lineare Abb., Matrix, Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Mo 28.12.2009 | | Autor: | cubix1 |
| Aufgabe | Es sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller reellen [mm] 2\times2 [/mm] Matrizen. Ferner sei B := [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}.
[/mm]
Die lineare Abbildung f : V [mm] \to [/mm] V sei definiert durch f(A) = A [mm] \cdot [/mm] B.
(i) Geben Sie die zu f gehörige Matrix an, bezüglich der Basis
B* [mm] :=(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix})
[/mm]
(ii)Bestimmen Sie die Dimension des Kerns von f und des Bildes von f.
(iii)Berechnen Sie die Koordinate von f(B) bzgl. B*.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Um ehrlich zu sein: Ich habe keinen Plan, wie ich anfangen soll.
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> Es sei V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] aller reellen [mm]2\times2[/mm]
> Matrizen. Ferner sei B := [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Die lineare Abbildung f : V [mm]\to[/mm] V sei definiert durch f(A)
> = A [mm]\cdot[/mm] B.
>
> (i) Geben Sie die zu f gehörige Matrix an, bezüglich der
> Basis
> B* [mm]:=(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix})[/mm]
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> (ii)Bestimmen Sie die Dimension des Kerns von f und des
> Bildes von f.
>
> (iii)Berechnen Sie die Koordinate von f(B) bzgl. B*.
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Um ehrlich zu sein: Ich habe keinen Plan, wie ich anfangen
> soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schade, daß Du nicht genauer sagst, wo Dein Problem liegt.
Es ist ja ein Unterschied, ob Du keinerlei Ahnung davon hast, wie man Darstellungsmatrizen aufstellt, oder ob es Dich lediglich verwirrt, daß die Abbildung nun eine ist, die nicht wie gewohnt Spaltenvektoren auf Spaltenvektoren abbildet, sondern Matrizen auf Matrizen.
Kannst Du denn z.B. die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] als Koordinatenvektor bzgl. der Basis [mm] B^{\*} [/mm] schreiben?
Wenn ja: bedenke, daß in den Spalten der Darstellungsmatrix von f bzgl [mm] B^{\*} [/mm] die Bilder der Basisvektoren von [mm] B^{\*} [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] B^{\*} [/mm] stehen.
Zumindest die Bilder der Basisvektoren kannst Du ja schonmal berechnen.
Dann sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 30.12.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Es sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller reellen 2x2-Matrizen. Ferner sei B := [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 6 }.
[/mm]
Die lineare Abbildung f:V [mm] \rightarrow [/mm] V sei definiert durch f(A)=AB.
a) Man gebe die zu f gehörende Matrix bzgl der Basis
[mm] B':=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }) [/mm] an.
b) Man bestimme die Dimension des Kerns vonf f und des Bildes von f.
c) Man berechne die Koordinaten von f(B) bzgl. B' |
hallo an alle,
momentan hänge ich noch total bei a) fest und mir will einfach nicht so recht ein ansatz einfallen. kann mir vielleicht jemand einen kleinen anstoß geben?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mi 30.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Bezeichne die Elemente in B' mit [mm] B_1,B_2,B_3,B_4
[/mm]
Mit gewissen Zahlen [mm] a_1,a_2,a_3,a_4 [/mm] ist
[mm] f(B_1) [/mm] = [mm] a_1B_1+a_2B_2+a_3B_3+a_4B_4
[/mm]
Dann ist
[mm] a_1
[/mm]
[mm] a_2
[/mm]
[mm] a_3
[/mm]
[mm] a_4
[/mm]
die erste Spalte der gesuchten Matrix
Kommst Du nun weiter ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 30.12.2009 | | Autor: | simplify |
noch nicht ganz...
wieso lautet den die formel [mm] f(B_{1})=$ a_1B_1+a_2B_2+a_3B_3+a_4B_4 [/mm] $ ?
nach dem was für f gegeben ist wäre es doch [mm] f(B_{1})= B_{1} \pmat{ a1 & a2 \\ a3 & a4 } [/mm] und das dann auch für die anderen 3 B's, oder?
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> noch nicht ganz...
> wieso lautet den die formel [mm]f(B_{1})=[/mm]
> [mm]a_1B_1+a_2B_2+a_3B_3+a_4B_4[/mm] ?
> nach dem was für f gegeben ist wäre es doch [mm]f(B_{1})= B_{1} \pmat{ a1 & a2 \\ a3 & a4 }[/mm]
> und das dann auch für die anderen 3 B's, oder?
Hallo,
Deine Abbildung f bildet aus dem Raum der Matrizen in den Raum der Matrizen ab.
B ist eine Basis dieses Raumes.
Du sollst nun die darstellende Matrix von f bzgl. dieser Basis angeben.
In den Spalten der darstellenden Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren von B, also die Bilder der [mm] B_i, [/mm] in Koordinaten bzgl. B.
Es ist [mm] f(B_i):=B_i*B=B_i* \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} [/mm] = ...
Für [mm] f(B_1) [/mm] bekommt man [mm] f(B_1)=\pmat{1&2\\0&0}= 1*B_1+2*B_2+0*B_3+0*B_4=\vektor{1\\2\\0\\0}_{(B)}.
[/mm]
Dieser Vektor ist die erste Spalte der gesuchten Matrix, und das ist auch das, was Dir Fred erzählt hatte.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:53 Mi 30.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Darf ich meine Lösung hier reinposten? Hab die Aufgabe mal zur Übung gemacht. Damit ihr mal gucken könnt, ob ich das richtig gemacht habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Mi 30.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo johnyan,
ja, das ist ok, denke ich.
Am besten hängst Du das als neuen Unterbaum an die ursprüngliche Aufgabenstellung.
Das geht so: Du klickst auf den ersten Beitrag im Thread, dann auf den Button "reagieren", und wählst dann den Button "2": ich möchte jetzt eine weitere Frage zu obiger Frage stellen.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 30.12.2009 | | Autor: | simplify |
achso,jetzt hab ich es verstanden. meine matrix sieht ja nun so aus:
1300
2600
0013
0026
zu b) da die 1. und 2. zeile, sowie die 3. und 4. zeile linearkombinationen von einander sind würde ich sagen,dass dimkern=2 und dimbild=2 sind. stimmt das?
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> achso,jetzt hab ich es verstanden. meine matrix sieht ja
> nun so aus:
> 1300
> 2600
> 0013
> 0026
>
> zu b) da die 1. und 2. zeile, sowie die 3. und 4. zeile
> linearkombinationen von einander sind würde ich sagen,dass
> dimkern=2 und dimbild=2 sind. stimmt das?
Hallo,
ja, alles stimmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 30.12.2009 | | Autor: | johnyan |
na gut, da der thread ersteller schon seine ergebnisse gepostet hat und ich die gleichen habe, stelle ich nur noch die lösung zu c) rein.
[mm] f(B)=B*B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 14 \\ 21 & 42 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] K_B* =\begin{pmatrix} 7 \\ 14 \\ 21 \\ 42 \end{pmatrix}
[/mm]
sollte richtig sein, denke ich
btw. es soll B(stern) heißen, aber das wird in einen punkt verwandelt, wie bekommt man einen stern?
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> na gut, da der thread ersteller schon seine ergebnisse
> gepostet hat und ich die gleichen habe, stelle ich nur noch
> die lösung zu c) rein.
>
> [mm]f(B)=B*B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 14 \\ 21 & 42 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]K_B* =\begin{pmatrix} 7 \\ 14 \\ 21 \\ 42 \end{pmatrix}[/mm]
>
> sollte richtig sein, denke ich
>
Hallo,
ja, auch das ist richtig.
> btw. es soll B(stern) heißen, aber das wird in einen punkt
> verwandelt, wie bekommt man einen stern?
[mm] B^{\*} [/mm] - guck Dir im Quelltext an, wie's geht.
Gruß v. Angela
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Aber was haben denn die ausgerechneten Koordinaten mit B* zu tun? Ich denke, das muesste so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3
\\ 0 & 0 & 2 & 6 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 15 \\ 15 \\ 45}
[/mm]
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> Aber was haben denn die ausgerechneten Koordinaten mit B*
> zu tun?
Hallo,
das, was johnyan ausgerechnet hat, ist f(B) in Koordinaten bzgl. [mm] B^{\*} [/mm] - ALSO GENAU DAS gEFORDERTE.
Man kann das natürlich auch mit der Abbildungsmatrix machen, so wie Du.
Du mußt aber richtig multiplizieren! ("Zeile * Spalte"). Dann bekommst auch Du das bereits gepostete Ergebnis.
Gruß v. Angela
> Ich denke, das muesste so aussehen:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3
\\ 0 & 0 & 2 & 6 }[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 6}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 15 \\ 15 \\ 45}[/mm]
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Ach so, jetzt habe ich es verstanden! Einfach nur falsch multipliziert. -.-' Okay, jedenfalls danke für die Antwort.
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