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| Aufgabe | Gegeben sind die folgenden Aussagen zu vektoren [mm] v,w_1,...,w_k [/mm] in einem Vektorraum V. Welche Aussagen sind wahr und welche sind falsch ? Für wahre Aussagen geben Sie einen Beweis, für die falschen geben Sie ein gegenbeispiel.
(i) Sei [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] linear abhängig, dann ist $ v [mm] \in Sp(w_1,...,w_k) [/mm] $
(ii) Sei [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] linear unabhängig, dann ist $ v [mm] \notin Sp(w_1,...,w_k) [/mm] $
(iii) Sei [mm] V=Sp(w_1,...,w_k) [/mm] und $ v [mm] \in [/mm] V $ dann ist [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] linear abhängig. |
Hallo,
mein problem liegt glaube ich bei (i) . Ich glaube (i) ist falsch, weil [mm] \{w_1,...w_k\} [/mm] linear unabhängig sein müsste, damit das wahr wäre.
Mir fällt aber kein gegenbeispiel ein.
Liege ich mit meiner Einschätzung soweit richtig ?
(ii) ist wahr. keiner der vektoren kann als linearkombination der anderen geschrieben werden, daher ist auch v keine linear kombination aus den [mm] w_i's. [/mm]
(iii) Wenn v [mm] \in [/mm] V . dann kann es als linearkombination der [mm] w_i's [/mm] geschrieben werden. daher ist es in [mm] Sp(w_1,...,w_k).
[/mm]
Stimmt das soweit ?
Lg,
exe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Do 25.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu (i). Betrachte k=1 , [mm] w_1=0 [/mm] und v [mm] \ne [/mm] 0
Zu (ii). Das ist O.k.
Zu (ii) Du sollst doch entscheiden ob $ [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] $ linear abhängig ist.
Dazu hast Du noch nichts gesagt
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Do 25.02.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Danke, für deine Antwort.
Ja zu (iii) habe ich vergessen zu schreiben, dass v [mm] \in Sp(w_1,...,w_k) [/mm] impliziert, dass [mm] \{w_1,...,w_k,v\} [/mm] linear abhängig ist. denn v kann ja als linearkombination der [mm] w_i's [/mm] geschrieben werden.
lg
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Hallo nochmal,
> Zu (i). Betrachte k=1 , [mm]w_1=0[/mm] und v [mm]\ne[/mm] 0
Wäre dann aber [mm] \{w_1,v\} [/mm] nicht linear unabhängig ?
> Zu (ii). Das ist O.k.
>
> Zu (ii) Du sollst doch entscheiden ob [mm]\{w_1,...w_k,v\}[/mm]
> linear abhängig ist.
>
> Dazu hast Du noch nichts gesagt
>
> FRED
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 25.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
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> > Zu (i). Betrachte k=1 , [mm]w_1=0[/mm] und v [mm]\ne[/mm] 0
>
> Wäre dann aber [mm]\{w_1,v\}[/mm] nicht linear unabhängig ?
es ist [mm] $1234,56789*w_1 [/mm] +0*v = 0$
Hilft das ?
FRED
>
> > Zu (ii). Das ist O.k.
> >
> > Zu (ii) Du sollst doch entscheiden ob [mm]\{w_1,...w_k,v\}[/mm]
> > linear abhängig ist.
> >
> > Dazu hast Du noch nichts gesagt
> >
> > FRED
>
>
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Do 25.02.2010 | | Autor: | MontBlanc |
du hast natürlich recht.
sorry!
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