lin.unabhängigkeit: sinx,cosx < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi
gegeben ist folgendes:
sin(x), cos(x) und sin(x+ [mm] \pi/3) [/mm] sind auf [0,1] definiert, stetig und damit vektoren des [mm] \IC-Vektorraumes [/mm] [0,1].
frage: sind die 3 funktionen linear unabhängig?
ich denke mal der ansatz ist folgender;
a [mm] \*sin(x) [/mm] + b [mm] \*cos(x) [/mm] + c [mm] \*sin(x+ \pi/3)=0
[/mm]
aber wie weiter?
könnte mir mal jmd einen tipp geben?
gruß
thomas
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Verwende das Additionstheorem des Sinus. Dann kannst du [mm]\sin{\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}[/mm] als Linearkombination der beiden andern schreiben.
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danke für den tipp
ich habe nun folgendes gleichungssystem
(1) a+1/2*c=0
(2) b+1/2* [mm] \wurzel[2]{3}*c=0
[/mm]
und damit lin.abhängigkeit erhalten
stimmt dies?
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Hi, Rudi,
> danke für den tipp
> ich habe nun folgendes gleichungssystem
> (1) a+1/2*c=0
> (2) b+1/2* [mm]\wurzel[2]{3}*c=0[/mm]
>
> und damit lin.abhängigkeit erhalten
> stimmt dies?
Stimmt!
Und wenn Du z.B. c=-1 setzt, kriegst Du a=0,5, [mm] b=\bruch{1}{2}\wurzel{3},
[/mm]
was - oben eingesetzt und umgeformt - ergibt:
[mm] sin(x+\bruch{\pi}{3}) [/mm] = 0,5*sin(x) + [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3}*cos(x).
[/mm]
Und das wiederum kannst Du sogar mit Hilfe eines Zeigerdiagramms zeichnerisch überprüfen!
mfG!
Zwerglein
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also könnte ich doch folgende lösung schreiben:
(a+1/2*c)*sinx + (b+1/2* [mm] \wurzel[2]{3}*c)*cosx=0
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
lin.gleichungssystem:
(1) a+1/2*c=0
(2) b+1/2* [mm] \wurzel[2]{3}=0
[/mm]
aus (1) : c = -2a
aus (2) : c = -2/3* [mm] \wurzel[2]{3}*b
[/mm]
-2a = -2/3* [mm] \wurzel[2]{3}*b
[/mm]
a = [mm] 1/3*\wurzel[2]{3}*b
[/mm]
Setze z.b. c = -1:
[mm] 1/2*sinx+1/2*\wurzel[2]{3}*cosx [/mm] = sin(x+PI/3)
[mm] \to [/mm] sin(x+PI/3) kann als linearkombination von sinx und cosx geschrieben werden
[mm] \to [/mm] die 3 funktionen sind linear abhängig
könnte mal jemand von euch bitte nachprüfen ob die lösung so stimmt?
eine frage hätte ich dann aber noch zusätzlich:
inwiefern ist es für die lösung relevant, dass die 3 funktionen vektoren des
[mm] \IR-Vektorraums [/mm] sind?
wäre für schnelle antwort sehr dankbar
grüße
thomas
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Hi, Thomas,
> also könnte ich doch folgende lösung schreiben:
> (a+1/2*c)*sinx + (b+1/2* [mm]\wurzel[2]{3}*c)*cosx=0[/mm]
>
> [mm]\to[/mm]
> lin.gleichungssystem:
> (1) a+1/2*c=0
> (2) b+1/2* [mm]\wurzel[2]{3}=0[/mm]
>
> aus (1) : c = -2a
> aus (2) : c = -2/3* [mm]\wurzel[2]{3}*b[/mm]
>
> -2a = -2/3* [mm]\wurzel[2]{3}*b[/mm]
> a = [mm]1/3*\wurzel[2]{3}*b[/mm]
>
> Setze z.b. c = -1:
> [mm]1/2*sinx+1/2*\wurzel[2]{3}*cosx[/mm] = sin(x+PI/3)
> [mm]\to[/mm] sin(x+PI/3) kann als linearkombination von sinx und
> cosx geschrieben werden
> [mm]\to[/mm] die 3 funktionen sind linear abhängig.
(Weil eine davon als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden kann!)
> könnte mal jemand von euch bitte nachprüfen ob die lösung
> so stimmt?
Ist richtig!
(Und? Hast Du's auch mit dem Zeigerdiagramm versucht?!
Geht wesentlich zügiger!)
> eine frage hätte ich dann aber noch zusätzlich:
> inwiefern ist es für die lösung relevant, dass die 3
> funktionen vektoren des
> [mm]\IR-Vektorraums[/mm] sind?
Nun: In Deinem Fall ist ja schonmal zumindest die Konstante b irrational!
D.h. über dem Körper [mm] \IQ [/mm] wäre diese Linearkombination nicht möglich!
mfG!
Zwerglein
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