limes sup und limes inf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n} =1+(-1)^n(1+\bruch{1}{n}). [/mm] Bestimme [mm] \limessup_{n\rightarrow\infty} [/mm] und [mm] \limesinf_{n\rightarrow\infty} [/mm] für die Folgen [mm] {a_{n}} [/mm] und [mm] {(\bruch{a_{1}+...+a{n})}{n}} [/mm] . [mm] n\in \IN [/mm] |
wie man limessup und inf für die folge an rausbekommt ist mir eigentlich klar, hab 2 für limes sup und 0 für limes inf raus.
Nur hab ich Problem den limes von der zweiten Folge zu berechen.
Eigentlich könnte ich ja [mm] a_{1}+...+a{n} [/mm] als eine Reihe schreiben [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ \summe_{i=1}^{n} a_{i} }{n} [/mm]
verstehe aber nicht ganz wie ich da von limessup und limesinf berechnen kann
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> Sei [mm]a_{n} =1+(-1)^n(1+\bruch{1}{n}).[/mm] Bestimme
> [mm]\limessup_{n\rightarrow\infty}[/mm] und
> [mm]\limesinf_{n\rightarrow\infty}[/mm] für die Folgen [mm]{a_{n}}[/mm] und
> [mm]{(\bruch{a_{1}+...+a{n})}{n}}[/mm] . [mm]n\in \IN[/mm]
> Eigentlich könnte ich ja [mm]a_{1}+...+a{n}[/mm] als eine Reihe
> schreiben [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}[/mm]
> Also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ \summe_{i=1}^{n} a_{i} }{n}[/mm]
Hallo,
ich würde mir hier erstmal ein paar Partialsummen Folgenglieder aufschreiben.
Dann sieht man besser, wie diese Reihe Folge funktioniert.
[mm] s_1=\bruch{1}{1}a_1= 1-1-\bruch{1}{1})=-1
[/mm]
[mm] s_2=\bruch{1}{2}(a_1+a_2)=\bruch{1}{2}( [/mm] ... )= [mm] ...+\bruch{1}{2}(-1+\bruch{1}{2}))
[/mm]
[mm] s_n=\bruch{1}{n}(a_1+a_2+ ...+a_n)= \bruch{1}{n}(... [/mm] + [mm] (-1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}\pm...\pm \bruch{1}{n}).
[/mm]
Überlege Dir, daß - und wie - sich die n-ten Partialsumme Folgenglieder für gerades und für ungerades n unterscheiden.
(Am besten bekommst Du das heraus, wenn Du z.B. [mm] s_4 [/mm] und [mm] s_5 [/mm] aufschreibst.)
Wenn Du das weißt, kannst Du die Grenzwerte berechnen für die Teilfolgen s_2n und [mm] s_{2n+1}.
[/mm]
Nützlich ist es noch, wenn man den Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe kennt.
Falls Ihr ihn nicht hattet, sondern lediglich die Konvergenz gezeigt habt, nenn ihn z.B. "G".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Kreide |
alle geraden glieder sind positiv, nämlich [mm] \bruch{4n+1}{1n^2} [/mm]
alle ungeraden glieder sind negativ, nämlich [mm] \bruch{-1}{(2n+1)^2}
[/mm]
(ich glaub du hast dich bei den partialsummen immer um den faktor -1 vertan)
Daraus könnte man schon mal schließen dass limsup postiv ist und liminf negativ ist, was aber nicht is, denn limessup=limesinf=0
[mm] \limessup_{n\rightarrow\infty}\bruch{4n+1}{1n^2}=0
[/mm]
[mm] \limesinf_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1}{(2n+1)^2}=0
[/mm]
hab aber keinen grenzwert der alternierenden reihe benutzt?!?
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> alle geraden glieder sind positiv, nämlich
> [mm]\bruch{4n+1}{1n^2}[/mm]
> alle ungeraden glieder sind negativ, nämlich
> [mm]\bruch{-1}{(2n+1)^2}[/mm]
Hallo,
ich weiß jetzt überhaupt nicht, was Du getan hast, und von welcher der Folgen Du sprichst.
Ich sprach von der zweiten, denn die erste schien ja klar zu sein.
Könntest Du etwas mehr erläuternden Text spendieren?
Hast Du die Folgenglieder der zweiten Folge mal für konkrete n aufgeschrieben?
Wie sehen denn [mm] s_4 [/mm] und [mm] s_5 [/mm] aus?
> (ich glaub du hast dich bei den Partialsummen immer um den
> faktor -1 vertan)
Bei [mm] s_1 [/mm] hatte ich das Minuszeichen im Ergebnis vergessen, ansonsten sehe ich keinen Fehler, aber schon möglich, daß einer drin ist. Das ganze diente in erster Linie dazu, Dir anzudeuten, was Du tun mußt, um der Sache auf die Spur zu kommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kreide |
> > alle geraden glieder sind positiv, nämlich
> > [mm]\bruch{4n+1}{1n^2}[/mm]
hiermit meine ich die zweite Folge. also hab hier S2k und als nächstes S2k+1berechnet. Ich habe also für n=2k und dann n=2k+1 eingesetzt und ungeformt.
> > alle ungeraden glieder sind negativ, nämlich
> > [mm]\bruch{-1}{(2n+1)^2}[/mm]
und als letztes hab ich dann von beiden den limes gebildet , wo bei beiden 0 raus kam. dann hab ich ja eigentlich nicht den limes von der summe genommen sondern nur von EINEM ungeraden bzw geraden glied der folge und nicht der SUMME der ganzen ungeraden glieder und nicht der summe der ganzen geraden glieder der folge, oder berechnet man das genauso?
>
> Hallo,
>
> ich weiß jetzt überhaupt nicht, was Du getan hast, und von
> welcher Reihe Du sprichst.
> Ich sprach von der zweiten, denn die erste schien ja klar
> zu sein.
>
> Könntest Du etwas mehr erläuternden Text spendieren?
>
> Hast Du die Partialsummen der zweiten Reihe mal für
> konkrete n aufgeschrieben?
>
[mm] S_n=S2k+S2k+1
[/mm]
oder?
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> hiermit meine ich die zweite Folge. also hab hier S2k und
> als nächstes S2k+1berechnet. Ich habe also für n=2k und
> dann n=2k+1 eingesetzt und ungeformt.
Wenn wir ins Geschäft kommen wollen, müßtest Du das schonmal vorrechnen - ich kann das so nicht sehen, und daher kann ich nicht feststellen, ob es falsch oder richtig ist.
Hast Du das, was Du errechnet hast, denn mal an [mm] s_4 [/mm] und [mm] s_5 [/mm] getestet? Stimmt es überein?
Nochmal, weil ich unbedingt vermeiden möchte, daß wir über verschiedene Dinge reden:
wir reden über die Folge [mm] s_n=\summe_{i=1}^{n}\bruch{a_i}{n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kreide |
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> Bei [mm]s_1[/mm] hatte ich das Minuszeichen im Ergebnis vergessen,
> ansonsten sehe ich keinen Fehler,
und die -1 muss dann ja auch in [mm] S_2.... [/mm] zu einer 1 umgewandet werden.... sonst hab ich auch keinen fehler entdecken können
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kreide |
ja ich rede auch über die 2. folge, die n im bruch hat^^
> [mm]s_1=\bruch{1}{1}a_1= 1-1-\bruch{1}{1})=1[/mm]
[mm] S_2=\bruch{1}{2}(a_1+a_2)= \bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{2}))=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] S_3=\bruch{1}{3}(-1+1+\bruch{1}{2} +1-\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}(\bruch{1}{3})(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3})
[/mm]
[mm] S_4= \bruch{1}{4}(-1+1+\bruch{1}{2} +1-\bruch{1}{3}+1+(1+\bruch{1}{4})) =\bruch{1}{4}(\bruch{2}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+2)
[/mm]
[mm] S_5=\bruch{1}{5}(\bruch{4}{2}+\bruch{2}{3}+\bruch{1}{4}+2)
[/mm]
ehrlich gesagt sieht das für mich nicht gerade übersichtlich aus, deshlab hab ich gleich einfach n=2k und n=2k+1 betrachtet
[mm] S_2k=\bruch{1+(1+\bruch{1}{2k})}{2k}= \bruch{\bruch{2k+2k+1}{2k}}{2k}=\bruch{4k+1}{2k}*\bruch{1}{2k}=\bruch{4k+1}{4k^2}
[/mm]
[mm] S_2k+1=\bruch{1-(1+\bruch{1}{2k+1})}{2k+1}= \bruch{\bruch{2k+1-2k-2}{2k+1}}{2k+1}=\bruch{-1}{2k+1}*\bruch{1}{2k+1}=-\bruch{1}{(2k+1)^2}
[/mm]
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> ja ich rede auch über die 2. folge, die n im bruch hat^^
Gut.
> > [mm]s_1=\bruch{1}{1}a_1= 1-1-\bruch{1}{1})=1[/mm]
[mm] s_1=-1 [/mm] muß es heißen, darauf hattest Du mich doch extra hingewiesen.
>
> [mm]S_2=\bruch{1}{2}(a_1+a_2)= \bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{2}))=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}[/mm]
Was rechnest Du nur?
Es ist [mm] s_2=\bruch{1}{2}(a_1+a_2)=\bruch{1}{2}[1-(1+1)+1+(1+\bruch{1}{2})] =\bruch{1}{2}[2+(-1-1+1+\bruch{1}{2}]=1+\bruch{1}{2}[-1+\bruch{1}{2}]
[/mm]
Weiter ausrechnen sollte man es nicht, sonst sieht man nichts mehr.
Die Moral von der Geschicht: wenn Du irgendwas einsetzt statt der [mm] a_i, [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit fürs richtige Ergebnis äußerst klein.
Von daher lohnt es sich, sehr langsam und gründlich zu denken, und lieber 20 Zeilen zuviel als eine zu wenig zu schreiben.
In der Ruhe liegt die Kraft.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kreide |
> Weiter ausrechnen sollte man es nicht, sonst sieht man
> nichts mehr.
das hab ich gemerkt^^
>
> Die Moral von der Geschicht: wenn Du irgendwas einsetzt
> statt der [mm]a_i,[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit fürs richtige
> Ergebnis äußerst klein.
ich hab nicht irgendwas eingesetzt, ich hatte für [mm] a_1 [/mm] gleich -1 eingesetzt und [mm] -1+1+(1+\bruch{1}{2})=1+\bruch{1}{2} [/mm] aber wie ich sehe hätte man das anders ausrechnen sollen
hab ich aber S2k und S2k-1 richtig berechnet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kreide |
Dann sind [mm] S_4 [/mm] und [mm] S_5
[/mm]
[mm] S_4=1+(1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] S_5=1+(-2+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5})
[/mm]
stimmst?
Aber wozu soll ich das überhaupt ausrechen, es reicht doch, wenn ich S2k und S_2k+1 betrachte und davon den limes nehme, oder?
ich hab nämlich auch mal die zahlenwert von [mm] S_3 [/mm] und [mm] S_4... [/mm] berechnet.... die werden immer kleiner, nähern sich also der 0 an und das hab ich ja mit dem limes von S_2k+1 und S2k ja auch gesehen..
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> Dann sind [mm]S_4[/mm] und [mm]S_5[/mm]
>
> [mm]S_4=1+(1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4})[/mm]
Ich weiß wie gesagt nicht, was Du da rechnest.
Bei mir ist [mm] s_4=\bruch{1}{4}(a_1+a_2+a_3+a_4)=\bruch{1}{4}(1-1-1 [/mm] | [mm] +1+1+\bruch{1}{2}| +1-1-\bruch{1}{3}| +1+1+\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(4 +(-1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1}{4}(-1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}),
[/mm]
und das unterscheidet sich von Deinem Ergebnis.
>
> [mm]S_5=1+(-2+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5})[/mm]
>
> stimmst?
Nein.
>
> Aber wozu soll ich das überhaupt ausrechen, es reicht doch,
> wenn ich S2k und S_2k+1 betrachte und davon den limes
> nehme, oder?
Klar reicht das. Dazu muß man aber erstmal die richtigen Teilfolgen haben.
Wenn es er- bzw. bewiesener(!)maßen die richtigen wären, könntest die natürlich verwenden.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Do 10.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich sehe hast du für [mm] S_{2k}=a_{2k}/2k [/mm] gerechnet! wie kommst du da drauf.?
setz mal k=2 und rechne [mm] s_4 [/mm] so und direkt aus!
Gruss leduart
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