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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo habe ein Problem mit folgender Aufgabe umzugehen bzw. weiss nicht genau wie vorgehen! Habe so eine Aufgabe noch nicht gehabt und hätte gerne mal ein Beispiel:
und zwar heißt es:
Bestimmen Sie die lineare Abbildung [mm] \alpha: \IR^{3}\to \IR^{3}: [/mm] u [mm] \mapsto [/mm] Au, welche die Vektoren
[mm] u_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] , [mm] u_{2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 1} [/mm] , [mm] u_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ -2} [/mm]
auf die Vektoren
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 0} [/mm] , [mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 4} [/mm] abbildet
Meine Frage ist nun, ich hab jetzt schin in mehreren Büchern gestöbert, aber es ist immer das gleiche, ich kann mir sowas nicht so richtig vorstellen, was ich hier machen muss bzw. was das bedeutet abbgebildet?
lg Surfer
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> Hallo habe ein Problem mit folgender Aufgabe umzugehen bzw.
> weiss nicht genau wie vorgehen! Habe so eine Aufgabe noch
> nicht gehabt und hätte gerne mal ein Beispiel:
>
> und zwar heißt es:
> Bestimmen Sie die lineare Abbildung [mm]\alpha: \IR^{3}\to \IR^{3}:[/mm]
> u [mm]\mapsto[/mm] Au, welche die Vektoren
>
> [mm]u_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] , [mm]u_{2}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> , [mm]u_{3}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>
> auf die Vektoren
>
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> , [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 4}[/mm] abbildet
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> Meine Frage ist nun, ich hab jetzt schin in mehreren
> Büchern gestöbert, aber es ist immer das gleiche, ich kann
> mir sowas nicht so richtig vorstellen, was ich hier machen
> muss bzw. was das bedeutet abbgebildet?
Hallo,
zunächst einmal solltest Du Dir klarmachen, daß die [mm] u_i [/mm] eine Basis des [mm] \IR³ [/mm] bilden, und daß somit die Abbildung f eindeutig bschrieben ist. (Schau Dich in Deinen Unterlagen um, ob Du den passenden Satz findest.)
Da f eine lineare Abbildung ist, kennst Du nun den Funktionswert eines beliebigen Vektors u aus [mm] \IR³: [/mm] Du brauchst u nur als Linearkombination der [mm] u_i [/mm] zu schreiben, wendest auf diese Linearkombination die Abbildung f an und erhältst so das Ergebnis.
Du solltest auch wissen, daß man jede lineare Abbildung durch eine Matrix darstellen kann (Stichwort Darstellungsmatrix, darstellende Matrix).
Möchtest Du nun die darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis haben, so berechne die Bilder der Standardbasisvektoren. Diese stecke als Spalten in die Matrix A.
Ob Du richtig gerechnet hast, kannst Du dann selbst prüfen: berechne [mm] Au_i. [/mm] Es muß [mm] v_i [/mm] herauskommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Also d.h ich nehme die Vektoren [mm] u_{1}, u_{2}, [/mm] und [mm] u_{3} [/mm] als eine Basis und erzeuge damit zunächst den Vektor [mm] v_{1} [/mm] dann [mm] v_{2} [/mm] und dann [mm] v_{3}.
[/mm]
Also hätte ich folgende LGS zuerst zu lösen:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
oder darf ich die Vektoren nicht als Spalten sondern als Zeilen anordnen?
Sorry, aber das mact mir echt Kopfzerbrechen hier 
lg Surfer
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> Also d.h ich nehme die Vektoren [mm]u_{1}, u_{2},[/mm] und [mm]u_{3}[/mm] als
> eine Basis und erzeuge damit zunächst den Vektor [mm]v_{1}[/mm] dann
> [mm]v_{2}[/mm] und dann [mm]v_{3}.[/mm]
>
> Also hätte ich folgende LGS zuerst zu lösen:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 }[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> oder darf ich die Vektoren nicht als Spalten sondern als
> Zeilen anordnen?
> Sorry, aber das mact mir echt Kopfzerbrechen hier
... und ich kriege einen Drehwurm: Du hast sie als Zeilen angeordnet, und Du mußt sie als Spalten in die Matrix schreiben.
Und als erstes kommt dann natürlich das Bild v. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] in die Matrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Also hätte ich als erstes LGS praktisch:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 } =\vektor{0 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
aber wieso! jetzt hätte ich doch die Vektoren wenn man sie mit x,y,z Koordinaten betrachtet so eingeordent:
[mm] \pmat{ x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z } =\vektor{x \\ x \\ x} [/mm] ?
oder, du siehst es fehlt bei mir wohl deutlich an verständnis!
lg Surfer
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> Also hätte ich als erstes LGS praktisch:
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> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 } =\vektor{0 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> aber wieso! jetzt hätte ich doch die Vektoren wenn man sie
> mit x,y,z Koordinaten betrachtet so eingeordent:
>
> [mm]\pmat{ x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z } =\vektor{x \\ x \\ x}[/mm]
> ?
>
> oder, du siehst es fehlt bei mir wohl deutlich an
> verständnis!
Hallo,
das scheint so zu sein, leider komme ich nicht dahinter, was Du Dir denkst.
Auf jeden Fall hast Du ja schon wieder die Vektoren [mm] u_i [/mm] in Zeilen gelegt und nicht in Spalten gestellt...
Um [mm] e_1 [/mm] als Linearkombination der [mm] u_i [/mm] zu schreiben mußt Du doch
[mm] a\vektor{1 \\ -1 \\ 0} +b\vektor{3 \\ -1 \\ 1} +c\vektor{-2 \\ 1 \\ -2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] lösen,
also ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:
1*a+3*b+(-2)c=1
(-1)*a+(-1)*b+1c=0
0*a+1*b+(-2)c=0
Wie Du das machst, ist egal, Hauptsache richtig.
Willst du es lösen, indem Du mit der erweiterten Koeffizientenmatrix und dem Gaußalgorithmus arbeitest, so mußt Du dies verwenden:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 &|& 1 \\-1 & -1&1 &|& 0\\ 0 & 1 & -2 &|& 0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Oh sorry stimmt, aber wieso muss ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] darstellen und nicht [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ?
lg Surfer
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> Oh sorry stimmt, aber wieso muss ich den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> darstellen und nicht [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ?
>
> lg Surfer
Hallo,
ich denke, ich hatte geschreiben, daß das Bild v. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] in die erste Spalte der zu berechnenden Darstellungsmatrix A gehört.
Für die anderen Basisvektoren mußt Du das natürlich auch noch durchziehen, denn A hat drei Spalten.
Gruß v. Angela
P.S.: Es hat mich der Adamantan freundlicherweise gerade daraufhingewiesen, daß Du die [mm] v_i [/mm] mit meinen [mm] e_i [/mm] verwechselst. Mit den [mm] e_i [/mm] meine ich die Vektoren der Standardbasis, ich habe wohl versäumt, dies ausdrücklich zu schreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Nee ich hab es so gemeint, ich hab ja jetzt die Matrix mit den Vektoren von u als Spalten eingeordnet also:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 \\-1 & -1&1 \\ 0 & 1 & -2 &} [/mm] und ich soll die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 0} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 4} [/mm] darstellen, dann kann ich doch jetzt einen nach dem anderen von der Matrix mit den u Vektoren darstellen,also im ersten Fall:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 &|&0 \\-1 & -1&1 &|& 0\\ 0 & 1 & -2 &|& 1} [/mm]
oder wieso willst du das zunächst für die standardbasisvektoren machen?
lg Surfer
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> Nee ich hab es so gemeint, ich hab ja jetzt die Matrix mit
> den Vektoren von u als Spalten eingeordnet also:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -2 &|& 1 \\-1 & -1&1 &|& 0\\ 0 & 1 & -2 &|& 0}[/mm]
> und ich soll die Vektoren [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ,
> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 0}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 4}[/mm]
> darstellen, dann kann ich doch jetzt einen nach dem anderen
> von der Matrix mit den u Vektoren darstellen,also im ersten
> Fall:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -2 &|& 1 \\-1 & -1&1 &|& 0\\ 0 & 1 & -2 &|& 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0\\ 0 \\ 1}[/mm]
> oder wieso willst du das zunächst
> für die standardbasisvektoren machen?
>
Hallo,
wenn Du die darstellende Matrix der Abbildung [mm] \alpha [/mm] suchst, welche die Abbildung [mm] \alpha [/mm] bzgl der Standardbasis beschreibt, brauchst Du das Bild der Einheitsvektoren.
Und an dieses Bild kommst Du, indem Du die Einheitsvektoren als Linearkombination der vorgegebenen Basis [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] schreibst und darauf die Abbildung anwendest.
Dank Adamantans Hinweis verstehe ich nun ansatzweise, was Du tum möchtest:
Du willst die Bilder [mm] v_i [/mm] als Linearkombination von [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] schreiben, und die entsprechenden Koordinaten als Spalten in die Matrix A stecken.
Wenn Du dies tust, bekommst Du die Matrix, welche Dir die Abbildung [mm] \alpha [/mm] bzgl. der Basis [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] beschreibt - Du mußt sie mit Koordinatenvektoren bzgl. [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] füttern und erhältst die Ergebnisse in entsprechender Darstellung. Falsch ist das nicht, man muß halt richtig damit umgehen.
Ich verstehe die Aufgabenstellung, da nicht gefordert ist "bzgl. [mm] (u_1, u_2, u_3)" [/mm] so, daß Du die darstellende Matrix der Abbildung bzgl. der Standardbasis liefern sollst, und dafür dient die von mir gelieferte Gebrausanweisung.
Gruß v. Angela
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