linear unahängige Teilmenge < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] : X [mm] \to [/mm] Y eine lineare Abbildung.
(i) Ist das Bild einer linear unabhängigen Teilmenge von X stets wieder linear unabhängig?
(ii)Kann das Bild einer linear abhängigen Teilmenge von X linear unabhängig sein?
(iii) Man diskutiere (ii) für den Fall, dass [mm] \phi [/mm] injektiv ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu (i) weiss ich, dass das Bild einer linear unabhängigen Teilmenge stets linear unabhängig ist, zu (ii) und (iii) habe ich keine Idee:
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Hiho,
> Zu (i) weiss ich, dass das Bild einer linear unabhängigen
> Teilmenge stets linear unabhängig ist, zu (ii) und (iii)
> habe ich keine Idee:
aha, woher weisst du das?
Kannst du das auch beweisen?
Wenn ja, mach das doch mal.
MFG,
Gono.
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Zu (i):
Sei M linear unabhängige Teilmenge von X [mm] \to [/mm] die Bilder der Elemente sind paarweise verschieden und [mm] \phi [/mm] (M) ist linear unabhängig
Beweis:
Sei M [mm] \subset [/mm] X, M linear unabhängig; [mm] \vec r_1,...,\vec r_k \in [/mm] M. Gelte [mm] c_1 \phi(\vec r_1) [/mm] + ... [mm] +c_k \phi(\vec r_k) [/mm] = [mm] \vec0 [/mm] .
Es folgt [mm] \phi (c_1 \vec r_1 [/mm] + ... [mm] +c_k \vec r_k) [/mm] = [mm] \vec0, [/mm] also nach Voraussetzung [mm] c_1 \vec r_1 [/mm] + ... [mm] +c_k \vec r_k [/mm] = [mm] \vec0 [/mm] . Da [mm] \vec r_1, [/mm] ... [mm] ,\vec r_k [/mm] linear unabhängig sind, muss [mm] c_1 [/mm] = [mm] c_2 [/mm] = ... = [mm] c_k [/mm] = 0 sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Mach es nächstemal bitte als Frage:
> Beweis:
>
> Sei M [mm]\subset[/mm] X, M linear unabhängig; [mm]\vec r_1,...,\vec r_k \in[/mm]
> M. Gelte [mm]c_1 \phi(\vec r_1)[/mm] + ... [mm]+c_k \phi(\vec r_k)[/mm] =
> [mm]\vec0[/mm] .
> Es folgt [mm]\phi (c_1 \vec r_1[/mm] + ... [mm]+c_k \vec r_k)[/mm] = [mm]\vec0,[/mm]
ok
> also nach Voraussetzung [mm]c_1 \vec r_1[/mm] + ... [mm]+c_k \vec r_k[/mm] = [mm]\vec0[/mm] .
Der Schluß ist falsch. [mm] \phi [/mm] ist nur linear, d.h. es können durchaus mehrere Vektoren auf den Nullvektor abgebildet werden.
Trivialstes Gegenbeispiel wäre [mm] $\phi\equiv [/mm] 0$.
Verstehst du jetzt die Frage in iii) ?
MFG,
Gono.
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Also gilt mein Beweis nur, falls [mm] \phi [/mm] injektiv ist?
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Ja, nur warum solltest du dir klar machen.
Woraus besteht der Kern, falls [mm] \phi [/mm] injektiv ist?
MFG,
Gono.
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Dann besteht der Kern aus dem Nullraum.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Hallo
ich bin auf diese frage gestoßen beim lernen und hätte noch eine frage zur aufgabe (ii)
Also ich kann mir das bildlich vorstellen dass die lin. abhängigen vektoren dann auf die lin. unabh. vektoren im bildbereich abbgebildet werden und so das BIld lin unabh. ist.
Aber wie müsste man das denn beweisen?
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> Hallo
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> ich bin auf diese frage gestoßen beim lernen und hätte
> noch eine frage zur aufgabe (ii)
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> Also ich kann mir das bildlich vorstellen dass die lin.
> abhängigen vektoren dann auf die lin. unabh. vektoren im
> bildbereich abbgebildet werden und so das BIld lin unabh.
> ist.
> Aber wie müsste man das denn beweisen?
Hallo,
das zu beweisen wird nicht klappen,
denn das Bild einer Menge von linear abhängigen Vektoren ist stets linear abhängig.
Dies kannst Du wie folgt beweisen:
Seien [mm] v_1,...v_k [/mm] linear abhängig.
Dann gibt es [mm] a_i [/mm] mit (oBdA) [mm] a_1\not=0 [/mm] mit [mm] a_1v-1+...+a_kv_k=0.
[/mm]
Nun zeigst Du, daß Du eine nichttriviale Linearkombination der [mm] f(v_i) [/mm] kennst, die Null ergibt.
Gruß v. Angela
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habe das selbe problem mit der ii) komme aba leider net mehr weiter.
wie finde ich denn eine nichttriviale Linearkombination, die null ergibt? geht das überhaupt?
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Hallo zimtschnecke,
wenn du weißt, dass [mm] v_{1},...,v_{k} [/mm] linear abhängig sind, weißt du, dass es [mm] a_{i} [/mm] gibt, wobei mindestens ein [mm] a_{i} [/mm] ungleich 0 ist, mit:
[mm] $a_{1}*v_{1}+...+a_{k}*v_{k}=0$
[/mm]
(wie Angela schon gesagt hat!).
Nun kannst du einfach mal f auf die obige Gleichung anwenden, dann steht da:
[mm] $f(a_{1}*v_{1}+...+a_{k}*v_{k})=f(0)$
[/mm]
Über beide Seiten kannst du jetzt etwas aussagen. Rechts steht nämlich wieder 0, weil jede lineare Abbildung 0 wieder auf 0 abbildet (folgt direkt aus den Bedingungen für lineare Abbildungen, z.B. f(0*v) = 0*f(v)).
Die linke Seite kannst du nun noch mit Hilfe der Regeln für lineare Abbildungen umformen, sodass dann dasteht:
[mm] $a_{1}*f(v_{1}) [/mm] + ... + [mm] a_{k}*f(v_{k}) [/mm] = 0$
Was steht nun da? Wie sahen die [mm] a_{i} [/mm] aus  ?
EDIT: Dass f nicht injektiv ist und somit eventuell [mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] f(v_{2}) [/mm] ist, stellt kein Problem dar, weil dann [mm] (f(v_{1}),f(v_{2})) [/mm] ja schon linear abhängig sind!
Grüße,
Stefan
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vielen dank für die antwort jetzt verstehe ich auch worum es ging *freuz*
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:57 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Franz999 |
Hey!
Ich denke, dass in dem Beweis ein fundamentaler Fehler gemacht wurde. Erstmal ist die Aussage von Angela falsch, dass das Bild einer linear abhängigen Teilmenge automatisch linear abhängig ist. Im Beweis ist der Fehler, dass einfach angenommen wurde, f sei injektiv. Ist f nicht injektiv, so kann es sein, dass z.B. [mm] \nu_{1} [/mm] und [mm] \nu_{k} [/mm] dasselbe Bild haben. Ist nun [mm] a_{k} [/mm] = [mm] -a_{1}, [/mm] so heben sich diese beiden Summanden auf und wir hätten eine Linearkombination, bei der alle Skalare 0 sind. Daher auch der Aufgabenteil iii), dort soll dann gezeigt werden, dass die Aussage von Angela (jedoch nur unter der Voraussetzung von f injektiv) richtig ist.
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> Hallo zimtschnecke,
>
> wenn du weißt, dass [mm]v_{1},...,v_{k}[/mm] linear abhängig sind,
> weißt du, dass es [mm]a_{i}[/mm] gibt, wobei mindestens ein [mm]a_{i}[/mm]
> ungleich 0 ist, mit:
>
> [mm]a_{1}*v_{1}+...+a_{k}*v_{k}=0[/mm]
>
> (wie Angela schon gesagt hat!).
>
> Nun kannst du einfach mal f auf die obige Gleichung
> anwenden, dann steht da:
>
> [mm]f(a_{1}*v_{1}+...+a_{k}*v_{k})=f(0)[/mm]
>
> Über beide Seiten kannst du jetzt etwas aussagen. Rechts
> steht nämlich wieder 0, weil jede lineare Abbildung 0
> wieder auf 0 abbildet (folgt direkt aus den Bedingungen
> für lineare Abbildungen, z.B. f(0*v) = 0*f(v)).
> Die linke Seite kannst du nun noch mit Hilfe der Regeln
> für lineare Abbildungen umformen, sodass dann dasteht:
>
> [mm]a_{1}*f(v_{1}) + ... + a_{k}*f(v_{k}) = 0[/mm]
>
> Was steht nun da? Wie sahen die [mm]a_{i}[/mm] aus ?
>
> EDIT: Wie Franz999 geschrieben hat, kann man nun nur im
> Fall f injektiv folgern, dass auch die [mm]f(v_{i})[/mm] linear
> abhängig sind.
Hallo,
nein.
die [mm] f(v_i) [/mm] sind linear abhängig, egal, ob die Abbildung injektiv ist oder eben nicht.
Das hast Du ja selbst vorgerechnet - und ich halte diese Aussage auch für ziemlich wichtig.
Das real existierende und von mir zuvor ignorierte Problem liegt an einer anderen Stelle:
Wir betrachten das Bild der [mm] Menge,\{v_i|i\in I\}, [/mm] also die Menge [mm] \{f(v_i)|i\in I\}.
[/mm]
Und hier kann nun passieren, daß
> Wenn f nicht injektiv ist, kann es nämlich sein, dass
> [mm]f(v_{1})[/mm] = [mm]f(v_{2})[/mm] ist
Das Element [mm] f(v_1)=f(v_2) [/mm] taucht also in der Menge nur einmal auf, was dazu führen kann, daß die Vektoren der Menge Menge [mm] \{f(v_i)|i\in I\} [/mm] linear unabhängig sind, obgleich es die Vektoren [mm] f(v_i) [/mm] nicht sind.
(Aus diesem Grund wird die lineare Unabhängigkeit auch für Familien von Vektoren definiert und nicht für Mengen, denn sonst wäre z.B. die Menge [mm] \{v,v\}=\{v\} [/mm] linear unabhängig - nicht ganz im Sinne des Erfinders.)
Beispiel: seinen die [mm] e_i [/mm] die Standardbasisvektoren des [mm] \IR^3,
[/mm]
und sei f die lineare Abbildung mit
[mm] f(e_1)=e_1, f(e_2)=e_2 [/mm] , [mm] f(e_3)=e_2.
[/mm]
Natürlich sind [mm] f(e_1), f(e_2), f(e_3) [/mm] linear abhängig.
Aber es ist [mm] f(\{e_1, e_2, e_3\})=\{e_1, e_2\}, [/mm] und diese Menge besteht in der Tat aus linear unabhängigen Vektoren.
> und sich dann [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm]
> wieder zu 0 wegheben.
???
Gruß v. Angela
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Ja, Angela,
du hast doch recht. Ich habe in Mengen gedacht - ein Fehler.
Werde es nochmal korrigieren, dann reichts aber
Grüße,
Stefan
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> Ja, Angela,
> du hast doch recht. Ich habe in Mengen gedacht - ein
> Fehler.
Hallo,
naja, in Mengen zu denken, war durchaus das, was die Aufgabe verlangte, denn das Bild einer Menge ist nunmal eine Menge.
Wir müssen hier mit der Situation leben, daß für linear abhängige [mm] (v_i|i\in [/mm] I) die Familie [mm] (f(v_i)|i\in [/mm] I) natürlich linear abhängig ist, die Familie, die die Elemente von [mm] \{f(v_i)|i\in I\} [/mm] enthält, jedoch nicht.
Gruß v. Angela
> Werde es nochmal korrigieren, dann reichts aber
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich versth eine sache nicht so ganz :
ich habe ja die gleichung : [mm] a_{1}*f(v_{1}) [/mm] + ... + [mm] a_{k}*f(v_{k}) [/mm] = 0
Aber ich sehe da keinen unterschied wenn die abbildung f injektiv ist oder nicht.
???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 So 03.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Völlig unabhängig davon, ob f injektiv ist, sind [mm]f(v_1),\ldots,f(v_k)[/mm] linear abhängig, wie völlig korrekt gezeigt wurde.
Nur die MENGE [mm]\{f(v_1),\ldots f(v_k)\}[/mm] muss nicht linear abhängig sein. Dazu muss man natürlich wissen, was es bedeutet, dass eine MENGE (nicht ein System) von Vektoren linear abhängig ist. Vielleicht hattet ihr das gar nicht und es ist für dich irrelevant.
Die lineare Abhängigkeit einer Teilmenge M eines Vektorraumes V kann man z.B. definieren als die lineare Abhängigkeit des Systems [mm](v)_{v\in M}[/mm].
Wenn die Abbildung injektiv ist, sind [mm]f(v_1),\ldots f(v_k)[/mm] paarweise verschieden und und das System [mm](v)_{v\in\{f(v_1),\ldots f(v_k)\}}[/mm] besteht aus den k Vektoren [mm]f(v_1),\ldots f(v_k)[/mm], die linear abhängig sind.
Ist f nicht injektiv, besteht das System [mm](v)_{v\in\{f(v_1),\ldots f(v_k)\}[/mm] aus weniger als k Vektoren und aus der linearen Abhängigkeit von [mm]f(v_1),\ldots f(v_k)[/mm] können wir nicht auf die lineare Abhängigkeit der weniger als k Vektoren schließen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Also können wir sagen, dass das bild einer linear abhängigen teilmenge immer linear abhängig wenn f injektiv ist.
Wenn f nicht injektiv ist dann kann man nichts über die abhängigkeit sagen.
Dann ist sozusagen beides möglich (lin. abh. und lin. unabh.)?
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> Also können wir sagen, dass das bild einer linear
> abhängigen teilmenge immer linear abhängig wenn f
> injektiv ist.
Hallo,
ja, weil das Bild einer Menge eine Menge ist.
Wichtig(er) ist aber, daß Dir klar ist, daß für linear abhängige Vektoren [mm] v_1,...,v_k [/mm] die Vektoren [mm] f(v_1),...,f(v_k) [/mm] immer abhängig sind.
> Wenn f nicht injektiv ist dann kann man nichts über die
> abhängigkeit sagen.
> Dann ist sozusagen beides möglich (lin. abh. und lin.
> unabh.)?
Für das Bild der Menge: ja.
Gruß v. Angela
>
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