limes, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm]\underset{n \rightarrow \infty }{lim} \left( cos \left( \frac{\sqrt{10n^2-n}-n}{2n+3} \right) \right) [/mm]
An welcher Stelle der Rechnung wird benutzt, dass die Cosinusfunktion stetig ist? Wo wird die Stetigkeit der Wurzelfunktion benutzt? |
Idee:
[mm]\underset{n \rightarrow \infty }{lim} \left( cos \left( \frac{\sqrt{n^2}}{n} \frac{\sqrt{10-\frac{1}{n}}-1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right) [/mm]
[mm]cos \left( \underset{n \rightarrow \infty }{lim} \left( \frac{\sqrt{n^2}}{n} \frac{\sqrt{10-\frac{1}{n}}-1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right) [/mm]
[mm]cos \left( \frac{\sqrt{10}-1}{2} \right) [/mm]
(1) Durch die Stetigkeit von Cos, kann ich ja den Limes in die Klammer ziehen.
(2) Die Wurzelfunktion habe ich aber nicht wirklich berücksichtigt?!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> [mm]\underset{n \rightarrow \infty }{lim} \left( cos \left( \frac{\sqrt{n^2}}{n} \frac{\sqrt{10-\frac{1}{n}}-1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right)[/mm]
>
> [mm]cos \left( \underset{n \rightarrow \infty }{lim} \left( \frac{\sqrt{n^2}}{n} \frac{\sqrt{10-\frac{1}{n}}-1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right)[/mm]
>
> (1) Durch die Stetigkeit von Cos, kann ich ja den Limes in
> die Klammer ziehen.
Ja, vorausgesetzt, der Term in der Klammer konvergiert.
(Z.B. [mm] $\lim_{n\to\infty}\cos(n*2\pi)=\lim_{n\to\infty}1=1$, [/mm] aber NICHT [mm] $\lim_{n\to\infty}\cos(n*2\pi)=\cos(\lim_{n\to\infty}n*2\pi)$, [/mm] da der letzte Limes gar nicht existiert (bzw. [mm] $\infty$ [/mm] ist).)
> [mm]cos \left( \frac{\sqrt{10}-1}{2} \right)[/mm]
>
> (2) Die Wurzelfunktion habe ich aber nicht wirklich
> berücksichtigt?!
Zwischenschritte:
[mm] $\cos\left(\lim_{n\to\infty}\left( \frac{\sqrt{n^2}}{n} \frac{\sqrt{10-\frac{1}{n}}-1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right)$
[/mm]
[mm] $=\cos\left(\lim_{n\to\infty}\left( \frac{\sqrt{10-\frac{1}{n}}-1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right)$
[/mm]
[mm] $=\cos\left(\frac{\lim_{n\to\infty}(\sqrt{10-\frac{1}{n}}-1)}{\lim_{n\to\infty}(2 + \frac{3}{n})} \right)$
[/mm]
[mm] $=\cos\left(\frac{\lim_{n\to\infty}\sqrt{10-\frac{1}{n}}-\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}(2 + \frac{3}{n})} \right)$
[/mm]
Und nun die Stetigkeit der Wurzelfunktion:
[mm] $=\cos\left(\frac{\sqrt{\lim_{n\to\infty}(10-\frac{1}{n})}-\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}(2 + \frac{3}{n})} \right)$
[/mm]
[mm] $=\ldots$
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
Super, vielen Dank für die detaillierte Ausführung. ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
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