lin unabhängigkeit nachweisen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Gegeben seien n+1 [mm] (n\in \mathbb{R}) [/mm] linear differenzierbare Funktionen [mm] f_0 , f_1 , ... , f_n \in Abb(\mathbb{R} , \mathbb{R}). [/mm] Zeigen Sie: [mm] \forall x \in \mathbb{R} [/mm] ist das (n+1)-Tupel
[mm] (f_{0}(x),f{}_{0}'(x),...,f_{0}^{(n)}(x)),...,(f_{n}(x),f_{n}'(x),...,f_{n}^{(n)}(x)) [/mm] von Vektoren des [mm]\mathbb{R} ^{n+1} [/mm] linear unabhängig.
(b) Wir definieren [mm] f_0 , f_1 ,..., f_n [/mm] aus [mm] Abb(\mathbb{R} , \mathbb{R}). [/mm] durch [mm] f_0 (x):=1 [/mm] und [mm] f_i (x):=x^i [/mm] für [mm] i\in {1,...,n}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] (f_0 , f_1 ,...,f_n ) [/mm] linear unabhängig ist. |
Hallo,
mir geht es eigentlich nur um Aufgabenteil (b).
Ich habe eine Rechnung aufgestellt und möchte gerne wissen, inwieweit diese vollständig ist bzw. richtig ist.
[mm]\textbf{(b) zu zeigen:} [/mm]
[mm](f_{0},f_{1},...,f_{n}) [/mm] ist linear unabhängig mit [mm] f_{0}(x):=1 [/mm] und [mm] f_{i}(x):=x^{i} für i\in\{1,...,n\} [/mm]
Beweis:
Sei [mm]\lambda_{0},\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\mathbb{R}[/mm]
Sei [mm]f_{0}(x):=1=x^{0}[/mm]
Wir erstellen ein homogenes, lineares Gleichungssystem:
[mm]\lambda_{0}f_{0}(x)+\lambda_{1}f_{1}(x)+...+\lambda_{n}f_{n}(x)=0
\Rightarrow\lambda_{0}\cdot x^{0}+\lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n}=0
\Rightarrow\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}x^{i}=\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i}=0 [/mm]
Also muss gelten: [mm]\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}=0\vee\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i}=0[/mm]
Nun gilt aber für [mm]n=0: \overset{0}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i}=x^{0}=1.[/mm]
Also kann [mm] \overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i} [/mm] nicht gleich null sein. [mm]\Rightarrow\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}=0.[/mm]
[mm]\Rightarrow(f_{0},...,f_{n})[/mm] ist linear unabhängig.
Habe ich damit alles Verlangte gezeigt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]\textbf{(b) zu zeigen:}[/mm]
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> [mm](f_{0},f_{1},...,f_{n})[/mm] ist linear unabhängig mit
> [mm]f_{0}(x):=1[/mm] und [mm]f_{i}(x):=x^{i}[/mm] für [mm]i\in\{1,...,n\}[/mm]
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]\lambda_{0},\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\mathbb{R}[/mm]
>
> Sei [mm]f_{0}(x):=1=x^{0}[/mm]
>
> Wir erstellen ein homogenes, lineares Gleichungssystem:
>
> [mm]\lambda_{0}f_{0}(x)+\lambda_{1}f_{1}(x)+...+\lambda_{n}f_{n}(x)=0
\Rightarrow\lambda_{0}\cdot x^{0}+\lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n}=0
\Rightarrow\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}x^{i}\red{=\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i}}=0[/mm]
>
Das rote ist falsch. Du kannst doch nicht einfach so noch ein Summenzeichen mehr reinmalen.
Alles weitere ist dementprechend auch falsch.
> Also muss gelten:
> [mm]\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}=0\vee\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i}=0[/mm]
>
> Nun gilt aber für [mm]n=0: \overset{0}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i}=x^{0}=1.[/mm]
>
> Also kann [mm]\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}x^{i}[/mm] nicht
> gleich null sein.
> [mm]\Rightarrow\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda_{i}=0.[/mm]
>
> [mm]\red{\Rightarrow(f_{0},...,f_{n}) \mbox{ist linear unabhängig}}[/mm].
>
Dieser Schluss ist auch falsch. Es müssen alle [mm] \lambda_i [/mm] Null sein, nicht nur ihre Summe.
Anmerkungen zu Aufgabe a):
i) Was sind linear differenzierbare Funktionen?
ii) Wie hast du das gezeigt? Es ist nämlich meiner Meinung nach falsch. Wenn nämlich die Funktionen [mm] f_i [/mm] gleich sind, dann ist das Tupel trivialerweise linear abhängig.
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