\varepsilon) \ge \max\{N,\;\tilde{N}\}$ [/mm] gilt wegen Satz 5.20 1b) zudem
aber
[mm] $$a_{n_1}+b_{n_1} [/mm] > [mm] S-\varepsilon\,,$$
[/mm]
also insgesamt
[mm] $$S-\varepsilon [/mm] < [mm] a_{n_1}+b_{n_1} [/mm] < [mm] (A+B)+\varepsilon\,.$$
[/mm]
Es folgt also
$$S < [mm] A+B+2*\varepsilon$$
[/mm]
für ALLE [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] und mit [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$ ergibt sich $S [mm] \le A+B\,.$
[/mm]
Ich hab' da also bei meiner Antwort Dir nicht ganz sauber hingeschrieben,
warum $A+B [mm] \ge [/mm] S$ gelten muss, bzw. alleine mit Satz 5.20 1 a) kann man
das nicht begründen - in meinem Kopf muss sich da der b)-Teil automatisch
"eingenistet" haben...
Gruß,
Marcel
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Ok, besten Dank Marcel. Ich hatte mich schon ein bisschen gewundert, warum du den zweiten Teil der Charakterisierung des lim sup nicht verwendet hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, besten Dank Marcel. Ich hatte mich schon ein bisschen
> gewundert, warum du den zweiten Teil der Charakterisierung
> des lim sup nicht verwendet hast.
im Hinterkopf hatte ich, dass neben des ersten Teils der Limsup von
[mm] ${(a_n+b_n)}_n$ [/mm] "die kleinste" Zahl [mm] $S\,$ [/mm] sein muss, so dass es für alle
[mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] gibt, so dass [mm] $a_n+b_n \le S+\varespilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt. (Das habe ich mir auch nicht
bewiesen, sondern diese Behauptung scheint mir rein intuitiv klar. Ich sollte
mal schauen, ob sie denn überhaupt stimmt, aber das mache ich ein
anderes Mal...) Deswegen erschien' mir das "klar" - aber das, was mir so
klar erschien', steckt halt im zweiten Teil mit drin.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann noch eine Frage zu Häufungswerten:
>
> Sei [mm](z_n)[/mm] eine komplexe Folge mit [mm]z_n \to[/mm] L. Dann ist L der
> einzige Häufungswert.
> Gilt auch die Umkehrung von der Aussage?
> Ich würde sagen nein.
damit hast Du auch recht: Betrachte etwa [mm] ${(z_n)}_n$ [/mm] mit [mm] $z_n:=0$ [/mm] für
gerades [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $z_n:=n$ [/mm] für ungerades [mm] $n\,.$
[/mm]
Zusatzfrage: Wie sieht das ganze aber aus, wenn [mm] ${(z_n)}_n$ [/mm]
beschränkt ist?
Gruß,
Marcel
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Deine Folge hat aber zwei Häufungswerte: 0 und [mm] +\infty
[/mm]
Zur anderen Frage, würde ich sagen, dass [mm] (z_n) [/mm] dann konvergent ist, aber warum, weiß ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Deine Folge hat aber zwei Häufungswerte: 0 und [mm]+\infty[/mm]
nein: die Folge hat nur einen Häufungswert in [mm] $\IC\,,$ [/mm] nämlich [mm] $0\,.$ [/mm] Es ist
[mm] $+\infty$ [/mm] ein Symbol [mm] $\notin \IC\,.$ [/mm]
> Zur anderen Frage, würde ich sagen, dass [mm](z_n)[/mm] dann
> konvergent ist, aber warum, weiß ich nicht.
Das stimmt dann auch. Dann schreib' Dir doch mal auf, was das ganze
bedeutet: Sei [mm] ${(z_n)}_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IC\,,$ [/mm] die beschränkt ist und
die genau einen Häufungswert $h [mm] \in \IC$ [/mm] hat. Angenommen, [mm] ${(z_n)}_n$
[/mm]
wäre nicht konvergent gegen [mm] $h\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass
unendlich viele Folgenglieder der Folge [mm] ${(z_n)}_n$ [/mm] nicht in [mm] $U_{\varepsilon_0}(h):=\{z \in \IC:\;\;|z-h| < \varepsilon_0\}$
[/mm]
liegen - anders gesagt: Wir finden eine Teilfolge [mm] ${(z_{n_k})}_k$ [/mm] von [mm] ${(z_n)}_n\,,$ [/mm] so dass
[mm] $z_{n_k} \notin U_{\varepsilon_0}$ [/mm] für alle [mm] $k\,.$ $\text{(}$Denn: $z_n \not\!\to [/mm] h$ [mm] $\iff$ $\exists \varepsilon_0 [/mm] > 0:$ [mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \IN:$ $\exists n=n_N [/mm] > N:$
[mm] $$|z_n-h| \; \ge \; \varepsilon_0\text{ .)}$$
[/mm]
Bei dem Rest kannst Du ja mal versuchen, das formal aufzuschreiben (so
schwer ist das nicht, aber es ist eine gute Übung): Insbesondere hat
[mm] ${(z_{n_k})}_k$ [/mm] wiederum eine konvergente Teilfolge. (Warum?) Der Grenzwert der
konvergenten Teilfolge von [mm] ${(z_{n_k})}_k$ [/mm] kann aber nicht [mm] $=h\,$ [/mm] sein. (Warum nicht?)
Das liefert einen Widerspruch dazu, dass [mm] $h\,$ [/mm] der einzige Häufungswert
von [mm] ${(z_n)}_n$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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> nein: die Folge hat nur einen Häufungswert in [mm]\IC\,,[/mm]
> nämlich [mm]0\,.[/mm] Es ist
> [mm]+\infty[/mm] ein Symbol [mm]\notin \IC\,.[/mm]
Okay. Also macht es aber einen Unterschied, ob ich deine Folge [mm] (z_n) [/mm] als Folge in [mm] \IC [/mm] bzw. in [mm] \IR [/mm] auffasse?
> Das stimmt dann auch. Dann schreib' Dir doch mal auf, was
> das ganze
> bedeutet: Sei [mm]{(z_n)}_n[/mm] eine Folge in [mm]\IC\,,[/mm] die
> beschränkt ist und
> die genau einen Häufungswert [mm]h \in \IC[/mm] hat. Angenommen,
> [mm]{(z_n)}_n[/mm]
> wäre nicht konvergent gegen [mm]h\,.[/mm] Dann gibt es ein
> [mm]\varepsilon_0 > 0[/mm] so, dass
> unendlich viele Folgenglieder der Folge [mm]{(z_n)}_n[/mm] nicht in
> [mm]U_{\varepsilon_0}(h):=\{z \in \IC:\;\;|z-h| < \varepsilon_0\}[/mm]
>
> liegen - anders gesagt: Wir finden eine Teilfolge
> [mm]{(z_{n_k})}_k[/mm] von [mm]{(z_n)}_n\,,[/mm] so dass
> [mm]z_{n_k} \notin U_{\varepsilon_0}[/mm] für alle [mm]k\,.[/mm]
> [mm]\text{(}[/mm]Denn: [mm]z_n \not\!\to h[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]\exists \varepsilon_0 > 0:[/mm]
> [mm]\forall N \in \IN:[/mm] [mm]\exists n=n_N > N:[/mm]
> [mm]|z_n-h| \; \ge \; \varepsilon_0\text{ .)}[/mm]
>
> Bei dem Rest kannst Du ja mal versuchen, das formal
> aufzuschreiben (so
> schwer ist das nicht, aber es ist eine gute Übung):
> Insbesondere hat
> [mm]{(z_{n_k})}_k[/mm] wiederum eine konvergente Teilfolge. (Warum?)
> Der Grenzwert der
> konvergenten Teilfolge von [mm]{(z_{n_k})}_k[/mm] kann aber nicht
> [mm]=h\,[/mm] sein. (Warum nicht?)
> Das liefert einen Widerspruch dazu, dass [mm]h\,[/mm] der einzige
> Häufungswert
> von [mm]{(z_n)}_n[/mm] ist!
>
> Gruß,
> Marcel
Ist der Beweis so richtig?
Beweis:
Sei [mm] (z_n) [/mm] eine komplexe, beschränkte Folge und h ihr einziger Häufungswert.
Dann gilt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] |z_n [/mm] - h| < [mm] \varepsilon [/mm] für unendlich viele n.
Zu zeigen: [mm] (z_n) [/mm] konvergiert gegen h, also [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |z_n [/mm] - h| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Angenommen [mm] (z_n) [/mm] konvergiert nicht gegen h.
[mm] \Rightarrow \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall n_0 \in \IN \exists [/mm] n [mm] \ge n_0: |z_n [/mm] - h| [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists \varepsilon_0 [/mm] > 0, sodass unendlich viele Folgenglieder von [mm] (z_n) [/mm] nicht in [mm] U_{\varepsilon_0}(h) [/mm] := [mm] \{z \in \IC : |z - h| < \varepsilon_0\} [/mm] liegen
Insbesondere finden wir dann eine Teilfolge [mm] (z_{n_k}) [/mm] von [mm] (z_n), [/mm] sodass [mm] z_{n_k} \not\in U_{\varepsilon_0}(h) \forall [/mm] k [mm] \in \IN.
[/mm]
Da [mm] (z_n) [/mm] beschränkt ist, ist auch [mm] (z_{n_k}) [/mm] beschränkt.
Mit dem Satz von Bolzano Weierstraß folgt dann, dass [mm] (z_{n_k}) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (z_{n_{k_h}}) [/mm] besitzen muss, also [mm] z_{n_{k_h}} \to [/mm] L für h [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L Häufungswert von [mm] (z_{n_k})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L Häufungswert von [mm] (z_n)
[/mm]
Aber [mm] z_{n_k} \not\in U_{\varepsilon_0}(h) \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L [mm] \not= [/mm] h und [mm] (z_n) [/mm] besitzt einen weiteren Häufungswert, aber das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass h einziger Häufungswert sein soll.
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > nein: die Folge hat nur einen Häufungswert in [mm]\IC\,,[/mm]
> > nämlich [mm]0\,.[/mm] Es ist
> > [mm]+\infty[/mm] ein Symbol [mm]\notin \IC\,.[/mm]
>
> Okay. Also macht es aber einen Unterschied, ob ich deine
> Folge [mm](z_n)[/mm] als Folge in [mm]\IC[/mm] bzw. in [mm]\IR[/mm] auffasse?
wieso das denn nun? Wenn [mm] $+\infty$ [/mm] (oder [mm] $\infty\,,$ [/mm] was das gleiche
bedeutet) nun ein Element aus [mm] $\IR$ [/mm] wäre, dann wäre [mm] $+\infty$ [/mm] wegen
[mm] $\IR \subseteq \IC$ [/mm] auch ein Element aus [mm] $\IC\,.$ [/mm] Die Folge [mm] ${(z_n)}_n$
[/mm]
hat weder als Folge in [mm] $\IR$ [/mm] noch als Folge in [mm] $\IC$ [/mm] den Häufungswert
[mm] $+\infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ja okay, aber deine Folge [mm] (z_n) [/mm] ist doch eine reelle Folge.
[mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] sind Elemente aus [mm] \overline{\IR}.
[/mm]
In unserer Vorlesung hatten wir das Lemma:
Der Wert [mm] +\infty [/mm] (bzw. [mm] -\infty) [/mm] ist ein Häufungswert der reellen Folge [mm] (a_n) [/mm] genau dann, wenn [mm] (a_n) [/mm] eine Teilfolge besitzt, die gegen [mm] +\infty [/mm] (bzw. [mm] -\infty) [/mm] divergiert.
Wenn ich bei deiner Folge [mm] (z_n) [/mm] die Teilfolge [mm] (z_{2n-1}) [/mm] betrachte, divergiert diese gegen [mm] +\infty, [/mm] und dann ist [mm] +\infty [/mm] ein Häufungswert von [mm] (z_n).
[/mm]
Oder bin ich jetzt total neben der Spur?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja okay, aber deine Folge [mm](z_n)[/mm] ist doch eine reelle
> Folge.
> [mm]-\infty[/mm] und [mm]+\infty[/mm] sind Elemente aus [mm]\overline{\IR}.[/mm]
>
> In unserer Vorlesung hatten wir das Lemma:
>
> Der Wert [mm]+\infty[/mm] (bzw. [mm]-\infty)[/mm] ist ein Häufungswert der
> reellen Folge [mm](a_n)[/mm] genau dann, wenn [mm](a_n)[/mm] eine Teilfolge
> besitzt, die gegen [mm]+\infty[/mm] (bzw. [mm]-\infty)[/mm] divergiert.
>
> Wenn ich bei deiner Folge [mm](z_n)[/mm] die Teilfolge [mm](z_{2n-1})[/mm]
> betrachte, divergiert diese gegen [mm]+\infty,[/mm] und dann ist
> [mm]+\infty[/mm] ein Häufungswert von [mm](z_n).[/mm]
>
> Oder bin ich jetzt total neben der Spur?
nein, ihr definiert dann halt auch Objekte als Häufungswerte, die selbst
keine Elemente aus [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$ [/mm] sind. Wenn Du diese Definition
zugrundelegst, dann ist eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] genau dann in [mm] $\IR$ [/mm]
konvergent, wenn sie genau einen Häufungswert in [mm] $\IR$ [/mm] hat - ebenso ist
eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] genau dann konvergent in [mm] $\IC\,,$ [/mm] wenn sie genau
einen Häufungswert in [mm] $\IC$ [/mm] hat.
Es ist dabei aber dann wichtig, dieses "in [mm] $\IC$" [/mm] bzw. "in [mm] $\IR$" [/mm] immer
mitzuschleppen. Richtig wäre dann auch:
Eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\overline{\IR}$) [/mm] ist genau dann konvergent in
[mm] $\overline{\IR}\,,$ [/mm] wenn sie genau einen Häufungswert in [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] hat. Falsch wäre hingegen:
Eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist genau dann konvergent in [mm] $\IR\,,$ [/mm] wenn sie genau
einen Häufungswert in [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] hat.
Richtig wiederum wäre: Eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\overline{\IR}$) [/mm] ist
genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungswert in [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] hat -
wobei ich dann auch annehme, dass ihr bei Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] auch sagt,
dass die Folge konvergent ist, wenn sie gegen [mm] $+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\infty$ [/mm]
konvergiert.
Denn zu den Sprechweisen:
"Eine Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] in [mm] $\red{X}$ [/mm] ist konvergent in [mm] $\blue{X^\*}$..."
[/mm]
bedeutet zweierlei:
1.) Dass die Folge [mm] ${(x_n)}_n$eine [/mm] Folge in [mm] $X\,$ [/mm] ist, heißt [mm] ${(x_n)}_n \in X^{\IN}\,,$ [/mm] oder
anders gesagt: [mm] $x_n \in [/mm] X$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm]
2.) Und "...konvergent in [mm] $X^\*$" [/mm] besagt nichts anderes, als, dass der
Grenzwert in [mm] $X^\*$ [/mm] liegt. Analoges gilt auch für "... Häufungswert in [mm] $X^\*\,.$"
[/mm]
Deswegen wird wohl auch "meistens" $X [mm] \subseteq X^{\*}$ [/mm] sein.
Ich hoffe nun, dass ich in meinen obigen Aussagen keine falsche - also
keinen Patzer eingebaut - habe. Ich nehme an, dass ihr auch in [mm] $\IC$ [/mm] sagt,
dass eine Folge, die gegen [mm] $+\infty \notin \IC$ [/mm] konvergiere (das sagt man
in [mm] $\IC$ [/mm] genau dann, wenn die entsprechende reelle Folge der Beträge
gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt), dass sie konvergent sei. Ebenso wird dann auch
[mm] $+\infty$ [/mm] als Häufungswert analog definiert, Du hast ja oben die Definition
mit angegeben. Und wenn dem so ist, dann ist eine Folge komplexer
Zahlen genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungswert (in
[mm] $\IC \cup \{+\infty\}$) [/mm] hat - wobei ihr dazu dann nur kurz sagt, dass sie
einen Häufungswert hat; daher steht das "in [mm] $\IC \cup \{+\infty\}$" [/mm] bei mir
auch in Klammern.
Ich bin halt davon ausgegangen, dass ihr, wenn man eine Folge in [mm] $X\,$ [/mm]
hat, und dann nur vom Begriff eines Häufungswertes bzw. Grenzwertes
dieser Folge spricht, man automatisch mit annimmt, dass der Häufungswert
bzw. Grenzwert auch [mm] $\in [/mm] X$ sein wird. Denn anderes muss man eigentlich
immer irgendwann explizit erwähnen - und das wird, nehme ich an, in
Eurem Skript halt an einer Stelle getan. Nur habe ich keinen Einblick in Euer
Skript...
P.S. Zu dem Beweis des Satzes, dass eine komplexe Folge genau dann
konvergent ist (also konvergent gegen ein $z [mm] \in \IC$ [/mm] oder gegen [mm] $+\infty$), [/mm]
wenn die Folge genau einen Häufungswert (also genau einen Häufungswert in [mm] $\IC$ [/mm]
oder den Häufungswert [mm] $+\infty$) [/mm] hat, würde ich hier Fallunterscheidungen
treffen:
1. Fall: Betrachte zunächst nur irgendeine beschränkte Folge, dann gilt...
2. Fall: Betrachte nun irgendeine unbeschränkte Folge, dann gilt...
Gruß,
Marcel
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> ...wobei ich dann auch annehme, dass ihr bei Folgen in [mm]\IR[/mm]
> auch sagt,
> dass die Folge konvergent ist, wenn sie gegen [mm]+\infty[/mm] bzw.
> [mm]-\infty[/mm]
> konvergiert.
Wir sagen, dass die Folge dann gegen [mm] +\infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] divergiert.
> nein, ihr definiert dann halt auch Objekte als
> Häufungswerte, die selbst
> keine Elemente aus [mm]\IR[/mm] bzw. [mm]\IC[/mm] sind. Wenn Du diese
> Definition
> zugrundelegst, dann ist eine Folge in [mm]\IR[/mm] genau dann in [mm]\IR[/mm]
> konvergent, wenn sie genau einen Häufungswert in [mm]\IR[/mm] hat
Ok, das leuchtet ein. Ich bin gerade nochmal, dass Skript durchgegangen, und dort hatten wir folgende Lemmata:
1.) ,,Jede reelle Folge besitzt Häufungswerte in [mm] \overline{\IR}." [/mm]
2.) ,,Sei H [mm] \subset \overline{\IR} [/mm] die Menge der Häufungswerte der reellen Folge [mm] (a_n). [/mm] Dann
lim sup [mm] a_n [/mm] = max H und lim inf [mm] a_n [/mm] = min H.
Wenn wir jetzt also nur ein Häufungswert L haben, ist lim sup [mm] a_n [/mm] = lim inf [mm] a_n [/mm] = L, und wir wissen, dass wenn lim sup und lim inf gleich sind, dann gilt: lim [mm] a_n [/mm] = L.
Deshalb sollte man bzgl. unserer Vorlesung sagen: L einziger Häufungswert von der reellen Folge [mm] (a_n) [/mm] genau dann, wenn lim [mm] a_n [/mm] = L, also wenn L ein Grenzwert von [mm] a_n [/mm] ist.
> ebenso ist
> eine Folge in [mm]\IC[/mm] genau dann konvergent in [mm]\IC\,,[/mm] wenn sie
> genau
> einen Häufungswert in [mm]\IC[/mm] hat.
Ok, ich stelle mir das so vor.
Eine komplexe Folge [mm] (a_n) [/mm] kann beschränkt sein, oder nicht.
Wenn sie beschränkt ist und nur ein Häufungswert hat, dann konvergiert sie gegen den Häufungswert (siehe den Beweis zuvor).
Wenn sie unbeschränkt ist, dann ist [mm] \infty [/mm] ein Häufungswert von [mm] (a_n).
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt folgern, dass wenn [mm] \infty [/mm] einziger Häufungswert ist, dann [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] divergiert?
> Ich hoffe nun, dass ich in meinen obigen Aussagen keine
> falsche - also
> keinen Patzer eingebaut - habe. Ich nehme an, dass ihr auch
> in [mm]\IC[/mm] sagt,
> dass eine Folge, die gegen [mm]+\infty \notin \IC[/mm] konvergiere
> (das sagt man
> in [mm]\IC[/mm] genau dann, wenn die entsprechende reelle Folge der
> Beträge
> gegen [mm]\infty[/mm] strebt), dass sie konvergent sei.
Ja, wir sagen, dass eine komplexe Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] divergiert, wenn [mm] (|a_n|) [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] divergiert.
Gruß
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> > ...wobei ich dann auch annehme, dass ihr bei Folgen in [mm]\IR[/mm]
> > auch sagt,
> > dass die Folge konvergent ist, wenn sie gegen [mm]+\infty[/mm] bzw.
> > [mm]-\infty[/mm]
> > konvergiert.
>
> Wir sagen, dass die Folge dann gegen [mm]+\infty[/mm] bzw. [mm]-\infty[/mm]
> divergiert.
>
> > nein, ihr definiert dann halt auch Objekte als
> > Häufungswerte, die selbst
> > keine Elemente aus [mm]\IR[/mm] bzw. [mm]\IC[/mm] sind. Wenn Du diese
> > Definition
> > zugrundelegst, dann ist eine Folge in [mm]\IR[/mm] genau dann in [mm]\IR[/mm]
> > konvergent, wenn sie genau einen Häufungswert in [mm]\IR[/mm] hat
>
> Ok, das leuchtet ein. Ich bin gerade nochmal, dass Skript
> durchgegangen, und dort hatten wir folgende Lemmata:
> 1.) ,,Jede reelle Folge besitzt Häufungswerte in
> [mm]\overline{\IR}."[/mm]
>
> 2.) ,,Sei H [mm]\subset \overline{\IR}[/mm] die Menge der
> Häufungswerte der reellen Folge [mm](a_n).[/mm] Dann
>
> lim sup [mm]a_n[/mm] = max H und lim inf [mm]a_n[/mm] = min H.
>
> Wenn wir jetzt also nur ein Häufungswert L haben, ist lim
> sup [mm]a_n[/mm] = lim inf [mm]a_n[/mm] = L, und wir wissen, dass wenn lim
> sup und lim inf gleich sind, dann gilt: lim [mm]a_n[/mm] = L.
>
> Deshalb sollte man bzgl. unserer Vorlesung sagen: L
> einziger Häufungswert von der reellen Folge [mm](a_n)[/mm] genau
> dann, wenn lim [mm]a_n[/mm] = L, also wenn L ein Grenzwert von [mm]a_n[/mm]
> ist.
Naja, dann hast Du aber [mm] $+\infty$ [/mm] und [mm] $-\infty$ [/mm] als Grenzwert
ausgeschlossen - also irgendwo scheint's mir so, als wenn sich da etwas
in Eurer Vorlesung "beißt". Oder sagt ihr auch, dass bei einer gegen
[mm] $+\,\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\,\infty$ [/mm] divergenten Folge der Grenzwert [mm] $+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\,\infty$ [/mm] sei? Dann geht's
wieder. Aber prinzipiell ist das hier alles mehr Definitions- und Formsache -
wichtiger ist (mir) eher das inhaltliche - also, dass das Inhaltliche
verstanden wird!
> > ebenso ist
> > eine Folge in [mm]\IC[/mm] genau dann konvergent in [mm]\IC\,,[/mm] wenn sie
> > genau
> > einen Häufungswert in [mm]\IC[/mm] hat.
>
> Ok, ich stelle mir das so vor.
>
> Eine komplexe Folge [mm](a_n)[/mm] kann beschränkt sein, oder
> nicht.
> Wenn sie beschränkt ist und nur ein Häufungswert hat,
> dann konvergiert sie gegen den Häufungswert (siehe den
> Beweis zuvor).
Genau - bzw. das ist eine "Genau dann, wenn"-Aussage: Eine beschränkte
komplexe Folge ist genau dann konvergent, wenn sie genau einen
Häufungswert hat. Und falls eine beschränkte komplexe Folge konvergiert
(oder gleichwertig: falls sie genau einen Häufungswert hat), dann stimmt
der Grenzwert mit dem Häufungswert überein.
> Wenn sie unbeschränkt ist, dann ist [mm]\infty[/mm] ein
> Häufungswert von [mm](a_n).[/mm]
> Aber wie kann ich jetzt folgern, dass wenn [mm]\infty[/mm] einziger
> Häufungswert ist, dann [mm]a_n[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] divergiert?
Nimm' an, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] nicht gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiere. Dann findest
Du eine Teilfolge, die beschränkt ist. (Du kannst solch' eine "konstruieren":
Hast Du eine Idee, wie man das machen kann?) Weil wir schon wissen,
dass beschränkte Folgen konvergente Teilfolgen haben (Bolzano-
Weierstraß), hat diese beschränkte Teilfolge ihrerseits wiederrum eine
Teilfolge, die sogar konvergiert. Die Teilfolge der Teilfolge ist aber
insbesondere eine Teilfolge der Ausgangsfolge (warum eigentlich?), also
folgt der Widerspruch, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] auch eine Zahl [mm] $\in \IC$ [/mm] als
weiteren Häufungspunkt haben muss.
> > Ich hoffe nun, dass ich in meinen obigen Aussagen keine
> > falsche - also
> > keinen Patzer eingebaut - habe. Ich nehme an, dass ihr auch
> > in [mm]\IC[/mm] sagt,
> > dass eine Folge, die gegen [mm]+\infty \notin \IC[/mm]
> konvergiere
> > (das sagt man
> > in [mm]\IC[/mm] genau dann, wenn die entsprechende reelle Folge
> der
> > Beträge
> > gegen [mm]\infty[/mm] strebt), dass sie konvergent sei.
>
> Ja, wir sagen, dass eine komplexe Folge [mm](a_n)[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
> divergiert, wenn [mm](|a_n|)[/mm] gegen [mm]+\infty[/mm] divergiert.
Okay.
Gruß,
Marcel
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Also irgendwie hänge ich beim Beweis fest:
Sei [mm] (a_n)_n [/mm] eine unbeschränkte, komplexe Folge, und [mm] \infty [/mm] ihr einziger Häufungswert.
Z.z. [mm] a_n \to \infty, [/mm] d.h. [mm] \forall [/mm] M [mm] \in \IR \exists n_0 \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |a_n| [/mm] > M
Angenommen [mm] (a_n) [/mm] divergiert nicht gegen [mm] \infty [/mm] , dann gilt:
[mm] \exists [/mm] M [mm] \in \IR \forall n_0 \in \IN \exists [/mm] n [mm] \ge n_0: |a_n| \le [/mm] M,
also [mm] |a_n| \le [/mm] M für unendlich viele n.
Dann gibt es aber eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] von [mm] (a_n), [/mm] sodass [mm] |a_{n_k}| \le [/mm] M [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN, [/mm] d.h. [mm] (a_{n_k}) [/mm] ist beschränkt. (Beachte: Eine komplexe Folge [mm] (a_{n_k}) [/mm] heißt beschränkt, falls [mm] (|a_{n_k}|) [/mm] beschränkt ist)
Insbesondere ist M nicht-negativ. (Ist die Konstruktion von [mm] (a_{n_k}) [/mm] so richtig? Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] definiere: [mm] a_{n_k} :=\begin{cases} a_n, & \mbox{falls } \exists n \ge k: |a_n| \le M \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases})
[/mm]
Insbesondere besitzt dann [mm] (|a_{n_k}|) [/mm] eine Teilfolge [mm] (|(a_{n_{k_h}}|), [/mm] die gegen L konvergiert.
[mm] \Rightarrow [/mm] L Häufungswert von [mm] (|a_{n_k}|)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L Häufungswert von [mm] (|a_n|)
[/mm]
Aber das bringt mich nicht weiter, weil L Häufungswert von [mm] (|a_n|) [/mm] ist, also von dem BETRAG der komplexen Folge [mm] (a_n). [/mm] Ich will das aber so haben, dass L ein Häufungswert [mm] (a_n) [/mm] ist, also ohne die Beträge.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also irgendwie hänge ich beim Beweis fest:
>
> Sei [mm](a_n)_n[/mm] eine unbeschränkte, komplexe Folge, und [mm]\infty[/mm]
> ihr einziger Häufungswert.
>
> Z.z. [mm]a_n \to \infty,[/mm] d.h. [mm]\forall[/mm] M [mm]\in \IR \exists n_0 \in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_0: |a_n|[/mm] > M
>
> Angenommen [mm](a_n)[/mm] divergiert nicht gegen [mm]\infty[/mm] , dann
> gilt:
>
> [mm]\exists[/mm] M [mm]\in \IR \forall n_0 \in \IN \exists[/mm] n [mm]\ge n_0: |a_n| \le[/mm]
> M,
hier kannst Du schon direkt annehmen, dass es ein solches $M > [mm] 0\,$ [/mm] gibt.
> also [mm]|a_n| \le[/mm] M für unendlich viele n.
> Dann gibt es aber eine Teilfolge [mm](a_{n_k})[/mm] von [mm](a_n),[/mm]
> sodass [mm]|a_{n_k}| \le[/mm] M [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN,[/mm] d.h. [mm](a_{n_k})[/mm]
> ist beschränkt. (Beachte: Eine komplexe Folge [mm](a_{n_k})[/mm]
> heißt beschränkt, falls [mm](|a_{n_k}|)[/mm] beschränkt ist)
> Insbesondere ist M nicht-negativ.
S.o.; wenn Du das oben schon so machst, wie ich es gesagt habe,
brauchst Du das hier nicht mehr zu erwähnen.
> (Ist die Konstruktion
> von [mm](a_{n_k})[/mm] so richtig? Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] definiere:
> [mm]a_{n_k} :=\begin{cases} a_n, & \mbox{falls } \exists n \ge k: |a_n| \le M \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases})[/mm]
Autsch. Du meinst das sicher richtig, aber so geht's nicht - es ist schon
schlecht, [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $n_k$ [/mm] in der Definition von [mm] $a_{n_k}$ [/mm] beide zu
benutzen - das hat etwas mit der Definition von Teilfolgen zu tun, warum
das schlecht ist.
(Eigentlich ist bei [mm] $n_k$ [/mm] ja [mm] $n\,$ [/mm] eine (streng wachsende) Abbildung [mm] $n\colon \IN \to \IN\,,$ [/mm]
und man schreibt [mm] $n_k:=n(k)\,.$ [/mm] Zudem musst Du beachten, wie Teilfolgen
definiert sind: Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge und ist [mm] $\phi\colon \IN \to \IN$ [/mm] eine
streng wachsende Abbildung, dann nennt man [mm] $(a_{\phi(n)})_n$ [/mm] eine Teilfolge
von [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] Bei Dir ist nicht klar, dass auch [mm] $n_k [/mm] < [mm] n_{k+1}$ [/mm] für alle [mm] $k\,$
[/mm]
gilt - und den Teil mit "0, sonst" kannst Du Dir sparen - denn wie sollte es
sonst unendlich viele [mm] $n\,$ [/mm] mit [mm] $|a_n| \le [/mm] M$ geben? )
Man kann es so machen:
Sei [mm] $n_1 \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $|a_{n_1}| \le M\,.$ [/mm] Dann existiert mindestens
ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m > [mm] n_1$ [/mm] so, dass [mm] $|a_m| \le M\,:$ [/mm] Wähle eines
dieser [mm] $m\,$ [/mm] und setze nun [mm] $n_2:=m\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $n_2=m [/mm] > [mm] n_1\,$ [/mm] und
auch [mm] $n_1,\;n_2 \in \IN\,.$ [/mm] Nun existiert (ich notiere das nicht mehr so
super sauber, aber die Bedeutung ist wohl klar, wie ich das meine)
[mm] $\IN \ni m\,' [/mm] > [mm] n_2$ [/mm] mit [mm] $|a_{m\,'}|\le M\,.$ [/mm] Setze [mm] $n_3:=m\,'\,,$ [/mm] dann gilt [mm] $n_3 [/mm] > [mm] n_2 [/mm] > [mm] n_1$ [/mm] und [mm] $n_1,\;n_2,\;n_3 \in \IN\,,$
[/mm]
sowie [mm] $|a_{n_1}|\le M,\; |a_{n_2}|\le M,\;|a_{n_3}|\le M\,.$
[/mm]
Allgemein: Seien [mm] $n_1,\;...,n_k$ [/mm] alle in [mm] $\IN$ [/mm] mit [mm] $n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... < [mm] n_k$ [/mm] und schon so definiert, dass
[mm] $$|a_{n_\ell}|\le [/mm] M [mm] \text{ für alle }\ell=1,...,k\,.$$
[/mm]
Dann existiert ein [mm] $\IN \ni \tilde{m} [/mm] > [mm] n_k$ [/mm] mit [mm] $|a_{\tilde{m}}| \le M\,,$
[/mm]
und wir setzen [mm] $n_{k+1}:=\tilde{m}\,.$ [/mm] Dann folgt, dass [mm] $n_1,\ldots,n_k,\;n_{k+1}$ [/mm] alle in [mm] $\IN$ [/mm] liegen,
dass [mm] $n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... < [mm] n_k [/mm] < [mm] n_{k+1}$ [/mm] und dass [mm] $|a_{n_\ell}|\le [/mm] M$ für alle [mm] $\ell=1,\ldots,\red{k+1}\,.$
[/mm]
> Insbesondere besitzt dann [mm](|a_{n_k}|)[/mm] eine Teilfolge
> [mm](|(a_{n_{k_h}}|),[/mm] die gegen L konvergiert.
Nein - hier nimmst Du nicht die Betragsfolge - sondern die Folge
[mm] ${(a_{n_k})}_k\,.$ [/mm] Diese hat eine Teilfolge [mm] ${(a_{n_{k_\ell}})}_\ell\,,$ [/mm] die gegen ein $L [mm] \in \IC$ [/mm] konvergiert!
Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt auch in [mm] $\IC\,,$ [/mm] und dort läßt er sich
auch aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] herleiten.
Denn: Sei [mm] $(z_n)$ [/mm] beschränkt. Dann gibt es reelle Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] und
[mm] $(y_n)$ [/mm] mit [mm] $z_n=x_n+i*y_n\,.$
[/mm]
Begründe nun, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] beschränkt sein müssen.
(Tipp: Beweise bzw. benutze dafür: Für $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt [mm] $|\text{Re}(z)| \le [/mm] |z|$ und [mm] $|\text{Im}(z)| \le |z|\,.$)
[/mm]
Weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] beschränkt ist, gibt es (reeller Bolzano-Weierstraß) eine Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm]
von [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] die konvergiert.
Weil [mm] $(y_n)_n$ [/mm] beschränkt ist, ist auch [mm] $(y_{n_k})_k$ [/mm] beschränkt. Also hat
(wieder wegen des reellen Bolz.-Weierstr.) auch [mm] $(y_{n_k})_k$ [/mm] eine Teilfolge [mm] $(y_{n_{k_\ell}})_\ell\,,$ [/mm]
die konvergiert.
Dann ist aber, weil ja [mm] $(x_{n_{k_\ell}})_\ell$ [/mm] eine Teilfolge der konvergenten
Folge [mm] $(x_{n_{k}})_k$ [/mm] ist, auch [mm] $(x_{n_{k_\ell}})_\ell$ [/mm] konvergent.
Für die Teilfolge [mm] $(z_{n_{k_\ell}})_\ell$ [/mm] von [mm] $(z_n)_n$ [/mm] gilt wegen
[mm] $$z_{n_{k_\ell}}=x_{n_{k_\ell}}+i*y_{n_{k_\ell}}$$
[/mm]
also, dass [mm] $(z_{n_{k_\ell}})_\ell$ [/mm] konvergiert.
P.S. Analog kannst Du nun sogar beweisen, dass für jedes [mm] $n\,$ [/mm] in [mm] $\IC^n$ [/mm]
gilt, dass jede beschränkte Folge in [mm] $\IC^n$ [/mm] eine konvergente Teilfolge
hat - kurz: In [mm] $\IC^n$ [/mm] gilt Bolzano-Weierstraß!
P.P.S. Warum ist eigentlich, wenn [mm] $(z_n)$ [/mm] eine Folge ist, eine Teilfolge einer
Teilfolge von [mm] $(z_n)_n$ [/mm] selbst direkt eine Teilfolge von [mm] $(z_n)$? [/mm] Diese
Frage hatte ich ja auch mal gestellt - hier mal die Antwort dazu:
Nun: Für streng wachsendes [mm] $\phi \colon \IN \to \IN$ [/mm] ist [mm] $(z_{\phi(n)})_n$
[/mm]
eine Teilfolge von [mm] $(z_n)_n\,.$ [/mm] Für streng wachsendes [mm] $\psi \colon \IN \to \IN$
[/mm]
ist dann [mm] $(z_{\psi(\phi(n))})_n\equiv(z_{(\psi \circ \phi)(n)})_n$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(z_{\phi(n)})_n\,.$ [/mm] Und weil [mm] $\psi \circ \phi \colon \IN \to \IN$
[/mm]
dann auch streng wachsend ist, ist [mm] $(z_{(\psi \circ \phi)(n)})_n$ [/mm] selbst
auch eine Teilfolge von [mm] $(z_n)_n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> hier kannst Du schon direkt annehmen, dass es ein solches [mm]M > 0\,[/mm]
> gibt.
Ok.
> > (Ist die Konstruktion
> > von [mm](a_{n_k})[/mm] so richtig? Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] definiere:
> > [mm]a_{n_k} :=\begin{cases} a_n, & \mbox{falls } \exists n \ge k: |a_n| \le M \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases})[/mm]
>
> Autsch. Du meinst das sicher richtig, aber so geht's nicht
> - es ist schon
> schlecht, [mm]n\,[/mm] und [mm]n_k[/mm] in der Definition von [mm]a_{n_k}[/mm] beide
> zu
> benutzen - das hat etwas mit der Definition von Teilfolgen
> zu tun, warum
> das schlecht ist.
> (Eigentlich ist bei [mm]n_k[/mm] ja [mm]n\,[/mm] eine (streng wachsende)
> Abbildung [mm]n\colon \IN \to \IN\,,[/mm]
> und man schreibt [mm]n_k:=n(k)\,.[/mm] Zudem musst Du beachten, wie
> Teilfolgen
> definiert sind: Ist [mm](a_n)_n[/mm] eine Folge und ist [mm]\phi\colon \IN \to \IN[/mm]
> eine
> streng wachsende Abbildung, dann nennt man [mm](a_{\phi(n)})_n[/mm]
> eine Teilfolge
> von [mm](a_n)_n\,.[/mm] Bei Dir ist nicht klar, dass auch [mm]n_k < n_{k+1}[/mm]
> für alle [mm]k\,[/mm]
> gilt - und den Teil mit "0, sonst" kannst Du Dir sparen -
> denn wie sollte es
> sonst unendlich viele [mm]n\,[/mm] mit [mm]|a_n| \le M[/mm] geben? )
>
> Man kann es so machen:
> Sei [mm]n_1 \in \IN[/mm] so, dass [mm]|a_{n_1}| \le M\,.[/mm] Dann existiert
> mindestens
> ein [mm]m \in \IN[/mm] mit [mm]m > n_1[/mm] so, dass [mm]|a_m| \le M\,:[/mm] Wähle
> eines
> dieser [mm]m\,[/mm] und setze nun [mm]n_2:=m\,.[/mm] Dann gilt [mm]n_2=m > n_1\,[/mm]
> und
> auch [mm]n_1,\;n_2 \in \IN\,.[/mm] Nun existiert (ich notiere das
> nicht mehr so
> super sauber, aber die Bedeutung ist wohl klar, wie ich das
> meine)
> [mm]\IN \ni m\,' > n_2[/mm] mit [mm]|a_{m\,'}|\le M\,.[/mm] Setze
> [mm]n_3:=m\,'\,,[/mm] dann gilt [mm]n_3 > n_2 > n_1[/mm] und [mm]n_1,\;n_2,\;n_3 \in \IN\,,[/mm]
>
> sowie [mm]|a_{n_1}|\le M,\; |a_{n_2}|\le M,\;|a_{n_3}|\le M\,.[/mm]
>
> Allgemein: Seien [mm]n_1,\;...,n_k[/mm] alle in [mm]\IN[/mm] mit [mm]n_1 < n_2 < ... < n_k[/mm]
> und schon so definiert, dass
> [mm]|a_{n_\ell}|\le M \text{ für alle }\ell=1,...,k\,.[/mm]
> Dann
> existiert ein [mm]\IN \ni \tilde{m} > n_k[/mm] mit [mm]|a_{\tilde{m}}| \le M\,,[/mm]
>
> und wir setzen [mm]n_{k+1}:=\tilde{m}\,.[/mm] Dann folgt, dass
> [mm]n_1,\ldots,n_k,\;n_{k+1}[/mm] alle in [mm]\IN[/mm] liegen,
> dass [mm]n_1 < n_2 < ... < n_k < n_{k+1}[/mm] und dass
> [mm]|a_{n_\ell}|\le M[/mm] für alle [mm]\ell=1,\ldots,\red{k+1}\,.[/mm]
Ja meine Idee war genau so, aber ich wusste nicht, wie ich diese umsetzen sollte...
> Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt auch in [mm]\IC\,,[/mm] und
> dort läßt er sich
> auch aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß bzgl. [mm]\IR[/mm]
> herleiten.
Ja, das hatten wir auch in der Vorlesung, aber ich hatte das irgendwie verdrängt.
> P.S. Analog kannst Du nun sogar beweisen, dass für jedes
> [mm]n\,[/mm] in [mm]\IC^n[/mm]
> gilt, dass jede beschränkte Folge in [mm]\IC^n[/mm] eine
> konvergente Teilfolge
> hat - kurz: In [mm]\IC^n[/mm] gilt Bolzano-Weierstraß!
Ich denke, das wird schon noch früh genug in Analysis II kommen? :D
> P.P.S. Warum ist eigentlich, wenn [mm](z_n)[/mm] eine Folge ist,
> eine Teilfolge einer
> Teilfolge von [mm](z_n)_n[/mm] selbst direkt eine Teilfolge von
> [mm](z_n)[/mm]? Diese
> Frage hatte ich ja auch mal gestellt - hier mal die Antwort
> dazu:
> Nun: Für streng wachsendes [mm]\phi \colon \IN \to \IN[/mm] ist
> [mm](z_{\phi(n)})_n[/mm]
> eine Teilfolge von [mm](z_n)_n\,.[/mm] Für streng wachsendes [mm]\psi \colon \IN \to \IN[/mm]
>
> ist dann [mm](z_{\psi(\phi(n))})_n\equiv(z_{(\psi \circ \phi)(n)})_n[/mm]
> eine Teilfolge von [mm](z_{\phi(n)})_n\,.[/mm] Und weil [mm]\psi \circ \phi \colon \IN \to \IN[/mm]
>
> dann auch streng wachsend ist, ist [mm](z_{(\psi \circ \phi)(n)})_n[/mm]
> selbst
> auch eine Teilfolge von [mm](z_n)_n\,.[/mm]
>
>
> Gruß,
> Marcel
Ok, besten Dank!
Gruss
Alexander
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Danke Marcel. Das hat mir geholfen.
Grüsse
Alexander
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