lin.dgl mit konst. koeffizient < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 04.08.2009 | | Autor: | deex |
hallo,
ich bin eben gerade noch auf ein verständnisproblem bzw ein vorstellungsproblem gestoßen.
und zwar geht es um lineare differentialgleichungen mit konstanten koeffizienten.
lineare dgl sind ja in der Form
[mm] \dot x = Ax+b[/mm] , wobei ich jetzt nur dgl der form [mm] \dot x = Ax[/mm] betrachten will.
wenn die koeffizienten konstant sind wird ja aus [mm] A(t) = A[mm]
dazu haben wir jetzt einen satz der folgendes besagt:
sei [mm]A\in K^{N \times N}[/mm], dann ist [mm]\phi(t) = e^{tA}[/mm] eine Lösungsmatrix von [mm] \dot x = Ax[/mm] zu [mm]t=0[/mm]
das was ich jetzt nicht genau weis - warum [mm]t=0[/mm] - ist das willkürlich gewählt weil damit [mm] \phi [/mm] am einfachsten wird oder hat das einen tieferen sinn?[/i]
[i]So zu meiner Frage.
das [mm]e^{tA}[/mm] eine lösung der dgl ist sehe ich ja ein
aber für [mm]t=0[/mm] erhalte ich ja eine Matrix voll 1en? und irgendwie kann ichmir nicht vorstellen das eine nxn matrix voller 1en immer lösung dieser dgl. ist.
wenn ich das an einem bsp veranschauliche (willkürlich gewählt):
[mm]\dot x = \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } x = Ax [/mm]
damit müsste ja meine lösungsmatrix jetzt einfach
[mm]\phi (t) = e^{At} = \pmat{ e^{1*t} & e^{0*t} \\ e^{1*t} & e^{1*t} }[/mm]
für t = 0
[mm]\phi (t=0) = e^{At} = \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }=(\phi_{1},\phi_{2})[/mm]
d.h. mein [mm] \phi [/mm] ist ebenfalls unabhängig von t
wenn ich mir jetzt eine phi hernehme
[mm]\phi_{1}=\vektor{1 \\ 1}[/mm] und setze das ein , sollte ja die dgl erfüllt sein
[mm]\bruch{d}{dt} \vektor{1 \\ 1} = \vektor{0 \\ 0}= \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }*\vektor{1 \\ 1} = \vektor{1 \\ 2}[/mm]
und das haut ja nun nicht hin. aber ich hab bestimmt hier bloß einen simplen und fatalen denkfehler. ich hoffe auf erleuchtung.
|
|
| |
|
Hallo deex,
> hallo,
> ich bin eben gerade noch auf ein verständnisproblem bzw
> ein vorstellungsproblem gestoßen.
> und zwar geht es um lineare differentialgleichungen mit
> konstanten koeffizienten.
>
> lineare dgl sind ja in der Form
> [mm]\dot x = Ax+b[/mm] , wobei ich jetzt nur dgl der form [mm]\dot x = Ax[/mm]
> betrachten will.
>
> wenn die koeffizienten konstant sind wird ja aus [mm]A(t) = A[mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]dazu haben wir jetzt einen satz der folgendes besagt:[/mm][/mm]
> [mm][mm] sei [mm]A\in K^{N \times N}[/mm], dann ist [mm]\phi(t) = e^{tA}[/mm] eine Lösungsmatrix von [mm]\dot x = Ax[/mm] zu [mm]t=0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]das was ich jetzt nicht genau weis - warum [mm]t=0[/mm] - ist das willkürlich gewählt weil damit [mm]\phi[/mm] am einfachsten wird oder hat das einen tieferen sinn?[/i][/mm][/mm]
Das ist so gemeint:
[mm]\phi\left(t\right)=e^{tA}[/mm] ist Lösung der DGL
[mm]\dot{\phi\right)=A*\phi[/mm]
mit [mm]\phi(0)=E[/mm]
,wobei E die Einheitsmatrix ist.
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][i]So zu meiner Frage.[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] das [mm]e^{tA}[/mm] eine lösung der dgl ist sehe ich ja ein[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] aber für [mm]t=0[/mm] erhalte ich ja eine Matrix voll 1en? und irgendwie kann ichmir nicht vorstellen das eine nxn matrix voller 1en immer lösung dieser dgl. ist.[/i][/mm][/mm]
Nein, für t=0, hast Du die Einheitsmatrix E.
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i]wenn ich das an einem bsp veranschauliche (willkürlich gewählt):[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i][mm]\dot x = \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } x = Ax[/mm][/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i]damit müsste ja meine lösungsmatrix jetzt einfach[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i][mm]\phi (t) = e^{At} = \pmat{ e^{1*t} & e^{0*t} \\ e^{1*t} & e^{1*t} }[/mm][/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] für t = 0[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [mm]\phi (t=0) = e^{At} = \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }=(\phi_{1},\phi_{2})[/mm][/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i]d.h. mein [mm]\phi[/mm] ist ebenfalls unabhängig von t[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i]wenn ich mir jetzt eine phi hernehme[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [mm]\phi_{1}=\vektor{1 \\ 1}[/mm] und setze das ein , sollte ja die dgl erfüllt sein[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i][mm]\bruch{d}{dt} \vektor{1 \\ 1} = \vektor{0 \\ 0}= \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }*\vektor{1 \\ 1} = \vektor{1 \\ 2}[/mm][/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i]und das haut ja nun nicht hin. aber ich hab bestimmt hier bloß einen simplen und fatalen denkfehler. ich hoffe auf erleuchtung.[/i][/mm][/mm]
> [mm][mm][i] [/i][/mm][/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
