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Hallo,
ich versuche grade eine Kurvendisskusion (gebrochen rationale Funktion) zu berechnen.
Ich versteh aber nicht wie man den Limes berechnet.
Also ich hab die Funktion: r(x)= x+1/x-3
die Nullstelle ist x1=-1
die Polstelle ist 3
wenn ich jetzt den Limes x gegen + unendlich berechnen möchte,dann geht x gegen +3(Polstelle) dann nehm ich die höchste Potenz von Zähler und Nenner,das wär dann 1 weil x bedeutet [mm] x^1. [/mm] soweit wär das mal richtig oder??
also ich muss einmal den Limes x gegen +3 und einmal x gegen -3 bereechnen. oder??
ich setze jetzt für x +3 in die Funktion ein : lim x-->+3= 3+1/3-3 dann wär die Lösung 4/0 und das heißt ...??? Hab ich das richtig gemacht??
wenn ich für x-->-3 einetze dann bekomm ich -2/-6 also 2/6 heraus. das ist 0,333 in Dezimalschreibweise.
soll das jetzt heißen das der Limes bei x gegen +3 gegen -unendlich geht und der Limes bei x gegen -3 gegen + unendlich geht ??? Ich bin mit dem Limes total überfordert...
Bitte um Erklärung!
Danke
lg martin
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Hallo highlandgold,
> Hallo,
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> ich versuche grade eine Kurvendisskusion (gebrochen
> rationale Funktion) zu berechnen.
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> Ich versteh aber nicht wie man den Limes berechnet.
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> Also ich hab die Funktion: r(x)= x+1/x-3
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> die Nullstelle ist x1=-1
> die Polstelle ist 3
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> wenn ich jetzt den Limes x gegen + unendlich berechnen
> möchte,dann geht x gegen +3(Polstelle) dann nehm ich die
> höchste Potenz von Zähler und Nenner,das wär dann 1 weil
> x bedeutet [mm]x^1.[/mm] soweit wär das mal richtig oder??
>
> also ich muss einmal den Limes x gegen +3 und einmal x
> gegen -3 bereechnen. oder??
>
Hier musst Du nur den Limes für x gegen +3 berechnen,
wobei zwei Fälle zu unterscheiden sind:
i) x < 3
ii) x > 3
Demnach sind zwei Berechnungen auszuführen.
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> ich setze jetzt für x +3 in die Funktion ein : lim x-->+3=
> 3+1/3-3 dann wär die Lösung 4/0 und das heißt ...??? Hab
> ich das richtig gemacht??
>
> wenn ich für x-->-3 einetze dann bekomm ich -2/-6 also 2/6
> heraus. das ist 0,333 in Dezimalschreibweise.
>
> soll das jetzt heißen das der Limes bei x gegen +3 gegen
> -unendlich geht und der Limes bei x gegen -3 gegen +
> unendlich geht ??? Ich bin mit dem Limes total
> überfordert...
>
> Bitte um Erklärung!
>
> Danke
>
> lg martin
>
Gruss
MathePower
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hallo mathepower,
also gut wenn ich muss für x +3 berechnen.
das Problem liegt aber darin das ich es nicht kann bzw verstehe wie ich das berechne!!
ich hab im vorigen Post Lösungsversuche aufgezeigt , bekam aber keine Rückmeldung ob es so richtig gemacht wird oder nicht.
Ich denke es ist falsch.
Bitte kann mir das jemand anhand eines Beispiels erklären. Es muss ja nicht das sein welches ich gepostet habe.
Danke!
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Hallo,
> hallo mathepower,
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> also gut wenn ich muss für x +3 berechnen.
>
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> das Problem liegt aber darin das ich es nicht kann bzw
> verstehe wie ich das berechne!!
>
> ich hab im vorigen Post Lösungsversuche aufgezeigt , bekam
> aber keine Rückmeldung ob es so richtig gemacht wird oder
> nicht.
> Ich denke es ist falsch.
MathePower hat bereits gesagt was zu tun ist.
Bilde:
a) [mm]\limes_{x\rightarrow 3^{-}} \frac{x+1}{x-3}[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 3^{+}} \frac{x+1}{x-3}[/mm]
Der Grenzwert x [mm] \to [/mm] 3 existiert nicht. Es existieren nur die einseitigen.
>
> Bitte kann mir das jemand anhand eines Beispiels erklären.
> Es muss ja nicht das sein welches ich gepostet habe.
>
> Danke!
Versuche dich doch mal an der Bildung dieser GW. Dann werden wir so zur korrekten Lösung ( und gleichzeitig zu einem Übungsbsp.) finden.
Gruß Thomas
Ps: Deine Lösung des Ausgangsposts ist nicht korrekt. So ist zb. die Betrachtung x [mm] \to [/mm] -3 überflüssig und die Betrachtung x [mm] \to [/mm] 3 muss wie oben beschrieben "getrennt" durchgeführt werden.
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hallo,
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 3^{-}} \frac{x+1}{x-3} [/mm] $ = 3-1/3+3=2/6
und
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 3^{+}} \frac{x+1}{x-3} [/mm] $ =3+1/3-3=4/0
ich habe die Werte für x oben eingesetzt und komme auf die Egebnisse 2/6 und 4/0 und was soll ich jetzt weiter machen??
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> hallo,
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 3^{-}} \frac{x+1}{x-3}[/mm] = 3-1/3+3=2/6
Nein mit x [mm] \to 3^{-} [/mm] ist nicht gemeint x [mm] \to [/mm] -3 !!! Es ist hierbei die Annäherung von LINKS gemeint.
>
> und
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3^{+}} \frac{x+1}{x-3}[/mm] =3+1/3-3=4/0
[mm] \frac{4}{0} [/mm] ist kein "zulässiger" Ausdruck - das ist eine unbestimmte Form... Du musst das schon etwas exakter ausführen.
>
> ich habe die Werte für x oben eingesetzt und komme auf die
> Egebnisse 2/6 und 4/0 und was soll ich jetzt weiter
> machen??
>
>
Gruß Thomas
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Hallo,
also ich kann das einfach nicht lösen . Ich versteh das nicht.
wie muss ich vorgehen ?
Könnten sie mir bitte die einzelnen Denkschritte aufzeigen?
danke
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Hallo,
Existieren: [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}^{-}(x<0)}f(x) = b[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}^{+}(x>0)}f(x)=c [/mm] und gilt b = c. So existiert
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) [/mm] = b.
In deinem Fall ist b [mm] \neq [/mm] c. denn ihre Vorzeichen sind ungleich. also existiert der Grenzwert
[mm]\limes_{x\rightarrow 3}\frac{x+1}{x-3}[/mm] nicht.
So nun ist dies aber alles für den Hugo wenn du nicht weißt wie man überhaupt mit dem lim. arbeitet?
Ist dir das klar oder fehlt es da an was?
Also kannst du zb:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0^{-}(x<0)}\frac{2|x|}{x}[/mm] bilden?
Gruß Thomas
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Hallo,
lim x gegen-0 =2x/x
hier muss ich für x -0 einsetzen . Ist das richtig oder falsch ?
also kommt als erbebnis die 0 . Wenn ich das vorzeichen für x gleich - einsetze kommt dabei ein + heraus also ist das ergebnis für x gegen -0 "+unendlich" oder??
lg
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> Hallo,
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> lim x gegen-0 =2x/x
>
> hier muss ich für x -0 einsetzen . Ist das richtig oder
> falsch ?
Die Betrachtungsweise ist einfach falsch - es wird nicht "eingesetzt" UND x [mm] \to 0^{-} [/mm] ist völlig anders zu verstehen. Stelle es dir so vor.
Der Limes x [mm] \to 0^{-} [/mm] soll eine Annäherung an 0 von LINKS also aus dem neg. Bereich darstellen.
Ich weiß nicht wie ich es noch ausdrücken soll.... du näherst dich 0 so an : -0.5, -0.3, -0.2......... -0.00000000000000001 ?(dies ist eine frei erfunde Darstellung um es dir begreifbar zu machen) ist dir klar was passiert? Also die Annäherung finden vom negativen Bereich aus statt.
>
> also kommt als erbebnis die 0 . Wenn ich das vorzeichen
> für x gleich - einsetze kommt dabei ein + heraus also ist
> das ergebnis für x gegen -0 "+unendlich" oder??
>
> lg
Nein.
Ich würde dir vorschlagen einen tiefen Blick in deine Unterlagen zu riskieren um dich mit diesem Thema etwas genauer vertraut zu machen.
Habt ihr in der Schule/ auf der Uni (was auch immer du machst) denn nie Grenzwerte durchgenommen?
Gruß Thomas
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Wenn man das x im Zähler und im nenner wegkürzt dann würde das Ergebnis minus 2 sein ?!
Das ist vermutlich auch die falsche Antwort ?
Naja ich hab e schon im Internet versucht mich schlau zu machen aber irgendwie versteh ich das nicht.
Ich danke dir für deine Unterstützung.
Vielleicht klappts morgen.
lg
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Hi!
> Wenn man das x im Zähler und im nenner wegkürzt dann
> würde das Ergebnis minus 2 sein ?!
Ja, dass ist richtig.
Nochmal zurück zu deiner ursprünglichen Aufgabenstellung.
[mm] f(x)=\frac{x+1}{x-3}[/mm]
Zunächst mal musst du dir die Frage stellen, an welchen "x" Werten du überhaupt eine Grenzwertbetrachtung (das mag sich kompliziert anhören, ist es aber nicht. Also hab keine Angst davor) durchführen.
Wie du weist, darf man nicht durch Null teilen. Für welchen x Wert gibt das in deiner Aufgabe also ein Problem? Richtig: für x=3.
Die erste Erkenntnis ist nun, dass sich an der Stelle x=3 eine senkrechte Asymptote befindet.
Jetzt interessiert man sich (bzw. du) dafür, wie sich der Funktionsgraph verhält, wenn man sich diesem x Wert 3 (x=3) nähert.
Du kannst dich auf der x Achse diesem Wert x=3 entweder von links ( [mm]\lim_{x\rightarrow\ 3\red{^-}} \frac{x+1}{x-3}[/mm] ) nähern oder von rechts ( [mm]\lim_{x\rightarrow\ 3\red{^+}} \frac{x+1}{x-3}[/mm] ).
Es ist also nicht das einsetzen der Zahlen $-3$ oder $+3$ damit gemeint.
Zunächst eine Erklärung dazu: [mm]\lim_{x\rightarrow\ 3\red{^+}} \frac{x+1}{x-3}[/mm]
Was passiert,wenn du dich der Stelle x=3 von rechts immer weiter näherst? Machen wir mal ein paar Schritte:
1. x=3,1000
2. x=3,0100
3. x=3,0010
4. x=3,0001
Das kannst du nur zum Verständnis ruhig so in deine Gleichung einsetzen. Du wirst feststellen, das sich der Zähler (x+1) immer mehr an die Zahl 4 annähert. Hingegen nähert sich der Nenner (x-3) immer mehr der Zahl Null an. Allerdings positiv. Du näherst dich nämlich von rechts. das heißt auch: 3,00000000001-3 ist immer noch größer Null. Auch wenn es schon fast 0 ist.
Die nächste Frage ist nun, was dein kompletter Ausdruchk für diese Grenzwertbetrachtung liefert?
Der Zähler geht in Richtung einer konstanten Zahl ungleich null und positiv. Hier 4.
Der Nenner geht in Richtung 0 positiv. Also eine sehr sehr sehr sehr kleine positive Zahl.
Bildlich: 0,000000000...000000...000001
Was ergibt denn nun dein Bruch, wenn du in deiner Aufgabe die feste Zahl größer Null: hier 4 einsetzt? In einer anderen Aufgabe können es auch die Zahlen 0,1; 0,5; 1; 5; 1000; 100000; 123456789 sein. Was passiert nun, wenn du durch eine Zahl Teilst, die nahezu Null ist, aber diese nie erreicht?
Also: [mm] \bruch{4}{0,0000...0000...0000...00001}
[/mm]
Entsteht eine sehr große postive Zahl (+ unendlich)?
eine sehr große negative Zahl (- unendlich)?
Kannst du deine Frage nun beantworten?
Verstehe meine Ausführungen bitte nur zum eigenen Verständnis. Das ist alles sehr bildhaft.
Valerie
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Nun lösen wir deine ursprüngliche Aufgabe (eventuell hast du ja mehrere von dieser Sorte und du kannst anhand dieser etwaige andere lösen).
Wir betrachten:
[mm] f(x) = \frac{x+1}{x-3}[/mm] offensichtlich ist diese Funktion [mm] \forall [/mm] x [mm] \neq [/mm] 3 unproblematisch zu behandeln.
Dein Interesse gilt somit x = 3. Warum? Offensichtlich würde sich dadurch das "Dividieren durch 0" ergeben (was ,wie wir wissen, eine Sache ist die Mathematiker nicht so berauschend finden).
Gut also wir haben die kritische Stelle deines Beispiels gefunden. x = 3 - Hierfür möchten wir also eine Grenzwertbetrachtung durchführen.
Es ist festzuhalten dass: (wie ich bereits in einer Antwort geschrieben habe)
Existieren: [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}^{-}(x<0)}f(x) = b[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}^{+}(x>0)}f(x)=c [/mm] und gilt b = c. So existiert
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) [/mm] = b.
Wir wollen also vorerst eine Annäherung von links und rechts durchführen - stellen wir fest ,dass diese gleiches Resultat liefert so existiert der Grenzwert für [mm] x \to 3[/mm]
vorneweg: dies wird nicht der Fall sein.
Um dir die Annäherung von links nochmals in Erinnerung zu rufen sei diese doppelt angeführt : einmal mit [mm] 3^{-} [/mm] einmal mit (x<0)
[mm]\limes_{x\rightarrow 3^{-}(x<0)}\frac{x+1}{x-3} = -\infty[/mm] Warum ist das so?? Wie Valerie beschrieben hat betrachtest du etwas der Form [mm] \frac{4}{-0.00000...0000....0001} [/mm] - eine sehr große NEGATIVE Zahl - für eine "unendliche" Annäherung also: [mm] -\infty [/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow 3^{+}(x>0)}\frac{x+1}{x-3}[/mm] = + [mm] \infty [/mm] - Begründung hier ident wie oben nur dass es eine sehr große POSITIVE ZAHL wird.
du erkennst also unschwer, dass sich die einseitigen Limiten durch ihr Vorzeichen (Signum) unterscheiden. Wenn du dir meinen Satz von oben gemerkt hast so siehst du dass der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 3}\frac{x+1}{x-3}[/mm] nicht existiert.
Ich hoffe es hilft dir.
Gruß Thomas
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