lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 07.06.2007 | | Autor: | Millili |
| Aufgabe | Gibt es eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^4\to \IR^3 [/mm] mit f(ai)0 bi für folgende Werte?
a1 = (1,1,0,0,) a2=(1,1,1,0) a3=( 0,1,1,1) a4=( 0,0,1,1)
b1=(1,2,3) b2=( 2,3,1) b3 = ( 3,1,2) b4=(2, 0, 4) |
Kann mi rda vllt jemand einen Ansatz geben. Muss ich vllt aus a1-a4 eine Basis basteln und dann gucken ob sich die 4. Abbildung als Linearkombination darstellen lässt?? Also irgendwei weiß ich den Ansatz bei der Aufgabe nicht...und rumbasteln könnte ziemlich lange dauern....
|
|
| |
|
Hallo,
wenn ich nicht sehr schief gucke, sind doch die [mm] a_i [/mm] eine Basis.
Wenn keine weitern Anforderungen an die lineare Abbildung gestellt sind,
ergibt jede "Zuweisung" von Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] zu diesen Basisvektoren [mm] a_i [/mm] eine lineare Abbildung, mit welcher f dann eindeutig bestimmt ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 07.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ja, eine Basis bilden die ai, das stimmt...
und f(ai) ist dann ja logischerweise durch die bi auch bekannt...
Aber muss ich dann jetzt explizit eine Abbildung entwickelt, um zu zeigen, dass es eine lineare Abbildung gibt? Mein problem ist irgendwie, wie ich das ganze jetzt aufschreiben soll...
|
|
|
| |
|
> und f(ai) ist dann ja logischerweise durch die bi auch
> bekannt...
>
> Aber muss ich dann jetzt explizit eine Abbildung
> entwickelt, um zu zeigen, dass es eine lineare Abbildung
> gibt?
Nein, Du mußt da nichts mehr "entwickeln".
Sicher hattet Ihr, daß jede lineare Abbildung durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Eigentlich müßtest Du die Frage nur beantworten mit: Ja, denn die [mm] a_i [/mm] sind eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] und jede lineare Abb. ... (s.o.).
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 07.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ja, den Satz hatten wir. Allerdings unter der Voraussetzung dass die Abbildung linear ist...und in der Aufgabenstellung wurde gefragt ob es eben diese gibt mit den Werten von bi...deswegen bin ich da ein wenig irritiert...
|
|
|
| |
|
Na gut, wenn Du 100% sicher gehen willst, mach es so:
Die [mm] a_i [/mm] sind eine Basis des [mm] \IR^4
[/mm]
Sei [mm] f:\IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] def. durch
[mm] f(\summe k_ia_i):=\summe k_ib_i [/mm] für alle [mm] k_i \in \IR.
[/mm]
Diese Abbildung ist linear, und es ist [mm] f(a_i)=b_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Do 07.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ah, jetzt hat es klick gemacht;)
Danke für deine schnelle Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 07.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ich hab noch eine Frage..Wie würde ich dnen argumentieren, wenn a1 - a4 linear abhängig sind, also keine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] sind? Kann ich dann andersherum sagen, dass die Werte auf [mm] \IR^3 [/mm] nicht eindeutig festgelegt sind und es sich daher nicht um eine lineare Abbildung handelt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du nicht die Bilder von 4 lin.unabh. Vektoren kennst, ist die Abbildung nicht eindeutig beschrieben, sie kann noch linear sein ,aber nix weiss man nicht!
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 07.06.2007 | | Autor: | Millili |
Also in dem Fall wären:
a1: (0,1,1,1) a2=(1,0,1,1)a3=(1,1,0,1) und a4=(-1,1,0,0)
und b1 -b4 wie in der Aufgabenstellung in a) das wäre doch die Bilder von a1-a4 oder? Woran kann ich denn dann jetzt sehen ob es eine lineare abbildung gibt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
lineare Abb. f(r*a1+s*a2)=r*f(a1)+s*f(a2)
natürlich für alle [mm] a_i, [/mm] r,s
bei deinem Beispiel ist a4=a1-a2 aber b4 [mm] \ne [/mm] b1-b2 also sicher keine lin. Abbildung.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Millili |
Achso..also im Allgemeinen würde das heißen, welcher der Vektoren ai wie aus den anderen vektoren kombiniert wurde und dann überprüfe ich, ob das Bild des kombinierten vektors von den Bildern der Linearkombination kombiniert werden kann?? Hab ich jetzt wahrscheinlich etwas unschön ausgedrückt;)
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich glaube schon "irgendwie", daß Du es verstanden hast, aber in der Tat - so wie Du es ausdrückst, kann ich nicht "ja" dazu sagen.
Versuche, es präziser zu formulieren.
Ich bin ja keine große Freundin davon, allzuviele kryptische Zeichen zu verwenden, aber wenn Du das ganze mal mit f, [mm] \lambda_i [/mm] und [mm] a_i [/mm] aufschreiben würdest, würde das die Verständigung erleichtern.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hmm also ungefähr so?
f(a1,...,a4) ist linearare Abbildung, wenn:
aus [mm] a1=\lambda1\*a2+\lambda3\*a3+\lambda4\*a4 [/mm] folgt, dass
[mm] f(a1)=f(\lambda1\*a2)+f(\lambda3\*a3)+f(\lambda4\*a4)
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hmm also ungefähr so?
> f(a1,...,a4) ist linearare Abbildung, wenn:
>
> aus [mm]a1=\lambda1\*a2+\lambda3\*a3+\lambda4\*a4[/mm] folgt, dass
>
> [mm]f(a1)=f(\lambda1\*a2)+f(\lambda3\*a3)+f(\lambda4\*a4)[/mm]
und weiter
...= [mm]f(a_1)=\lambda1\*f(a2)+\lambda3\*f(a3)+\lambda4\*f(a4)[/mm].
Das sagt ja auch schon die Definition der linearen Abbildung, und das muß man in dem Falle, daß die [mm] a_i [/mm] nicht unabhängig voneinander sind, prüfen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
