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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Do 16.01.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Für welche [mm] $t\in\mathbb{R}$ [/mm] sind die Folgenden Vektoren in [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] linear unabhängig:
(1, 3, 4), (3, t, 11), (-1, -4, 0) |
Hi,
wenn ich diese Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuche reicht es dann eine Kombination durchzugehen, oder muss ich alle drei nachrechnen.
Ich habe es für alle 3 Kombinationen gemacht und bin jedesmal auf t=37/4 gekommen, weshalb ich mich gefragt habe, ob das überhaupt notwendig war, oder eine Kombination gereicht hätte.
Eigentlich sollte eine Kombination reichen, denn im Grunde ändert das Vertauschen der Vektoren nichts am Gleichungssystem.
Ist das richtig?
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Hallo,
> Für welche [mm]t\in\mathbb{R}[/mm] sind die Folgenden Vektoren in
> [mm]\mathbb{R}^3[/mm] linear unabhängig:
>
> (1, 3, 4), (3, t, 11), (-1, -4, 0)
>
> Hi,
>
> wenn ich diese Vektoren auf lineare Unabhängigkeit
> untersuche reicht es dann eine Kombination durchzugehen,
> oder muss ich alle drei nachrechnen.
Was meinst du damit genau?
>
> Ich habe es für alle 3 Kombinationen gemacht und bin
> jedesmal auf t=37/4 gekommen, weshalb ich mich gefragt
> habe, ob das überhaupt notwendig war, oder eine
> Kombination gereicht hätte.
Rechne mal vor, was du gemacht hast ...
Du kannst ansetzen mit der Darstellung des Nullvektors als LK der drei gegebenen Vektoren, also
[mm] $\vektor{0\\0\\0}=\lambda\cdot{}\vektor{1\\3\\4}+\mu\cdot{}\vektor{3\\t\\1}+\nu\cdot{}\vektor{-1\\-4\\0}$
[/mm]
Das liefert dir ein LGS mit drei Gleichungen, dessen Lösung du in Abh. von t bestimmen sollst.
Interessiert bist du an denjenigen [mm] $t\in\IR$, [/mm] für die das LGS nur die triviale Lösung [mm] $\lambda=\mu=\nu=0$ [/mm] hat.
Alternativ kannst du die Vektoren als Spalten in eine Matrix schreiben und selbige in Zeilenstufenform bringen.
>
> Eigentlich sollte eine Kombination reichen, denn im Grunde
> ändert das Vertauschen der Vektoren nichts am
> Gleichungssystem.
> Ist das richtig?
Kein Ahnung, was du meinst ...
Präsentiere etwas von deiner Rechnung, damit man verstehen kann, wovon du da quasselst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 16.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe folgende drei Gleichungssysteme gelöst:
x(1,3,4)+y(3,t,11)=(-1,-4,0)
x(1,3,4)+y(-1,4,0)=(3,t,11)
x(-1,4,0)+y(3,t,11)=(1,3,4)
Und für jedes den Wert t=37/4 erhalten, aber ich denke, dass einmal gereicht hätte.
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Hallo nochmal,
> Ich habe folgende drei Gleichungssysteme gelöst:
Achso
>
> x(1,3,4)+y(3,t,11)=(-1,-4,0)
>
> x(1,3,4)+y(-1,4,0)=(3,t,11)
>
> x(-1,4,0)+y(3,t,11)=(1,3,4)
>
> Und für jedes den Wert t=37/4 erhalten,
Was bedeutet das denn?
Dass du für t=37/4 je einen Vektor aus den anderen beiden linear kombinieren kannst.
Sind die Vektoren dann linear unabhängig oder linear abhängig?
> aber ich denke,
> dass einmal gereicht hätte.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 16.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Den dritten Vektor kann ich jeweils durch die beiden anderen darstellen, also kann ich auch auf ihn verzichten.
Das heißt für alle [mm] $t\neq \frac{37}{4}$ [/mm] sind sie linear unabhängig.
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Hallo nochmal,
> Den dritten Vektor kann ich jeweils durch die beiden
> anderen darstellen, also kann ich auch auf ihn verzichten.
>
> Das heißt für alle [mm]t\neq \frac{37}{4}[/mm] sind sie linear
> unabhängig.
Hmm, erstmal sind sie für $t=37/4$ linear abhängig.
Wenn es kein weiteres [mm] $t\in\IR$ [/mm] gibt, so dass die drei Vektoren l.a. sind, hast du mit deiner Aussage recht, dass sie für [mm] $t\neq [/mm] 37/4$ l.u. sind ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 16.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Bleibt noch die ursprüngliche Frage, ob es gereicht hätte eines dieser Gleichungssysteme zu lösen, oder alternativ deine Variante zu wählen und das homogene LGS zu lösen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 16.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bleibt noch die ursprüngliche Frage, ob es gereicht hätte
> eines dieser Gleichungssysteme zu lösen, oder alternativ
> deine Variante zu wählen und das homogene LGS zu lösen.
lies' mal hier:
Die elegantere (und vor allem rechnerisch effektivere) Variante ist es, das
lineare GLS zu lösen.
Ansonsten kannst Du nicht einfach "eine der Kombinationen" auswählen
und testen, Beispiel:
Betrachte [mm] $(1,0,0),(2,0,0),(0,1,0)\,.$ [/mm] Diese Vektoren sind offenbar linear abhängig.
Allerdings kann ich
[mm] $(0,1,0)\,$
[/mm]
nicht als Linearkombination der anderen beiden schreiben.
P.S. Oft hilft auch: Sind die [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] des [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben,
so ist [mm] $\{a_1,...,a_n\}$ [/mm] genau dann linear unabhängig, wenn
[mm] $\det [/mm] A [mm] \not=0$
[/mm]
ist.
Dabei ist [mm] $A=(a_1^T,...,a_n^T)\,$ [/mm] die Matrix, die durch die [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren des [mm] $\IR^n\,$
[/mm]
in Spaltenvektorschreibweise gebildet wird. (Oben schreibe ich ja Elemente
des [mm] $\IR^n$ [/mm] in Zeilenvektorschreibweise.)
Natürlich gilt wegen [mm] $\det A=\det A^T$ [/mm] gleiches, wenn man
[mm] $A=\vektor{a_1\\.\\.\\.\\a_n}$
[/mm]
wählt.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Do 16.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Methode, lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit zu testen, ist eine ziemlich gefährliche Kiste, wenn man auf etwas verzichtet, und ziemlich umständlich, wenn man nicht verzichtet.
Es gilt der Satz : Wenn die Vektoren [mm] a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] linear abhängig sind, dann lässt sich einer von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen. Man weiß aber eben nicht, welcher. (Also nicht verzichten!)
z.B. sind die Vektoren $ [mm] a_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, a_2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 6} [/mm] $ und $ [mm] a_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ linear abhängig, aber die Gleichung $ [mm] x_1*a_1 [/mm] + [mm] x_2*a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] $ ist unlösbar, aus der Unlösbarkeit kann also nicht auf die lineare Unabhängigkeit geschlossen werden.
Besser ist also der Ansatz $ [mm] \lambda_1*a_1 [/mm] + [mm] \lambda_2*a_2 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n*a_n [/mm] = o $.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 16.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> deine Methode, lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit zu
> testen, ist eine ziemlich gefährliche Kiste, wenn man auf
> etwas verzichtet, und ziemlich umständlich, wenn man nicht
> verzichtet.
das ist auch situationsabhängig: Die Stärke dieser Methode liegt ja eigentlich
darin, dass, wenn man sieht, dass sich einer der Vektoren als
Linearkombination der anderen darstellen läßt, dass dann diese Vektoren
linear abhängig sind.
Die "Gefahr" ist halt, dass man eigentlich noch nichts weiß, wenn man nur
mal (aus "sehen" oder "nachrechnen") weiß, dass einer der Vektoren sich
nicht als Linearkombination der anderen darstellen läßt.
Gruß,
Marcel
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Hallo nochmal,
überprüfe doch zur Sicherheit nochmal deinen Wert für $t$
Ich meine, das gibt t=47/4 und nicht t=37/4 ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe folgende drei Gleichungssysteme gelöst:
>
> x(1,3,4)+y(3,t,11)=(-1,-4,0)
>
> x(1,3,4)+y(-1,4,0)=(3,t,11)
>
> x(-1,4,0)+y(3,t,11)=(1,3,4)
>
> Und für jedes den Wert t=37/4 erhalten, aber ich denke,
> dass einmal gereicht hätte.
ja, sobald Du bei dieser Vorgehensweise erkennst, dass einmal der eine
Vektor eine LK der anderen ist, kannst Du folgern, dass die Vektoren l.a.
sind.
Das Ding ist halt: Wären die Vektoren aus der Aufgabe linear UNabhängig
gewesen, so hättest Du in der Tat, bei dieser Vorgehensweise, alle drei
GLS durchrechnen müssen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 16.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche [mm]t\in\mathbb{R}[/mm] sind die Folgenden Vektoren in
> [mm]\mathbb{R}^3[/mm] linear unabhängig:
>
> (1, 3, 4), (3, t, 11), (-1, -4, 0)
ich hätte hier einfach mit
[mm] $\det \pmat{1, & 3, & 4 \\ 3, & t, & 11 \\ -1, & -4, & 0}$
[/mm]
gearbeitet!
Das Ergebnis kann man schnell
![[]](/images/popup.gif) hier (klick!)
testen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 16.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann sollte 37/4 richtig sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann sollte 37/4 richtig sein.
Das ist es.
FRED
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