lineareAbbildungen(LGS) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Do 15.01.2009 | | Autor: | sassa |
| Aufgabe | Die drei Gleichungssysteme
u1 = v1 − v2 + v3 v1 = −w1 + w3 w1 = x1 − x2 − x3
u2 = 2v1 − v2 − v3 v2 = w1 + 2w2 − w3 w2 = −x1 − 2x2 + 3x3
u3 = −v1 + v2 + 2v3 v3 = w2 − 2w3 w3 = 2x1 + x3
beschreiben je eine lineare Abbildung vom [mm] \IR [/mm] ^3 in den [mm] \IR [/mm] ^3. Beschreibe die zusammengesetzte Abbildung, die x in u abbildet. |
guten Tag,
folgendes: ich weiss nicht wie ich diese aufgabe lösen sollte, da weder im skript noch im internet lösungsansätze zu finden sind, ich steh somit auffem schlauch. mir jetzt bleibt wohl nichts anderes übrig als nen mathe crack hier zu fragen wie man das löst.
danke für die bemühungen schomal vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die drei Gleichungssysteme
> u1 = v1 − v2 + v3 v1 = −w1 + w3
> w1 = x1 − x2 − x3
> u2 = 2v1 − v2 − v3 v2 = w1 + 2w2 − w3
> w2 = −x1 − 2x2 + 3x3
> u3 = −v1 + v2 + 2v3 v3 = w2 − 2w3
> w3 = 2x1 + x3
> beschreiben je eine lineare Abbildung vom [mm]\IR[/mm] ^3 in den
> [mm]\IR[/mm] ^3. Beschreibe die zusammengesetzte Abbildung, die x in
> u abbildet.
Hallo!
Du hast gewissermaßen drei lineare Abbildungen gegeben: Die erste ist
[mm] f:\IR^{3}\to\IR^{3}:\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}\mapsto\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{v_{1}-v_{2}+v_{3}\\2*v_{1}-v_{2}-v_{3}\\-v_{1}+v_{2}+2*v_{3}}
[/mm]
Die zweite
[mm] g:\IR^{3}\to\IR^{3}:\vektor{w_{1}\\w_{2}\\w_{3}}\mapsto\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{-w_{1}+w_{3}\\w_{1}+2*w_{2}-w_{3}\\w_{2}-2*w_{3}}
[/mm]
Die dritte
[mm] h:\IR^{3}\to\IR^{3}:\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}\mapsto\vektor{w_{1}\\w_{2}\\w_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}-x_{2}-x_{3}\\-x_{1}-2*x_{2}+3*x_{3}\\2*x_{1}+x_{3}}
[/mm]
Und nun bildest du praktisch die Komposition
[mm] $f\circ g\circ h$:\IR^{3}\to\IR^{3}:\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}\mapsto\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{?\\?\\?}.
[/mm]
Du suchst nun, was [mm] u_{1}, u_{2} [/mm] und [mm] u_{3} [/mm] in Abhängigkeit von den [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] ist. Gehe dazu folgendermaßen vor:
Du weißt durch h ja schon, was [mm] w_{1}, w_{2} [/mm] und [mm] w_{3} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_{1},x_{2},x_{3}. [/mm] Setze nun die Darstellung der w's durch x in die lineare Abbildung g ein!
Dann erhältst du eine Darstellung der v's durch x.
Als letztes setzt du diese in f ein und erhältst die gesuchte Darstellung von den u's durch x.
Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 15.01.2009 | | Autor: | sassa |
das bringt licht ins dunkle, ich habe zu danken
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 15.01.2009 | | Autor: | sassa |
also, nun weiss ich ja dank deiner erläuterung das h in abhängikeit von w1 w2 w3 zu x1 x2 x3 ist. nun gut, jetzt soll man also die Darstellung der w's durch x in die lineare Abildung einsetzten, leider kann ich mir darunter nichts vostellen. muss ich evtl. ein LGS zu lösen und dann x werte in die lineare abbildung einsetzen um dann die eine Darstellung der v's durch x zu erhalten ?
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Hallo!
Nein, du musst kein LGS lösen.
Die Abbildung h ordnet jedem Vektor x den Vektor w zu, wobei wir wissen dass Vektor w aus x dann so gebildet wird:
[mm] \vektor{w_{1}\\w_{2}\\w_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}-x_{2}-x_{3}\\-x_{1}-2\cdot{}x_{2}+3\cdot{}x_{3}\\2\cdot{}x_{1}+x_{3}}
[/mm]
Du musst nun diesen Vektor w in die Abbildung g einsetzen!
[mm] g:\IR^{3}\to\IR^{3}:\vektor{w_{1}\\w_{2}\\w_{3}}\mapsto\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{-w_{1}+w_{3}\\w_{1}+2\cdot{}w_{2}-w_{3}\\w_{2}-2\cdot{}w_{3}}, [/mm]
also:
[mm] g:\IR^{3}\to\IR^{3}:\vektor{w_{1}\\w_{2}\\w_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}-x_{2}-x_{3}\\-x_{1}-2\cdot{}x_{2}+3\cdot{}x_{3}\\2\cdot{}x_{1}+x_{3}}\mapsto\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{-w_{1}+w_{3}\\w_{1}+2\cdot{}w_{2}-w_{3}\\w_{2}-2\cdot{}w_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{-(x_{1}-x_{2}-x_{3})+(2\cdot{}x_{1}+x_{3})\\(x_{1}-x_{2}-x_{3})+2\cdot{}(-x_{1}-2\cdot{}x_{2}+3\cdot{}x_{3})-(2\cdot{}x_{1}+x_{3})\\(-x_{1}-2\cdot{}x_{2}+3\cdot{}x_{3})-2\cdot{}(2\cdot{}x_{1}+x_{3})}
[/mm]
Das jetzt noch Vereinfachen, und schon weißt du, was v in Abh. von x ist. Dann noch einmal das Spiel mit f und fertig 
Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 15.01.2009 | | Autor: | sassa |
das macht natürlich sinn "hust" , dann möcht ich mich nochmals bedanken für die investierte zeit
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