lim x^b / b^x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 So 08.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Bestimme [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^b}{b^x}$ [/mm] |
Und das ganze ohne Ableitungen machen zu dürfen. Stelle ich mir schwierig vor. Ich vermute es konvergiert gegen 0, jedoch kann ich nicht zeigen wieso.
[mm] x^b [/mm] < [mm] b^x [/mm] würde ja reichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 08.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[mm] x^b
Aber ansonsten kann ich dir leider nicht helfen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Bestimme [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^b}{b^x}[/mm]
> Und das ganze ohne Ableitungen machen zu dürfen.
> Stelle ich mir schwierig vor. Ich vermute es konvergiert
> gegen 0, jedoch kann ich nicht zeigen wieso.
Das trifft aber nicht generell (also unabhängig vom
Wert von b) zu !
> [mm]x^b[/mm] < [mm]b^x[/mm] würde ja reichen.
Das eben nicht, wie schon Teufel mitgeteilt hat.
Leider sehe ich erst jetzt die Bedingung, dass es
ohne Ableitungen gehen soll. Das scheint mir ein
wenig fies ... (mit einem Grenzwert haben wir es
ohnehin zu tun, weshalb dann nicht auch mit einer
Ableitung, die ja auch nichts anderes als ein
bestimmter Grenzwert ist) ... aber schauen wir,
wie es sonst gehen könnte.
Betrachten wir doch einmal den Logarithmus der
Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{x^b}{b^x}
[/mm]
[mm] ln(f(x))=ln(x^b)-ln(b^x)=b*ln(x)-x*ln(b)
[/mm]
Nun stellt sich zunächst die Frage: welche
Werte kommen denn für b überhaupt in Frage ?
Grundmenge sowohl für b als auch für x ist
wohl [mm] \IR. [/mm] Damit dann aber sowohl [mm] x^b [/mm] als auch [mm] b^x
[/mm]
überhaupt (in [mm] \IR) [/mm] definiert sind, muss man sicher mal
[mm] b\ge0 [/mm] voraussetzen. b=0 und b=1 sind einfache
Spezialfälle, die man leicht abhandeln kann.
Für x brauchen wir ohnehin nur (grosse) positive
Werte, d.h. um negative x muss man sich nicht
kümmern.
Nehmen wir nun einmal an, b sei eine Zahl mit
0<b<1, und es sei k:=ln(b). Wegen 0<b<1 ist
natürlich k<0. Damit haben wir
$\ ln(f(x))=b*ln(x)-k*x$
Das Verhalten dieses Ausdrucks für [mm] x\to\infty [/mm] ist
leicht zu überblicken, und was daraus für [mm] \limes_{x\to\infty}f(x)
[/mm]
folgt, ist auch leicht zu erkennen.
Etwas schwieriger ist aber dann der Fall mit $\ b>1$ ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 So 08.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Es wird noch fieser: Logarithmus ist nicht definiert.
Es dürfen Definitionen zu Folgen und Grenzwerten genommen werden sowie Cauchyfolgen und Induktionen.
Ich würde am liebsten x-te Wurzel ziehen, da Wurzeln definiert sind aber weiter bringt einen das nicht.
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> Es wird noch fieser: Logarithmus ist nicht definiert.
>
> Es dürfen Definitionen zu Folgen und Grenzwerten genommen
> werden sowie Cauchyfolgen und Induktionen.
>
> Ich würde am liebsten x-te Wurzel ziehen, da Wurzeln
> definiert sind aber weiter bringt einen das nicht.
Hallo,
du studierst offenbar an einer Hochschule. Auf
dieser Annahme gründend, wage ich die weitere
Vermutung, dass du vorher eine auf die Hochschule
vorbereitende Schule besucht hast, in welcher die
Logarithmen mit erheblicher Wahrscheinlichkeit
ausführlich behandelt worden sind.
Da scheint es mir als früherem Lehrer an eben
einem solchen Gymnasium ebenfalls ein wenig
befremdlich, dass man offenbar an der Hochschule
nicht so recht auf das mathematische Fundament
vertrauen will, das in den Gymnasien gelegt wird.
Ich versuche mir eine analoge Situation in einem
anderen Bereich auszumalen: ein gelernter Tischler,
der schon viele Möbel gezimmert und repariert
hat und den Umgang mit verschiedensten Maschinen
beherrscht, geht an die Fachhochschule und muss dort
im ersten Jahr zeigen, dass er in der Lage ist,
anspruchsvolle Tischleraufgaben auch zu lösen,
wenn er auf Bohrmaschine, Drehbank, Band-
säge und Schleifmaschine verzichten muss ...
(Ich habe gewisse Zweifel, ob dies an Fachhoch-
schulen tatsächlich in dieser oder ähnlicher
Weise geschieht).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 So 08.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Ich habe vor 2 Semestern einen Test so sehr verhauen, weil ich genau so gedacht habe: Auf die Grundlagen vom Gym wird aufgebaut. Der kam korrigiert wieder mit den Worten: "Nicht in der Vorlesung behandelt." und das war es dann mit dem Schein.
Deswegen und weil wir das aus der Lesung üben und anwenden lernen sollen, müssen wir uns auch darauf beschränken. Das ging vor Wochen in der ersten Übung damit los, dass man nicht gezeigt hat, dass 0 < 1 ist. Auch da gingen reihenweise Punkte verloren.
Deswegen bereitet es mir solche Probleme mit den Definitionen zu Folgen, Teilfolgen, Cauchy etc. einen Grenzwert herbeizuführen.
Sonst hätte ich schon längst mit l'Hospital argumentiert und die Aufgabe wäre fertig.
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> Bestimme [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^b}{b^x}[/mm]
Hallo,
da Du schreibst, daß der ln noch nicht dran war, würde mich nun aber interessieren, wie Ihr [mm] b^x [/mm] definiert habt.
Gruß v. Angela
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> > Bestimme [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^b}{b^x}[/mm]
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> Hallo,
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> da Du schreibst, daß der ln noch nicht dran war, würde
> mich nun aber interessieren, wie Ihr [mm]b^x[/mm] definiert habt.
>
> Gruß v. Angela
Gute Frage ! (bin auf die Antwort auch gespannt)
Man kann die Frage zwar auch schon für natürliche
Zahlen b und x stellen - dann wäre allerdings die
Schreibweise n (statt x) vorzuziehen.
Bei [mm] b,x\in\IQ^+ [/mm] kann man zwar die Potenzen ohne
Logarithmen definieren, hat dann aber mit den
Wurzeln zu kämpfen - aber möglicherweise ist dies
ja die Absicht ... $\ :\ <($
LG Al
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