lin.Abb. des R^n sind stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beh.: Jede lineare Funktion T: [mm] \IR^{n} \rightarrow [/mm] F des [mm] \IR^{n} [/mm] in einen normierten Raum F ist stetig. |
Hallo.
Als Tipp habe ich noch gegeben, dass je zwei Normen des [mm] \IR^{n} [/mm] äquivalent sind.
Wahrscheinlich ist es am einfachsten zu prüfen, dass T beschränkt ist.
Also versuche ich mal zz [mm] ||T(x)||_{F} \le [/mm] C||x|| für ein C [mm] \ge [/mm] 0
und es gilt ja [mm] ||T(x)||_{F} \le ||T||_{F} ||x||_{F}
[/mm]
Mehr fällt mir nicht ein.
Den Tipp kann ich auch noch nicht unterbringen (müsste den Fall doch aber auf einen einzige Norm z.b. die Euklidische Norm einschränken oder?)
andererseits kann ich auch prüfen ob T stetig in 0 ist.
dann komme ich auf sowas:
Gelte ||x-0|| [mm] \le \delta [/mm] dann ist zz. [mm] ||T(x)||_{F} \le \epsilon [/mm]
hierzu muss ich ja nun irgendwie ||x|| mit [mm] ||x||_{F} [/mm] vergleichen können, da fehlt mir aber die Idee.
Hat jemand einen Tipp?
Wo sollte ich drauf rumdenken?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Di 29.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Beh.: Jede lineare Funktion T: [mm]\IR^{n} \rightarrow[/mm] F des
> [mm]\IR^{n}[/mm] in einen normierten Raum F ist stetig.
> Hallo.
>
> Als Tipp habe ich noch gegeben, dass je zwei Normen des
> [mm]\IR^{n}[/mm] äquivalent sind.
>
> Wahrscheinlich ist es am einfachsten zu prüfen, dass T
> beschränkt ist.
>
> Also versuche ich mal zz [mm]||T(x)||_{F} \le[/mm] C||x|| für ein C
> [mm]\ge[/mm] 0
>
> und es gilt ja [mm]||T(x)||_{F} \le ||T||_{F} ||x||_{F}[/mm]
>
>
> Mehr fällt mir nicht ein.
> Den Tipp kann ich auch noch nicht unterbringen (müsste den
> Fall doch aber auf einen einzige Norm z.b. die Euklidische
> Norm einschränken oder?)
>
> andererseits kann ich auch prüfen ob T stetig in 0 ist.
> dann komme ich auf sowas:
> Gelte ||x-0|| [mm]\le \delta[/mm] dann ist zz. [mm]||T(x)||_{F} \le \epsilon[/mm]
>
> hierzu muss ich ja nun irgendwie ||x|| mit [mm]||x||_{F}[/mm]
> vergleichen können, da fehlt mir aber die Idee.
>
> Hat jemand einen Tipp?
> Wo sollte ich drauf rumdenken?
Da T linear ist, muss man nur die Stetigkeit bei 0 zeigen. Wenn [mm] x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k [/mm] eine Nullfolge ist, muss daraus folgen, dass [mm] y^{(n)}:=Tx^{(n)} [/mm] auch eine ist. Jedes [mm] x^{(n)} [/mm] hat bezüglich einer Basis [mm] \{e^{(j)}:j=1,...,k\} [/mm] eine Darstellung [mm] \summe_{j=1}^kx^{(n)}_je^{(j)}. [/mm] Wenn man das und die Äquivalenz der [mm]\IR^k[/mm]-Normen explizit ausnutzt, sollte man zum Ziel gelangen.
LG
gfm
|
|
|
| |
|
> Da T linear ist, muss man nur die Stetigkeit bei 0 zeigen.
> Wenn [mm]x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k[/mm] eine Nullfolge ist, muss
> daraus folgen, dass [mm]y^{(n)}:=Tx^{(n)}[/mm] auch eine ist. Jedes
> [mm]x^{(n)}[/mm] hat bezüglich einer Basis [mm]\{e^{(j)}:j=1,...,k\}[/mm]
> eine Darstellung [mm]\summe_{j=1}^kx^{(n)}_je^{(j)}.[/mm] Wenn man
> das und die Äquivalenz der [mm]\IR^k[/mm]-Normen explizit ausnutzt,
> sollte man zum Ziel gelangen.
>
> LG
>
> gfm
>
Hallo,
erstmal vielen Dank.
Es gilt ja T(0) = 0 und ||0||=0
Ich muss nun zeigen, dass lim [mm] T((x^{(n)})=0
[/mm]
Da T linear ist kann ich [mm] T(x^{(n)}) [/mm] berechnen als [mm] T(x_{1}^{(n)}e^{(1)}) +...+T(x_{k}^{(n)}e^{(k)})
[/mm]
also muss ich zeigen lim [mm] T(x_{j}^{(n)}e^{(j)})=0
[/mm]
Ich weiss einfach nicht was ich mit dem Raum F anfangen soll. F muss ja nicht ein [mm] \IR^{m} [/mm] sein, daher weiss ich auch nicht, wie ich das mit den Normen ausnutzen soll?
Das einzige was ich sagen kann ist, dass [mm] ||x^{(n)}|| \rightarrow [/mm] 0 geht für jede Norm auf [mm] R^{k}
[/mm]
kann ich einfach sagen, dass [mm] x_{j}^{(n)} [/mm] ein Skalar aus [mm] \IR [/mm] ist und ich das somit "herausziehen" kann.
Also [mm] T(x_{j}^{(n)}e^{(j)}) [/mm] = [mm] x_{j}^{(n)}T(e^{(j)}) [/mm] und somit lim [mm] x_{j}^{(n)}T(e^{(j)})= 0*T(e^{(j)}) [/mm] = 0 ?
Das erscheint mir aber irgendwie 'merkwürdig'! ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mi 30.06.2010 | | Autor: | gfm |
> > Da T linear ist, muss man nur die Stetigkeit bei 0 zeigen.
> > Wenn [mm]x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k[/mm] eine Nullfolge ist, muss
> > daraus folgen, dass [mm]y^{(n)}:=Tx^{(n)}[/mm] auch eine ist. Jedes
> > [mm]x^{(n)}[/mm] hat bezüglich einer Basis [mm]\{e^{(j)}:j=1,...,k\}[/mm]
> > eine Darstellung [mm]\summe_{j=1}^kx^{(n)}_je^{(j)}.[/mm] Wenn man
> > das und die Äquivalenz der [mm]\IR^k[/mm]-Normen explizit ausnutzt,
> > sollte man zum Ziel gelangen.
> >
> > LG
> >
> > gfm
> >
>
> Hallo,
> erstmal vielen Dank.
>
> Es gilt ja T(0) = 0 und ||0||=0
>
> Ich muss nun zeigen, dass lim [mm]T((x^{(n)})=0[/mm]
>
> Da T linear ist kann ich [mm]T(x^{(n)})[/mm] berechnen als
> [mm]T(x_{1}^{(n)}e^{(1)}) +...+T(x_{k}^{(n)}e^{(k)})[/mm]
>
> also muss ich zeigen lim [mm]T(x_{j}^{(n)}e^{(j)})=0[/mm]
>
> Ich weiss einfach nicht was ich mit dem Raum F anfangen
> soll. F muss ja nicht ein [mm]\IR^{m}[/mm] sein, daher weiss ich
> auch nicht, wie ich das mit den Normen ausnutzen soll?
>
> Das einzige was ich sagen kann ist, dass [mm]||x^{(n)}|| \rightarrow[/mm]
> 0 geht für jede Norm auf [mm]R^{k}[/mm]
>
> kann ich einfach sagen, dass [mm]x_{j}^{(n)}[/mm] ein Skalar aus [mm]\IR[/mm]
> ist und ich das somit "herausziehen" kann.
> Also [mm]T(x_{j}^{(n)}e^{(j)})[/mm] = [mm]x_{j}^{(n)}T(e^{(j)})[/mm] und
> somit lim [mm]x_{j}^{(n)}T(e^{(j)})= 0*T(e^{(j)})[/mm] = 0 ?
> Das erscheint mir aber irgendwie 'merkwürdig'! ?
Wir haben als Voraussetzung [mm]x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k[/mm], d.h. [mm]||x^{(n)}||_{\IR^k}^{(2)}\to 0\in\IR[/mm], und wollen zeigen, dass [mm]Tx^{(n)}\in F\to 0\in F[/mm], d.h. [mm]||Tx^{(n)}||_{F}\to 0\in\IR[/mm] ([mm]||.||_{\IR^k}^{(2)}[/mm] soll die euklidische Norm im [mm]\IR^k[/mm] bezeichnen).
Nun ist
[mm]||Tx^{(n)}||_{F}=||T\summe_{i=1}^k x^{(n)}_ie^{(i)}||_{F}\le\summe_{i=1}^k|x^{(n)}_i|*||Te^{(i)}||_{F}\le ||x^{(n)}||_{\IR^k}^{(\infty)}*M[/mm]
mit [mm]M:=k*\max_{i=1,...,k}||Te^{(i)}||_{F}[/mm] ([mm]||.||_{\IR^k}^{(\infty)}[/mm] soll die Maximumnorm im [mm]\IR^k[/mm] bezeichnen).
Was meinst Du?
LG
gfm
|
|
|
| |
|
alles klar, dann war ich ja eigentlich garnichtmal auf dem falschen Weg.
Damit komme ich nun zu Recht :)
Danke!
|
|
|
|
