linear Unabhängig < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] a_1,...,a_n \in \IR_+ [/mm] fixierte, paarweise verschiedene positive Konstanten. Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] f_1,.....,f_n: \IR_+ [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
mit [mm] f_k(x)=ln(a_k+x) [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo,
irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.
Ich habe mal angenommen, dass die Funktionen linear abhängig sind.
dann gilt:
[mm] b_1*f_1=b_2*f_2+...+b_n*f_n [/mm] für [mm] b_1,.....,b_n \in \IR.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{b_1}{a_1+x}=\bruch{b_2}{a_2+x}+...+\bruch{b_n}{a_n+x}
[/mm]
so nun habe ich verschiedene fortsetzungen versucht,(z.B. nach [mm] b_1 [/mm] aufgelöst oder alles auf eine seite gebracht usw.) die aber alle in (zumindest für mich) sackgassen führten.
Was wäre die nächste Idee?
wäre nett wenn mir jemand einen tipp geben könnte.
Danke
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> Seien [mm]a_1,...,a_n \in \IR_+[/mm] fixierte, paarweise
> verschiedene positive Konstanten. Zeigen Sie, dass die
> Funktionen [mm]f_1,.....,f_n: \IR_+[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> mit [mm]f_k(x)=ln(a_k+x)[/mm] linear unabhängig sind.
> Hallo,
>
> irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.
>
> Ich habe mal angenommen, dass die Funktionen linear
> abhängig sind.
>
> dann gilt:
>
> [mm]b_1*f_1=b_2*f_2+...+b_n*f_n[/mm] für [mm]b_1,.....,b_n \in \IR.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{b_1}{a_1+x}=\bruch{b_2}{a_2+x}+...+\bruch{b_n}{a_n+x}[/mm]
>
> so nun habe ich verschiedene fortsetzungen versucht,(z.B.
> nach [mm]b_1[/mm] aufgelöst oder alles auf eine seite gebracht
> usw.) die aber alle in (zumindest für mich) sackgassen
> führten.
> Was wäre die nächste Idee?
Betrachte einmal das Verhalten dieser Ableitung in der
Umgebung von [mm] x_1:=-a_1 [/mm] !
(überdies wären Überlegungen betr. Definitionsbereich
angebracht)
LG Al-Chw.
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Hallo,
und vielen Dank für deine Antwort.
Mein erster Gedanke war auch das Verfahren, wie du es vorgeschlagen hast.
So kommt man sehr schnell zur Lösung.
Ja, aber dann ist mir aufgefallen, dass die Funktionen [mm] f_k [/mm] doch nur für [mm] \IR_+ [/mm] definiert sind!
und da [mm] a_1>0 \gdw -a_1<0 [/mm] sind die Funktionen [mm] f_k [/mm] in [mm] x_1= -a_1 [/mm] gar nicht definiert.
Andernfalls wäre doch auch fast nichts zu Zeigen.
da die [mm] b_1,....,b_n [/mm] nur eine vertikale Verschiebung der [mm] f_k [/mm] bewirken und damit die Gleichung trivialerweise nie erfüllt werden kann.
Denn wie können funktionen, definiert auf teilweise verschiedenen Intervallen überhaupt gleich sein?
Oder irre ich mich da jetzt vollkommen?
Gruß
übrigens: was meinst du genau mit " überlegungen bzgl. des Definitionsbereichs..."?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir uns doch der Übersicht wegen mal den Fall n=2 vor (der allg. Fall geht analog)
Wir müssen also zeigen: aus
[mm] $b_1ln(a_1+x)+b_2ln(a_2+x) [/mm] = 0$ für jedes x>0
folgt: [mm] b_1=b_2 [/mm] = 0.
Deine Idee mit der Ableitung war gut ! Es folgt:
[mm] $\bruch{b_1}{a_1+x}+\bruch{b_2}{a_2+x}=0$ [/mm] für jedes x>0
Jetzt multipliziere mit [mm] (a_1+x)(a_2+x) [/mm] durch , mache einen Koeffizienztenvergleich und beachte [mm] a_1, a_2 [/mm] > 0
FRED
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort! für den Fall n=2 hat es geklappt.
Nur ist das für den allgemeinen Fall n sehr viel komplexer, da ich nicht nur die Koeffizienten von zwei Polynomen zu vergleichen haben.
Außerdem weis ich nicht genau, wie die Polynomgleichung im Allgemeinen aussieht,d.h. [mm] (a_1-x)*.......(a_n-x)=?
[/mm]
Kann ich jedoch so argumentieren, dass je zwei [mm] f_i,f_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j linear unabhängig sind und somit alle [mm] f_k [/mm] linear unabhängig sein müssen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 28.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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