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hallo Leute
kann mir jemand erklären, was man unter Abbildungsmatrix, Kern f und Bild f versteht und am Beispiel zeigen
(Beispiel: f3: [mm] R^2 [/mm] ----> R, f3(x) := 2x1 + 8x2 )
(x1 dh x erster ,x2 dhx zweiter)
danke vorläufig
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi.
Mal ein kleiner Beitrag von mir:
also wir betrachten hier lineare Abbildungen, das sind solche, die die zwei folgenden Kriterien erfüllen:
1) f(x+y) = f(x) + f(y)
2) f(k*x) = k*f(x)
wobei x,y Vektoren aus dem VR sind und k ein skalares Element des Körpers (mit dem der VR definiert ist)
so, jetzt ist folgendes wichtig : Jede lineare Abbildung wird durch eine Abbildungsmatrix dargestellt und umgekehrt, d.h. jede Matrix entspricht einer Abbildung.
Aber was ist das nun genau?
nun ja, angenommen, du hast deine Standardbasis im R³ und eine Abbildung irgendwie definiert. Dann würde es doch ausreichen, wenn du nur die Bilder der drei Basisvektoren kennst, denn alle anderen Vektoren sind eine Linearkombi daraus, also kann man das Bild dann mit obigen zwei Regeln für lineare Abbildungen mit den Bildern der Basisvektoren bestimmen.
Jetzt wählt man die Abbildunsmatrix so, dass gilt : Ax=f(x)
hmm, jetzt musst du dich ein wenig mit Matrix-multiplikation auskennen bzw. es mal ausprobieren:
wenn man den ersten Einheitsvektor $ [mm] e_{1} [/mm] $ an die Matrix A multiplizieren, dann erhält man den ersten Spaltenvektor heraus - dies soll aber gerade $ [mm] f(e_{1}) [/mm] $ sein. D.h. die erste Spalte der Matrix ist das Bild des ersten Basisvektors !
Analoge Überlegungen macht man sich für den zweiten und dritten (und n-ten) Basisvektor, also wichtige Regel :
Die Spalten der Abbildungsbasis von f sind die Bilder der Basisvektoren unter f !
Du musst dir also bei deinem f überlegen, wie die beiden Bilder der standardbasis unter deinem f aussehen und diese in der reihenfolge als Spalten in deine Matrix schreiben.
Zum Kern und Bild:
Der Kern von f besteht aus den Vektoren, die unter f auf 0 abgebildet werden, d.h. bei deiner Abbildung musst du eine allgemeine Bedingung für deinen Vektor v=(x1;x2) finden, so dass f(v)=0
Ich nehme mal ein anderes Beispiel: $ f( [mm] \vektor{x \\ y}) [/mm] = 6x-3 $
hier ist f(v) natürlich nur Null, wenn x=2 (y beliebig) , also besteht der Kern aus den Vektoren $ [mm] \vektor{2 \\ k} [/mm] $ (wobei k beliebig ist)
anderes Beispiel: $ f( [mm] \vektor{x \\ y}) [/mm] = 15x-3y $
dann ist die gleich Null, wenn 5x=y , also : $ Kern(f) = [mm] \{ k*\vektor{1 \\ 5} \} [/mm] $
zum Bild: Das Bild von f sind all die Zahlen (oder Vektoren, wenn das Bild mehrdimensional ist) , die von f "getroffen" werden, das heißt all die Zahlen z, für die ein Vektor v gibt, so dass f(v)=z
Wieder ein selbst gewähltes Beispiel:
$ f( [mm] \vektor{x \\ y})=x^2 [/mm] -3 $
dann ist das $ [mm] Bild(f)=\{ z\in\IR_{\ge -3}\} [/mm] $
denn [mm] x^2 [/mm] ist immer postiv (und nimmt auch alle Werte über Null an)
hoffe, du kommst jetzt mit deinem Beispiel alleine klar - zur Not : nachfragen 
viele Grüße
DaMenge
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