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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 So 22.06.2008 | | Autor: | mina88 |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung [mm]\Phi : \IR^3 \to \IR^3 [/mm] sei gegeben durcu
[mm]\Phi\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4\\x_5}[/mm]=[mm]\pmat{ x_1 - x_2 + x_3\\ x_2 - x_3 + x_4\\ x_3 - x_4 + x_5 }[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Weiter seien drei Vektoren [mm]a_1=\vektor{1\\ 2\\3\\-1\\0}, a_2 =\vektor{1\\ 1\\-1\\\beta\\1}, a_3=\vektor{2\\ 0\\-1\\-1\\\beta}[/mm]
aus [mm] \IR^5 [/mm] gegeben mit [mm] \beta \in \IR.
[/mm]
Bestimme alle Parameterwerte [mm] \beta, [/mm] für die die Vektoren (Restklassen) [mm] a_i [/mm] + Kern [mm] \Phi [/mm] (i-1, 2, 3) des Faktorraums [mm] \IR^5/Kern\Phi [/mm] linear abhängig sind. |
Ich komme nicht mit der Aufgabenstellung klar. Ich weiß nicht was ich machen soll bin verzweifelt....
ich weiß nicht was [mm] a_i [/mm] + Kern [mm] \Phi [/mm] (i-1, 2, 3) bedeuten soll. und auch nicht Vektoren (Restklassen) heißen soll. Bedeutet das, dass ich darauf achten soll beim rechnen das die Vektoren aus dem Restklassenkörper K4 ist?
also ich weiß nicht weiter
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> Eine lineare Abbildung [mm]\Phi : \IR^3 \to \IR^3[/mm] sei gegeben
> durcu
>
> [mm]\Phi\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4\\x_5}[/mm]=[mm]\pmat{ x_1 - x_2 + x_3\\ x_2 - x_3 + x_4\\ x_3 - x_4 + x_5 }[/mm]
>
> Weiter seien drei Vektoren [mm]a_1=\vektor{1\\ 2\\3\\-1\\0}, a_2 =\vektor{1\\ 1\\-1\\\beta\\1}, a_3=\vektor{2\\ 0\\-1\\-1\\\beta}[/mm]
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> aus [mm]\IR^5[/mm] gegeben mit [mm]\beta \in \IR.[/mm]
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> Bestimme alle Parameterwerte [mm]\beta,[/mm] für die die Vektoren
> (Restklassen) [mm]a_i[/mm] + Kern [mm]\Phi[/mm] (i-1, 2, 3) des Faktorraums
> [mm]\IR^5/Kern\Phi[/mm] linear abhängig sind.
> Ich komme nicht mit der Aufgabenstellung klar. Ich weiß
> nicht was ich machen soll bin verzweifelt....
Hallo,
Verzweiflung heb' Dir lieber für richtig Schlimmes auf.
>
> ich weiß nicht was [mm]a_i[/mm] + Kern [mm]\Phi[/mm] (i-1, 2, 3) bedeuten
> soll.
Das ist ein Druckfehler.
Gemeint ist dies:
[mm]a_i[/mm] + Kern [mm]\Phi[/mm] , (i=1, 2, 3 ).
Du sollst also nachschauen, für welche [mm] \beta [/mm] die drei Vektoren (die dem Faktorraum V / [mm] Kern\Phi [/mm] entstammen)
[mm] v_1:=[/mm] [mm]a_1i[/mm] + Kern [mm]\Phi[/mm]
[mm] v_2:=[/mm] [mm]a_2i[/mm] + Kern [mm]\Phi[/mm]
[mm] v_3:=[/mm] [mm]a_3[/mm] + Kern [mm]\Phi[/mm]
linear unabhängig sind.
Tu folgendes:
berechne zunächst Kern [mm] \Phi.
[/mm]
Danach dann schau, für welches [mm] \beta [/mm] aus
[mm] kv_1+lv_2+mv_3=0_{V / Kern\Phi }
[/mm]
folgt, daß k=l=m=0.
Zunächst mußt Du hierfür herausfinden, was die Null in V / Kern [mm] \Phi [/mm] ist.
Am besten, Du fängst jetzt einfach mal an, später kann man ja weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 22.06.2008 | | Autor: | mina88 |
also ich habe jetzt den Kern von [mm] \Phi [/mm] berechnet:
Dafütr habe ich :
[mm]\pmat{ x_1 - x_2 + x_3\\ x_2 - x_3 + x_4\\ x_3 - x_4 + x_5 }[/mm]
>
gleich null gesezt und das LGS aufgelöst.
[mm] \Rightarrow Kern\Phi:=[/mm] [mm]\vektor{-x_4 \\-x_5\\x_4-x_5\\x_4\\x_5}[/mm]
Ist das richtig soweit?
Dann habe ich wie du gesagt hast die drei Vektoren gebildet:
[mm] v_1=a_1+Kern\Phi=[/mm] [mm]\vektor{1-x_4 \\2-x_5\\3+x_4-x_5\\-1+x_4\\x_5}[/mm]
[mm] v_2=a_2+Kern\Phi=[/mm] [mm]\vektor{1-x_4 \\1-x_5\\-1+x_4-x_5\\\beta+x_4\\1+x_5}[/mm]
[mm] v_3=a_3+Kern\Phi=[/mm] [mm]\vektor{2-x_4 \\-x_5\\-1+x_4-x_5\\-1+x_4\\\betax_5}[/mm]
Jeztzt weiß ich nicht genau wie ich vorgehen soll, um das Nullelement aus dem Faktorraum [mm] \IR\Kern\Phi [/mm] zu bestimmen.
Und was heißt "Restklasse" in dieser Augabenstellung
Bestimme alle Parameterwerte ß, für die die Vektoren (Restklassen) [mm] a_i+Kern\Phi [/mm] des Faktorraums linear abhängig sind!
Was soll dieser Begriff hier heißen Restklassen sind die aus einem Restklassenkörper diese Vektoren also hier wäre das der Körper der Restklasse 4????
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Hallo,
den Kern hast Du richtig berechnet, am besten Du bestimmst mal eine Basis und schreibst ihn als Span der Basisvektoren. Das ist dann handlicher.
Ich bin im Moment ziemlich in Eile.
Du mußt Dich wegen des Faktorraumes, der manchmal auch Quotientenraum heißt, schlau machen.
Das Notwendige steht ![[]](/images/popup.gif) hier, mehr als den Abschnitt "Definition" brauchst Du erstmal nicht.
Wenn Du die Basics hast und ich mehr Zeit, sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich gehe davon aus, daß Du den wikipedia-link inzwischen studiert hast.
Du sollst jetzt also den Faktorraum von [mm] \IR^5 [/mm] nach [mm] kern\Phi [/mm] betrachten.
Die Elemente dieses Raumes sind Mengen der Gestalt [mm] v+kern\Phi, [/mm] wobei [mm] v\in \IR^5.
[/mm]
Also ist [mm] \IR^5 [/mm] / [mm] kern\Phi =\{v+kern\Phi | v\in \IR^5 \}.
[/mm]
Zusammen mit den Verknüpfungen [mm] \IR^5 [/mm] / [mm] kern\Phi =\{v+kern\Phi | v\in \IR^5 \}
[/mm]
[mm] (v_1+Kern\Phi)+(v_1+Kern\Phi)=(v_1+v_2)+Kern\Phi
[/mm]
und [mm] \lambda(v+Kern\Phi)= \lambda v+Kern\Phi
[/mm]
ist [mm] \IR^5 [/mm] / [mm] kern\Phi [/mm] = [mm] \{v+kern\Phi | v\in \IR^5 \} [/mm] ein Vektorraum über [mm] \IR.
[/mm]
Und Vektoren diese Raumes sollst Du in Deiner Aufgabe auf Unabhängigkeit überprüfen.
Zunächst aber solltest Du dafür herausfinden, welches Element das neutrale bzgl. + in diesem Raum ist.
Das, was in Deiner Aufgabe als Restklassen benannt wurde, hätte man vielleicht verwirrungsärmer als Äquivalenzklassen bezeichnen sollen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mo 23.06.2008 | | Autor: | mina88 |
ok erstmal danke für deine Bemühungen!
ich werde versuchen das neutrale element zu finden, und dann nochmal meine Lösungen hier reinstellen.
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