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| Aufgabe | Seien V ein Vektorraum und $ u,v,w [mm] \in [/mm] V $
Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) u,v,w sind linear unabhängig [mm] \gdw [/mm] (v+w),(u+w),(u+v) sind linear unabhängig
(b) Span(u,v,w)=V [mm] \gdw [/mm] Span(v+w,u+w,u+v)=v |
Hi,
den ersten teil meine ich gelöst zu haben zuerst die links rechts Implikation
[mm] (\Rightarrow) [/mm] :
Für $ u,v,w [mm] \in [/mm] V $ gilt mit $ a,b,c [mm] \in \IR [/mm] $
$ a*u+b*v+c*w=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=b=c=0 $
Betrachten wir nun:
$ c*(v+w)+d*(u+w)+e*(u+v)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (c+e)*v+(c+d)*w+(d+e)*u=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (c+e)=(c+d)=(d+e)=0 $ weil u,v,w linear unabhängig sind.
Die rechts-links Implikation folgt aus dem oberen, weil alle schritte extact umkehrbar sind es könnten also alle [mm] \Rightarrow [/mm] durch [mm] \gdw [/mm] ersetzt werden?!
Stimmt das so ?
Das zweite ist im Prinzip sehr ähnlich. Im Prinzip schreibe ich wieder die linearkombination der drei vektoren (v+w),(u+w),(u+v) auf multipliziere aus und fasse wieder zusammen. Alle schritte sind exakt umkehrbar, daher kann ich so direkt zeigen, dass die aussage stimmt. Richtig ?
Lg,
exe
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Hallo,
> Seien V ein Vektorraum und [mm]u,v,w \in V[/mm]
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> Beweisen Sie folgende Aussagen:
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> (a) u,v,w sind linear unabhängig [mm]\gdw[/mm] (v+w),(u+w),(u+v)
> sind linear unabhängig
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> (b) Span(u,v,w)=V [mm]\gdw[/mm] Span(v+w,u+w,u+v)=v
> Hi,
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> den ersten teil meine ich gelöst zu haben zuerst die links
> rechts Implikation
>
> [mm](\Rightarrow)[/mm] :
>
> Für [mm]u,v,w \in V[/mm] gilt mit [mm]a,b,c \in \IR[/mm]
>
> [mm]a*u+b*v+c*w=0 \Rightarrow a=b=c=0[/mm]
>
> Betrachten wir nun:
>
> [mm]c*(v+w)+d*(u+w)+e*(u+v)=0 \Rightarrow (c+e)*v+(c+d)*w+(d+e)*u=0 \Rightarrow (c+e)=(c+d)=(d+e)=0[/mm]
> weil u,v,w linear unabhängig sind.
Jetzt bist du aber noch nicht ganz fertig. Du musst ja noch zu c = d = e = 0 kommen.
Dieses Gleichungssystem ist aber schnell gelöst und führt auf das Gesuchte.
> Die rechts-links Implikation folgt aus dem oberen, weil
> alle schritte extact umkehrbar sind es könnten also alle
> [mm]\Rightarrow[/mm] durch [mm]\gdw[/mm] ersetzt werden?!
>
> Stimmt das so ?
Vom Prinzip her stimmt das. Es ist bloß so, dass es nicht "unmittelbar" so zurückgeht, die du dahingekommen bist. Weil du fängst ja mit drei beliebigen Körperelementen a,b,f an, für die
a*u+b*v+f*d = 0
ist, und nicht so:
(c+d)*u + (c+d)*w + (d+e)*u = 0.
Mit anderen Worten: Wenn du an deiner "Rückwärts-gehts-genauso" Argumentation festhalten willst, müsstest du noch konkret angeben, wie du c,d und e in Abhängigkeit von a,b,f zu wählen hast.
Vielleicht geht es doch schneller, den Weg einfach rückwärts aufzuschreiben  ?
> Das zweite ist im Prinzip sehr ähnlich. Im Prinzip
> schreibe ich wieder die linearkombination der drei vektoren
> (v+w),(u+w),(u+v) auf multipliziere aus und fasse wieder
> zusammen. Alle schritte sind exakt umkehrbar, daher kann
> ich so direkt zeigen, dass die aussage stimmt. Richtig ?
Du bist auf der sicheren Seite, wenn du beide Wege ausführst.
Gerade hier ist es doch ein bisschen heikel, wenn du das nicht exakt machst.
Für eine "Endbewertung" müsste man aber deinen Beweis sehen.
Grüße,
Stefan
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