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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 27.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Hi!
Ich soll zeigen, daß zeigen, daß die folgende Abbildung zwischen den beiden K-Vektorräumen linear ist:
[mm] \phi : \IC \to \IC, x + iy \mapsto x - iy [/mm] mit K = [mm] \IC
[/mm]
Soweit ist mir auch alles klar, habe nur die Frage, ob ich das mit der skalare Multiplikation richtig gerechnet habe:
Ich soll ja zeigen, daß: [mm] v \in \IC, a \in \IC , \phi(a * v) = a * \phi(v)[/mm]
Habe mir das nun so gedacht:
v [mm] \in \IC, [/mm] a [mm] \in \IC [/mm] , a, b, c, d [mm] \in \IR [/mm] mit [mm]a = a + i b[/mm] und [mm]v = c + i d[/mm]
also sage ich:
[mm] \phi (a * v) = \phi ((a + i b) * (c + i d)) = \phi (a + i b) * \phi (c + i d) [/mm]
[mm] = (a - i b) * (c - i d) = ac - iad - ibd + i^{2}bd = ac - bd - i (ad + bd)[/mm]
und das ist ja dasselbe, als würde ich rechnen:
[mm]\phi (a * v) = \phi ((a + i b) * (c + i d)) = \phi (ac + iad + ibc + i^{2}bd) = \phi ((ac - bd) + i (ad + bc)) = ac - bd - i (ad + bc)[/mm]
Was mich daran ein bißchen stört, ist, daß ich [mm] \phi(a) [/mm] rechne, da a doch aus dem Körper und kein Vektor ist.
Was meint ihr dazu?
Gruß
Michael
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:13 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Der Trick liegt darin, darüber hinweg zu sehen, dass dein Skalar selbst ein Vektor ist, du behandelst ihn einfach so, als seie für ihn die gegebene Abbildung nicht definiert (denn das ist im Falle [mm] $K\not= \IC$ [/mm] ja auch so, und du kannst trotzdem zeigen, dass die [mm] $f(a\cdot v)=a\cdot [/mm] f(v), [mm] a\in [/mm] K, [mm] v\in [/mm] V$ gilt). Um dich vor Irritationen zu bewahren, beschreibst du den Skalar also auch so, wie du es mit jedem anderen (nicht-komplexen) auch tuen würdest und verwendest nicht die Schreibweise mit Real- und Imaginärteil. Nun schreiten wir zur TaT:
Sei also [mm] $\lambda\in K=\IC$ [/mm] und [mm] $v\in\IC$ [/mm] mit [mm] $v=a+bi\quad a,b\in \IR$, [/mm] dann gilt:
[mm] $f(\lambda\cdot v)=f(\lambda\cdot (a+bi))=f(\lambda\cdot a+\lambda\cdot bi)=f(\lambda\cdot a)+f(\lambda\cdot [/mm] bi)$
Hier musst du nun ein wenig überlegen und darauf kommen, dass ja [mm] $\lambda\cdot [/mm] a$ auch eine komplexe Zahl ist, für die lediglich der Imaginärteil gleich Null ist. Somit gilt: [mm] $f(\lambda\cdot a)=\lambda\cdot [/mm] a$. Analog dazu ist [mm] $\lambda\cdot [/mm] bi$ auch eine komplexe Zahl, deren Realteil Null ist und somit die Konjugierung über Umkehrung des Vorzeichens erreicht wird, d.h. also, dass gilt: [mm] $f(\lambda\cdot bi)=-\lambda\cdot [/mm] bi$. Setzen wir dies nun zusammen, so erhalten wir:
[mm] $f(\lambda\cdot (a+bi))=...=\lambda\cdot a-\lambda\cdot bi=\lambda(a-bi)$, [/mm] was zu zeigen war.
Ich hoffe, ich konnte mich halbwegs sinnvoll ausdrücken und dir auch nahe legen, wie du darauf selbst hättest kommen können.
Liebe Grüße und Viel Erfolg weiterhin,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Sa 27.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Alles klar!
Danke dir!
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> Sei also [mm]\lambda\in K=\IC[/mm] und [mm]v\in\IC[/mm] mit [mm]v=a+bi\quad a,b\in \IR[/mm],
> dann gilt:
> [mm]f(\lambda\cdot v)=f(\lambda\cdot (a+bi))=f(\lambda\cdot a+\lambda\cdot bi)=f(\lambda\cdot a)+f(\lambda\cdot bi)[/mm]
>
> Hier musst du nun ein wenig überlegen und darauf kommen,
> dass ja [mm]\lambda\cdot a[/mm] auch eine komplexe Zahl ist, für die
> lediglich der Imaginärteil gleich Null ist. Somit gilt:
Das verstehe ich nicht: [mm] $\lambda\in\IC$, $a\in\IR$; [/mm] wieso ist dann [mm] $\Im(\lambda*a)=0$?
[/mm]
Wenn aber [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] (und das nehme ich an, meinst du hier), dann ist deine Argumentation ziemlich umständlich, denn es folgt doch sofort:
[mm] $f(\lambda\cdot v)=f(\lambda\cdot (a+bi))=f(\lambda\cdot a+\lambda\cdot bi)=\lambda\cdot a-\lambda\cdot bi=\lambda*(a-bi)=\lambda*f(a+bi)=\lambda*f(v)$
[/mm]
Die Aufgabe ist aber meiner Meinung nach nicht eindeutig gestellt, da nicht deutlich wird, ob die [mm] $\IR$- [/mm] oder [mm] $\IC$-Linearität [/mm] gemeint ist (ich würde sogar sagen, dass bei dieser Fragestellung nur die [mm] $\IC$-Linearität [/mm] gemeint sein kann, da die Lineararität sich doch in natürlicher Weise zunächst nur auf den zugrundeliegenden Körper des Vektorraumes bezieht).
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 So 28.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Hi!
> Die Aufgabe ist aber meiner Meinung nach nicht eindeutig
> gestellt, da nicht deutlich wird, ob die [mm]\IR[/mm]- oder
> [mm]\IC[/mm]-Linearität gemeint ist (ich würde sogar sagen, dass bei
> dieser Fragestellung nur die [mm]\IC[/mm]-Linearität gemeint sein
> kann, da die Lineararität sich doch in natürlicher Weise
> zunächst nur auf den zugrundeliegenden Körper des
> Vektorraumes bezieht).
Auf unserem Übungsblatt haben wir zwei Aufgaben dazu. Wir sollen zeigen, daß sie gegebene Abbildung einmal unter dem Körper [mm] \IR [/mm] und einmal unter dem Körper [mm] \IC [/mm] linear ist. In der von mir gestellten Frage meinte ich jedoch den [mm] \IC [/mm] Körper. Tut mir Leid, falls ich das nicht angegeben habe.
Gruß und Danke für die Antworten!
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mommermi,
wichtig hier zu realisieren ist, dass ein Körper K in naheliegender Weise als eindimensionaler Vektorraum [mm] K^1 [/mm] aufgefasst werden kann.
> Hi!
>
> Ich soll zeigen, daß zeigen, daß die folgende Abbildung
> zwischen den beiden K-Vektorräumen linear ist:
>
> [mm]\phi : \IC \to \IC, x + iy \mapsto x - iy[/mm] mit K = [mm]\IC
[/mm]
>
> Soweit ist mir auch alles klar, habe nur die Frage, ob ich
> das mit der skalare Multiplikation richtig gerechnet
> habe:
>
> Ich soll ja zeigen, daß: [mm]v \in \IC, a \in \IC , \phi(a * v) = a * \phi(v)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Habe mir das nun so gedacht:
>
> v [mm]\in \IC,[/mm] a [mm]\in \IC[/mm] , a, b, c, d [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]a = a + i [mm]b[/mm][/mm] und [mm]v = c + i d[/mm]
Hier ist die Überladung der Variable a etwas unglücklich, aber die Idee ist natürlich richtig.
> also sage ich:
> [mm]\phi (a * v) = \phi ((a + i b) * (c + i d)) = \phi (a + i b) * \phi (c + i d)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Diesen letzten Schritt verstehe ich nicht, warum darf man das so schreiben? Das sehe ich nicht.
> [mm]= (a - i b) * (c - i d) = ac - iad - ibd + i^{2}bd = ac - bd - i (ad + bd)[/mm]
> und das ist ja dasselbe, als würde ich rechnen:
> [mm]\phi (a * v) = \phi ((a + i b) * (c + i d)) = \phi (ac + iad + ibc + i^{2}bd) = \phi ((ac - bd) + i (ad + bc)) = ac - bd - i (ad + bc)[/mm]
Diese Rechnung kann man verwenden, s.u.
> Was mich daran ein bißchen stört, ist, daß ich [mm]\phi(a)[/mm] rechne, da a doch aus dem Körper und kein Vektor ist.
Da du die Variable a doppelt benutzt, schreibe ich es lieber noch mal auf:
[mm] $v\in\IC,\lambda \in \IC$, [/mm] $a, b, c, [mm] d\in \IR$ [/mm] mit [mm] $\lambda [/mm] = a + ib$ und $v = c + i d$
Nun ist zu zeigen: [mm] $\lambda*\phi(v)=\phi(\lambda*v)$
[/mm]
Du hast oben bereits berechnet:
[mm] $\phi(\lambda*v)=\ldots=ac [/mm] - bd - i (ad + bc)$
Nun berechne ich noch
[mm] $\lambda*\phi(v)=(a+ib)*\phi(c+id)=(a+ib)*(c-id)=ac-iad+ibc-i^2bd=(ac+bd)+i(bc-ad)$
[/mm]
Also ist die Abbildung nicht [mm] $\IC$-linear.
[/mm]
Wenn die Fragestellung wörtlich so ist, wie du sie wiedergegeben hast, dann ist mit "linear" wohl [mm] $\IR$-Linearität [/mm] gemeint, also mit [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] bzw. $b=0$:
[mm] $\phi(\lambda*v)=\ldots=ac [/mm] - i (ad)$
[mm] $\lambda*\phi(v)=\ldots=(ac)+i(-ad)$
[/mm]
In Worten: Die komplexe Konjugation ist [mm] $\IR$-linear [/mm] und nicht [mm] $\IC$-linear.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
