lin. Unabhängigk./Erzeug. sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 28.02.2006 | | Autor: | uffisch |
| Aufgabe | | Man untersuche ob die Vektoren [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] eine Basis des R3 bilden. [...] |
Zunächst einmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt meine Frage:
Mein Mathelehrer hat diese Aufgabe mit uns im Leistungskurs besprochen.
Wir haben errechnet, dass die Determinante der Linearkombinatioin der
Vektoren D=2 ist. Daher sind die Vektoren linear unabhängig. Daher seien
die Vektoren eine Basis des R3.
Laut Definition haben wir aber aufgeschrieben, dass die Vektoren a) linear
unabhängig und b) ein Erzeugendensystem bilden müssen damit sie eine Basis bilden. Die Eigenschaft b) wurde aber nicht nachgewiesen.
Daher meine Frage: Impliziert die lineare Unabhängigkeit ein
Erzeugendensystem? Bilden linear unabhängige Vektoren notwendigerweise
auch ein Erzeugendensystem? Soweit ich weiss nicht, aber ich verstehe nicht warum wir nicht nachgewiesen haben, dass es sich bei den Vektoren
um ein Erzeugendensystem handelt. Wenn ich recht habe sagt mir doch
bitte noch, WIE ich denn nachweise, dass die 3 Vektoren ein Erzeugendensystem bez. des R3 bilden.
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Di 28.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Daher meine Frage: Impliziert die lineare Unabhängigkeit
> ein
> Erzeugendensystem? Bilden linear unabhängige Vektoren
> notwendigerweise
> auch ein Erzeugendensystem?
zu beidem : Nein !
Man müsste eigentlich schon beides nachweisen, aber hier ist völlig klar, dass 3 linear unabhängige Vektoren den [mm] R^3 [/mm] aufspannen.
Weißt du schon, dass jede Basis eines Vektorraumes immer die gleiche Länge (Anzahl von Vektoren) hat? Dies nennt man die Dimension des VR.
Du kennst ja die Standardbasis des [mm] R^3 [/mm] und weißt daher, dass dieser VR die Dimension 3 hat. d.h. jede 3 linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis.
(denn wären sie kein erzeugendensystem könnte man noch einen vierten finden, der ja dann auch noch linear unabhängig ist, d.h. man hätte eine größere Basis)
manchmal definiert man Basis auch als "maximal linear unabhängig"
(und weil du weißt, dass 3 das maximum ist, wurde es hiwer schon erreicht)
> Wenn ich recht habe sagt
> mir doch
> bitte noch, WIE ich denn nachweise, dass die 3 Vektoren
> ein Erzeugendensystem bez. des R3 bilden.
Wenn du es denn wirklich zu Fuß ausrechnen willst, dann wie immer:
sei [mm] b_1 [/mm] bis [mm] b_3 [/mm] die gegebenen Vektoren , dann nimm einen beliebigen Vektor [mm] $\vektor{a\\b\\c}$ [/mm] und untersuche, ob
[mm] $x_1* b_1 +x_2* b_2 +x_3 *b_3=\vektor{a\\b\\c}$
[/mm]
lösbar für bestimmte relle Zahlen [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_3 [/mm] ist
(dann hast du einen beliebigen Vektor bzgl den gegebenen Vektoren dargestellt.)
als Gleichungssystem (zeilenweise betrachtet) würde sich ergeben:
wenn A die Matrix ist, die man erhält, wenn man [mm] b_1 [/mm] bis [mm] b_3 [/mm] als SPALTEN schreibt, dann muss [mm] $A*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{a\\b\\c}$ [/mm] eine Lösung haben..
viele Grüße
DaMenge
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