linear unabhängig, Steinitz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mo 20.03.2006 | | Autor: | frau-u |
| Aufgabe | Gegeben sind:
v1 = [mm] \pmat{ 2 \\ -6 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
v2 = [mm] \pmat{ 3 \\ -1/2 \\ -1 \\ 1/2 }
[/mm]
Zeigen sie dass v1 und v2 linear unabhängig sind. |
Ich habe zu der Aufgabe eine Musterlösung, diese besagt dass man das Steinitzsche Austauschlemma anwenden soll.
Da heisst es dann:
v1 = [mm] 2e_{1} [/mm] - 6 [mm] e_{2} [/mm] - 2 [mm] e_{3} [/mm] + [mm] e_{4}
[/mm]
Nach dem Austauschlemma ist daher [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3}, v_{1} [/mm] eine Basis von [mm] \IR_{4}.
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] 3e_{1} [/mm] - 1/2 [mm] e_{2} [/mm] - [mm] e_{3} [/mm] + 1/2 [mm] e_{4}
[/mm]
= [mm] 3e_{1} [/mm] - 1/2 [mm] e_{2} [/mm] - [mm] e_{3} [/mm] + 1/2 [mm] (v_{1} [/mm] - [mm] 2e_{1} [/mm] - 6 [mm] e_{2} [/mm] - 2 [mm] e_{3})
[/mm]
= [mm] 2e_{1} [/mm] + 5/2 [mm] e_{2} [/mm] + 1/2 [mm] v_{1}
[/mm]
Danach ist [mm] v_{2}, e_{2}, e_{3}, v_{1} [/mm] eine Basis von [mm] \IR_{4} [/mm] und somit sind [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] linear unabhängig.
Ich habe mich jetzt über den Austauschsatz informiert, soweit verstehe ich auch die Rechnung.
Was ich aber nicht kapiere: wie wählt man die Vektoren aus, die man hier ein-/ersetzt?
Warum stelle ich nicht die Gleichung zu [mm] v_{1} [/mm] um und setzt sie dann beispielsweise in [mm] e_{2} [/mm] ein?
Achja: ich stelle die Frage nur hier.
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Hallo und guten Morgen,
Du wendest ja hier in der Aufgabe die folgende Version des Austauschsatzes von Steinitz an:
Wenn allgemein [mm] u_1,\ldots [/mm] , [mm] u_n [/mm] eine Basis eines (n-dimensionalen) vektorraumes ist und
[mm] v_n=\sum_{i=1}^n\lambda_iu_i [/mm] mit [mm] \lambda_n\neq [/mm] 0, dann ist auch
[mm] u_1,\ldots [/mm] , [mm] u_{n-1} [/mm] , [mm] v_n [/mm]
eine basis dieses Vektorraumes.
Diesen Satz wendest Du zweimal an:
erstens, um zu zeigen, dass [mm] e_1,e_2,e_3,v_1
[/mm]
eine Basis ist, das ist relativ willkürlich so gemacht (siehe [mm] (\star) [/mm] unten),
und zweitens, um ausgehend davon zu zeigen, dass [mm] v_2,e_2,e_3,v_1 [/mm] Basis ist.
Die Auswahl ist nur so gemacht, dass Du am Ende [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] in einer Basis hast, im allgemeinen
gibt es aber mehrere Moeglichkeiten, das zu erreichen.
[mm] (\star) [/mm] Probieren wir, von einer anderen Basis zu starten.
Es ist ja [mm] v_1= 2e_1-6e_2-2e_3+e_4
[/mm]
dann ist auch [mm] v_1,e_2,e_3,e_4 [/mm] eine Basis
und weiter [mm] v_2=3e_1-\frac{1}{2}e_2-e_3+\frac{1}{2}e_4
[/mm]
= [mm] \frac{3}{2}v_1 [/mm] + [mm] \frac{17}{2}e_2+2e_3-e_4
[/mm]
und somit ist auch
[mm] v_1,v_2,e_3,e_4 [/mm] eine Basis.
Also wie geschrieben: Die Auswahl ist jeweils im allgemeinen nicht eindeutig.
Gruss,
Mathias
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