limes uneig. integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Di 02.04.2013 | | Autor: | elmanuel |
Hallo liebe gemeinde!
Habe die Funktionenfolge
[mm] fn(x)=x/(n^2 [/mm] * [mm] e^{x/n}) [/mm] auf [mm] [0,\infty)
[/mm]
habe raus fn konv. glm gegen f(x)=0
ausserdem gilt für alle n: [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] fn(x)=1
es gilt aber doch für [mm] n->\infty
[/mm]
lim( [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] fn(x) ) = 1 != 0 = [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] lim(fn(x))
wieso kann hier der limes nicht hinausgezogen werden???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe gemeinde!
>
> Habe die Funktionenfolge
> [mm]fn(x)=x/(n^2[/mm] * [mm]e^{x/n})[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm]
>
> habe raus fn konv. glm gegen f(x)=0
> ausserdem gilt für alle n: [mm]\integral_{0}^{\infty}[/mm]
> fn(x)=1
>
> es gilt aber doch für [mm]n->\infty[/mm]
>
> lim( [mm]\integral_{0}^{\infty}[/mm] fn(x) ) = 1 != 0 =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}[/mm] lim(fn(x))
>
> wieso kann hier der limes nicht hinausgezogen werden???
Den Grund hast Du doch oben genannt !
Die obige Folge [mm] (f_n) [/mm] ist ein schönes Beispiel dafür, dass die Verhältnisse beim uneigentlichen Integral eben anders sind als beim eigentlichen Integral.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Di 02.04.2013 | | Autor: | elmanuel |
ja ich habe nur ein gegenbsp. aber Warum funktioniert es nicht
der einzige untetschied ist ja das noch ein weiterer limes ins spiel kommt... Ich versteg aber nicht in welcher weise der stört...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> ja ich habe nur ein gegenbsp. aber Warum funktioniert es
> nicht
> der einzige untetschied ist ja das noch ein weiterer limes
> ins spiel kommt...
..... und der ist gewaltig ....
> Ich versteg aber nicht in welcher weise
> der stört...
das zeigt doch Dein Beispiel !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 02.04.2013 | | Autor: | elmanuel |
Danke Fred!
Sehe ich das richtig, ich hätte dann die Gleichung
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \frac{(R+n)*(-n*e^{-R/n})}{n^2}+1) [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{(R+n)*(-n*e^{-R/n})}{n^2}+1)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(0+1) [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty}(-1+1)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
1=0
und daher ist bei uneig. integralen wegen der reihenfolge des limes die folgende aussage falsch!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b} \limes_{n\rightarrow\infty}{f_n(x) dx}
[/mm]
(für [mm] f_n [/mm] glm. konv. Folge stetiger Fkt.)
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Hallo elmanuel,
Du bist hartnäckig. 
> Sehe ich das richtig, ich hätte dann die Gleichung
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} \frac{(R+n)*(-n*e^{-R/n})}{n^2}+1)[/mm]
> = [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{(R+n)*(-n*e^{-R/n})}{n^2}+1)[/mm]
Diese Gleichung ist falsch, ...
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(0+1)[/mm] = [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}(-1+1)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> 1=0
... wie Du hier ja überzeugend darlegst.
> und daher
Aus einer falschen Gleichung kann man nichts folgern.
Allerdings kannst Du Deine Rechnung anders nutzen, indem Du das Gleichheitszeichen durch ein [mm] $\not=$-Zeichen [/mm] ersetzt.
> ist bei uneig. integralen wegen der reihenfolge
> des limes die folgende aussage falsch!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b} \limes_{n\rightarrow\infty}{f_n(x) dx}[/mm]
>
> (für [mm]f_n[/mm] glm. konv. Folge stetiger Fkt.)
Diese allgemeine Aussage kannst Du aus der speziellen Rechnung oben wieder nicht herleiten. Es kann schon sein, dass es Funktionenfolgen gibt, für die die Gleichheit stimmt. Man kann nur nicht davon ausgehen, wie Dein Gegenbeispiel ja zeigt.
Im übrigen sind solche Gegenbeispiele leicht zu erzeugen. Hier geht es doch letztlich um die Frage, wie sich eine Funktion zweier Variablen (hier $n,R$) verhält, wenn beide Variablen [mm] \to\infty [/mm] laufen.
Wenn in der Funktionsdefinition nun ein Term vorkommt, der im Unendlichen nicht definiert ist, ist das Gegenbeispiel schon fast fertig.
Oben war das der Term [mm] \tfrac{R}{n}. [/mm] Man kann natürlich auch eine Funktion "stricken", in der z.B. $R-n$ vorkommt, das ist auch nicht definiert, wenn beide Variablen unendlich groß werden.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 02.04.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke reverend! da war ich wohl etwas schlampig...
wir hatten die proposition mit dem tauschen von lim & integral in der vorlesung... daher denke ich dass sie für reelle grenzen a,b und die bedingung " fn geichm. konvergente funktionenfolge " stetiger funktionen stimmen sollte
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Hallo nochmal,
> wir hatten die proposition mit dem tauschen von lim &
> integral in der vorlesung... daher denke ich dass sie für
> reelle grenzen a,b und die bedingung " fn geichm.
> konvergente funktionenfolge " stetiger funktionen stimmen
> sollte
Hm. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Di 02.04.2013 | | Autor: | elmanuel |
ja sag ich doch bei gleichm. konv gilt es! wobei in dem artikel auch vergessen wurde das es bei uneigentl. integralen selbst dann nicht funzt...
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