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Forum "Topologie und Geometrie" - liminf und limsup
liminf und limsup < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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liminf und limsup: Oh, diese Geometrie
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Di 12.04.2011
Autor: schachuzipus

Aufgabe
Gegeben [mm]A_n=B_1\left(\left(\frac{1}{n}(-1)^n,0\right)\right)[/mm]

Gesucht sind [mm]\liminf\limits_{n\to\infty}A_n[/mm] und [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}A_n[/mm]


Hallo zusammen,

mir ist klar, dass [mm]A_n[/mm] eine Folge von Einheitskreisscheiben mit alternierenden Mittelpunkten [mm]M_1=(-1,0), M_2=(1/2,0), M_3=(-1/3,0)[/mm] usw. ist.

Leider fehlt mir die Einsicht, was denn

1) [mm]\bigcup\limits_{n\in\IN}\bigcap\limits_{k\ge n}A_k[/mm] und

2) [mm]\[/mm][mm]\bigcap\limits_{n\in\IN}\bigcup\limits_{k\ge n}A_k[/mm]

denn nun ist ...

Kann mir bitte jemand helfen, Einsicht zu erlangen?


Merci d'avance

schachuzipus


        
Bezug
liminf und limsup: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Di 12.04.2011
Autor: Gonozal_IX

Hallo schachuzipus,

ich würde behaupten:

[mm] $\limsup_{n\to\infty} A_n [/mm] = [mm] B_1((0,0))\setminus\{(0,-1),(0,1)\}$ [/mm]

Denn:

$ [mm] \bigcup\limits_{k\ge n}A_k [/mm] = [mm] \left(\left[\bruch{(-1)^k}{k}, \bruch{(-1)^{k+1}}{k+1}\right] \times [-1,1]\right)\setminus\{(0,-1),(0,1)\}$ [/mm]

Anschaulich sind ja auf jedenfall die beiden Kreise [mm] $A_k=B_1\left(\left(\frac{1}{k}(-1)^k,0\right)\right) [/mm] $  und [mm] $A_{k+1}=B_1\left(\left(\frac{1}{k+1}(-1)^{k+1},0\right)\right) [/mm] $ enthalten + alles, was dazwischen liegt.
Einzig die beiden Punkte (0,-1) und (0,1) werden nie erreicht, da diese nur vom Einheitskreis um (0,0) berührt werden würden, der aber nicht dazugehört.

Alle anderen Punkte erreicht man jedoch schon.
Heisst: Als [mm] \limsup [/mm] (und ich würde sagen auch als [mm] \liminf) [/mm] erhält man also die Einheitskreisscheibe ohne ihre beiden Pole.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
liminf und limsup: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Di 12.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Gono,

vielen Dank für deine Hinweise!


Klingt plausibel!


Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
liminf und limsup: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Di 12.04.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu schachuzipus,

da fällt mir doch glatt folgendes auf:

Der [mm] \limsup [/mm] enthält den Rand der Einheitskreisscheibe ausser (0,1) und (0,-1) (warum, hatten wir ja schon geklärt).

Der [mm] \liminf [/mm] ist die Einheitskreisscheibe OHNE Rand.
Ist dir klar, warum?

MFG,
Gono.

Bezug
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