limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | bestimme die grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(x^2-\wurzel{x^4-x^2+1})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{(\summe_{k=1}^{n}x^{k})-n}{x-1} [/mm] , n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow a+}\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}+\wurzel{x-a}}{\wurzel{x^{2}-a^{2}}} a\in \IR [/mm] , a > 0
|
beim ersten kann man ja null einsetzen und dann kommt 1 raus
beim zweiten fall, bekomme ich denn nenner nicht anständig weg, binomische formeln helfen irgendwie nicht...
|
|
| |
|
> bestimme die grenzwerte
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(x^2-\wurzel{x^4-x^2-1})[/mm]
> beim ersten kann man ja null einsetzen und dann kommt 1
> raus
Hallo,
ja?
Wenn ich da für x die Null einsetze, habe ich ein echtes Problem: da steht dann nämlich [mm] -\wurzel{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> Wenn ich da für x die Null einsetze, habe ich ein echtes
> Problem: da steht dann nämlich [mm]-\wurzel{-1}.[/mm]
>
stimmt, ich hab da jetzt 0 raus, hab [mm] x^2 [/mm] ausgeklammert und dann x=0 gesesetzt und 0 mal irgenetwas is ja 0
|
|
|
| |
|
Hallo Kreide,
kann das denn stimmen?
M.E. hat das Ding keinen reellen GW, allenfalls - wie Angela schon angesprochen hat - einen komplexen
Wie Wurzel ist ja im Reellen im Intervall $(-1,1)$ nicht definiert, wie also den GW für [mm] x\to [/mm] 0 betrachten?
Zeige doch mal, wie du was ausgeklammert hast...
Unter der Wurzel [mm] x^4 [/mm] und dann rausgezogen?
Dann strebt aber die Wurzel gegen [mm] $\sqrt{-\infty}$
[/mm]
Hmmm
Ich vermute mal ganz stark, dass du nicht den limes für [mm] x\to [/mm] 0, sondern
[mm] $\lim\limits_{x\to\infty}(x^2-\sqrt{x^4-x^2-1})$ [/mm] bzw. [mm] $\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2-\sqrt{x^4-x^2-1})$ [/mm] bestimmen sollst.
Falls dem so ist, erweitere das ganze Ding mit [mm] $(x^2\red{+}\sqrt{x^4-x^2-1})$
[/mm]
Dann hast du im Zähler die 3. binomische Formel und im Nenner kannst du dann ausklammern wie du's angedeutet hast
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> Zeige doch mal, wie du was ausgeklammert hast...
>
> Unter der Wurzel [mm]x^4[/mm] und dann rausgezogen?
>
ja hab ich
> Dann strebt aber die Wurzel gegen [mm]\sqrt{-\infty}[/mm]
>
da hast du recht, aber kann man nicht auch wie folgt argumentieren
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x^2(1-\wurzel{1-1/x^2+1/x^{4}})=0
[/mm]
WEIL:
[mm] x^2 [/mm] geht ja gegen null... konvergiert das produkt dann nicht gegen null, wenn ein faktor null ist, ist es ja egal wie der andere faktor aussieht
> Hmmm
>
> Ich vermute mal ganz stark, dass du nicht den limes für
> [mm]x\to[/mm] 0, sondern oo
>
ne leider nicht x konvergiert gegen null!!!
|
|
|
| |
|
> > Zeige doch mal, wie du was ausgeklammert hast...
> >
> > Unter der Wurzel [mm]x^4[/mm] und dann rausgezogen?
> >
> ja hab ich
>
> > Dann strebt aber die Wurzel gegen [mm]\sqrt{-\infty}[/mm]
> >
>
> da hast du recht
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x^2(1-\wurzel{1-1/x^2+1/x^{4}})=0[/mm]
Es muß hinten aber [mm] -1/x^{4} [/mm] heißen - wenn die Aufgabenstellung so ist, wie im Eingangspost präsentiert.
>
> [mm]x^2[/mm] geht ja gegen null... konvergiert das produkt dann
> nicht gegen null, wenn ein faktor null ist, ist es ja egal
> wie der andere faktor aussieht
Nö, es ist überhaupt nicht egal, wie der andere Faktor aussieht, sofern es sich nicht um einen konstanten Faktor handelt.
z.B. geht ja [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x gegen 0 gegen [mm] \infty,
[/mm]
und nicht etwa gegen 0 wegen [mm] \bruch{1}{x}=x* \bruch{1}{x^2}.
[/mm]
Bei Deiner Ausklammerung behältst Du das Problem mit der Wurzel. Was steht jetzt unter der Wurzel?
- [mm] \infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> Es muß hinten aber [mm]-1/x^{4}[/mm] heißen - wenn die
> Aufgabenstellung so ist, wie im Eingangspost präsentiert.
hatte mich vertippt, hab den Eingangspost gerade verbessert, sorry
so, unter der wurzel steht dann also 1-oo +oo kann man dann sagen, dass 1- oo+ oo=1 ?
dann würde die wurzel gegen 1 konvergieren, dann wäre der grenzwert aber wieder 0, und das soll ja anscheinend nicht gehen
>
|
|
|
| |
|
Hallo Kreide,
> > Es muß hinten aber [mm]-1/x^{4}[/mm] heißen - wenn die
> > Aufgabenstellung so ist, wie im Eingangspost präsentiert.
>
> hatte mich vertippt, hab den Eingangspost gerade
> verbessert, sorry
>
> so, unter der wurzel steht dann also 1-oo +oo kann man dann
> sagen, dass 1- oo+ oo=1 ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Achtung, das geht nicht: es ist [mm] $\infty-\infty\neq0$
[/mm]
Das ist ein unbestimmter Ausdruck
>
> dann würde die wurzel gegen 1 konvergieren, dann wäre der
> grenzwert aber wieder 0, und das soll ja anscheinend nicht
> gehen
Doch, wenn +1 unter der Wurzel steht, ist die auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert
Aber das ist dann eigentlich kaum im Sinne einer Aufgabe 
Du kannst ja direkt den Grenzübergang [mm] x\to [/mm] 0 machen und bekommst
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}(x^2-\sqrt{x^4-x^2+1})=0-\sqrt{0-0+1}=-\sqrt{1}=-1$
[/mm]
Im Anhang mal der Graph...
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
schachuzipus
> >
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> Hallo Kreide,
>
>
> > > Es muß hinten aber [mm]-1/x^{4}[/mm] heißen - wenn die
> > > Aufgabenstellung so ist, wie im Eingangspost präsentiert.
> >
> > hatte mich vertippt, hab den Eingangspost gerade
> > verbessert, sorry
> >
> > so, unter der wurzel steht dann also 1-oo +oo kann man dann
> > sagen, dass 1- oo+ oo=1 ?
>
> Achtung, das geht nicht: es ist [mm]\infty-\infty\neq0[/mm]
>
> Das ist ein unbestimmter Ausdruck
>
> >
> > dann würde die wurzel gegen 1 konvergieren, dann wäre der
> > grenzwert aber wieder 0, und das soll ja anscheinend nicht
> > gehen
>
> Doch, wenn +1 unter der Wurzel steht, ist die auf ganz [mm]\IR[/mm]
> definiert
>
> Aber das ist dann eigentlich kaum im Sinne einer Aufgabe
>
>
> Du kannst ja direkt den Grenzübergang [mm]x\to[/mm] 0 machen und
> bekommst
>
> [mm]\lim\limits_{x\to 0}(x^2-\sqrt{x^4-x^2+1})=0-\sqrt{0-0+1}=-\sqrt{1}=-1[/mm]
>
>
oh man, ich war so durcheinander, weil ich zuerst, die aufgabe falsch gepostet hatte... man oh man....
ok, der grenzwert is also -1........... simpel simpel!!!!
|
|
|
| |
|
> [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{\summe_{k=1}^{n}x^{k}-n}{x-1}[/mm]
> , n [mm]\in \IN[/mm]
Das würde ich mit l'Hospital überwältigen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
[mm] f(x)=\summe_{k=1}^{n}x^{k}
[/mm]
ist davon die ableitung:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(k)x^{k-1}
[/mm]
_________________________________
Wenn ja, dann wurde ich wie folgt l'hopital verwenden
1)
den Zähler nenne ich f(x), den Zähler g(x)
2)
dann von f und g die ableitung bilden
f [mm] ´(x)=\summe_{k=1}^{n}(k)x^{k-1} [/mm] (das soll die ableitung von f(x) sein... der Strich wird hier vom programm irgendwie ignoriert)
g´(x)=1
3)
von dem Quotienten der beiden ableiungen den limes betrachten:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \summe_{k=1}^{n}(k)x^{k-1}=\summe_{k=1}^{n}(k)^{k-1}=k^{k-1}
[/mm]
Der grenzwert ist also [mm] k^{k-1}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
>
> Wenn [mm]x\to[/mm] 1 geht, geht das doch gegen
> [mm]\sum\limits_{k=1}^nk\cdot{}1^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^nk[/mm]
oh ja!!!! :D
> Und für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen kennst du
> sicher ne Formel
>
meinst du (1+n) [mm] \bruch{n}{2} [/mm] ? da kommt ja nur das letzte und erste Summenglied vor.... k also gar nicht
der grenzwert wäre dann doch (1+n) [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
genau das meine ich
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> [mm]\limes_{x\rightarrow a+}\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}+\wurzel{x-a}}{\wurzel{x^{2}-a^{2}}} a\in \IR[/mm]
> , a > 0
Und wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt man hier auch mit l'Hospital zum Ziel:
[mm] \limes_{x\rightarrow a+}\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}+\wurzel{x-a}}{\wurzel{x^{2}-a^{2}}} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow a+}[\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}}{\wurzel{x^{2}-a^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+a}}].
[/mm]
Der zweite Summand ist harmlos, und für den ersten kann man l'Hospital nehmen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Kreide |
... hab als ergebnis [mm] \wurzel{\bruch{1}{2a}} [/mm]
hattest du dasselbe rausbekommen, angela?
|
|
|
| |
|
> ... hab als ergebnis [mm]\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
>
> hattest du dasselbe rausbekommen, angela?
Ich entdecke hier auf meinem mehrlagig beschriebenen Zettelchen noch ein Minuszeichen davor.
Überprüf das noch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
die Lösung von Kreide stimmt.
Das bestätigt ja auch deine obige Umformung.
Die erste "Teilfolge" geht gegen 0, die zweite gegen $\frac{1}{\sqrt{2a}$
und es steht ein + dazwischen 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kreide!
Die 3. Aufgabe lässt sich auch ohne Herrn de l'Hospital und ausschließlich mit elementaren Umformungen lösen:
[mm] $$\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}+\wurzel{x-a}}{\wurzel{x^2-a^2}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}+\wurzel{x-a}}{\wurzel{(x+a)*(x-a)}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}}{ \wurzel{x+a}*\wurzel{x-a} }+\bruch{\wurzel{x-a}}{ \wurzel{x+a}*\wurzel{x-a}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}}{ \wurzel{x+a}*\wurzel{x-a} } *\blue{\bruch{ \wurzel{x}+\wurzel{a} }{ \wurzel{x}+\wurzel{a} }}+\bruch{1}{\wurzel{x+a}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{x-a}{ \wurzel{x+a}*\wurzel{x-a}*\left( \ \wurzel{x}+\wurzel{a} \ \right) } +\bruch{1}{\wurzel{x+a}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\wurzel{x-a}}{ \wurzel{x+a}*\left( \ \wurzel{x}+\wurzel{a} \ \right) } +\bruch{1}{\wurzel{x+a}}$$
[/mm]
Daraus ist nun zu erkennen, dass der erste Bruch gegen Null geht und der 2. Bruch gegen [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2a}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
