linear abhängige Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Zwei Vektoren [mm] v, w \in\ V \sub [/mm] heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung s * v + t * w = 0 , [mm] s, t \in\IK\sub[/mm] nur die Lösung (s, t) = (0, 0) besitzt. Sonst heißen v und w linear abhängig.
Zeige: v und w linear abhängig <=> v = 0 oder es existiert ein [mm] r\in\ K\sub [/mm] mit w = r * v . |
Hallo Leute
Es ist klar, dass Vektoren linear unabhängig sind,wenn ihr Skalarprodukt addiert 0 ist. Aber wie soll ich denn zeigen, dass sie lin. abhängig sind (ungleich 0) , wenn auch Vektor v = 0 ist ? Und was bedeutet " oder es existiert ein [mm] r\in\ K\sub [/mm] mit w = r * v ?"
Habe immer Probleme mit solchen Formvorschriften..
Bitte um einen Denkanstoß oder Ansatz, da ich montag Klausur schreibe und einfach zu wenig Zeit habe ;-( danke
lg dorix
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> Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Zwei Vektoren [mm]v, w \in\ V \sub[/mm]
> heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung s * v + t * w
> = 0 , [mm]s, t \in\IK\sub[/mm] nur die Lösung (s, t) = (0, 0)
> besitzt. Sonst heißen v und w linear abhängig.
> Zeige: v und w linear abhängig v = 0 oder es existiert
> ein [mm]r\in\ K\sub[/mm] mit w = r * v .
Hallo,
Voraussetzung ist ja, daß v und w linearabhängig sind, daß also für die besagte Gleichung eine von Null verschiedene Lösung existiert.
Wie kann die aussehen? Entweder sind s,t beide ungleich Null oder eins ist Null und eins nicht.
Das mußt Du ausschlachten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dorix |
Aber ich weiß nicht, wie ich das genau zeigen soll...
hab gerade noch den Äquivalenzpfeil eingefügt, den ich vergessen hatte.
Muss es ja dann für beide Richtungen beweisen, aber wie?
Kannst du mir weiterhelfen?
lg dorix
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> Aber ich weiß nicht, wie ich das genau zeigen soll...
> hab gerade noch den Äquivalenzpfeil eingefügt, den ich
> vergessen hatte.
> Muss es ja dann für beide Richtungen beweisen, aber wie?
> Kannst du mir weiterhelfen?
Die Rückrichtung ist ja wirklich kaum der Rede wert...
Ich habe Dir doch gesagt, was Du tun mußt, fang doch mal an!
Also: sei rv+sw= 0 und r,s [mm] \not=0 [/mm] ==>...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dorix |
leicht gesagt, wenn man nicht weiß wie...
wenn v und w ungleich 0 sein sollen, s und t auch ungleich 0, muss w ungleich 0 sein, damit für v= 0 beide linear abhängig sind...richtig?
wie wird das denn formal geschrieben?
gruß dorix
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> leicht gesagt, wenn man nicht weiß wie...
> wenn v und w ungleich 0 sein sollen, s und t auch ungleich
> 0,
Hallo,
ich hatte Dir doch den Anfang aufgeschrieben.
> wenn v und w ungleich 0 sein sollen
hat doch in der Hin-Richtung überhaupt nichts zu suchen.
Es geht darum, folgendes zu zeigen: wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind, so ist einer von Ihnen =0 oder einer ist das Vielfache des anderen.
Seinen also v,w linear abhängig.
==> es gibt s,t mit sv+tw=0 und [mm] (s,t)\not=(0,0)
[/mm]
Ich hatte Dir gesagt, daß Du nun unterscheiden sollst, ob s,t beide [mm] \not=0 [/mm] sind oder nur eins von beiden.
1. Fall: [mm] s,t\not=0.
[/mm]
Nun überleg Dir, wie hieraus folgt, daß der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
Anschließend bearbeite s=0 [mm] t\not=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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