lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Do 27.05.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo ich soll diese Aufgabe lösen
Gegeben sind die folgenden Vektoren:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1\\2 \end{pmatrix} a_2 =\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}a_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}a_4 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}und [/mm]
[mm] b_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\-2 \end{pmatrix}b_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\-2 \end{pmatrix}b_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}b_4 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}
[/mm]
a) Setze die Zuordnung [mm] a_i [/mm] -> [mm] b_i [/mm] i = 1,....,4 zu einer linearen Abbildung [mm] f_A [/mm] : [mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] fort,bestimme die zugeordnete Matrix A
kann mir einer bitte erklären wie ich da rechne,habe in der Übung nicht durch gesehen leider
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Do 27.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
so wie ich deine Frage interpretiere, willst du nur mal wissen, wie die Aufgabe überhaupt zu verstehen ist.
Gesucht ist also die Matrix der Linearen Abbildung, deren Bild von [mm] $a_i$ [/mm] der Vektor [mm] $b_i$ [/mm] ist. ($1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 4$)
Es muss also gelten:
[mm] $A*a_1=b_1$ [/mm] ,
[mm] $A*a_2=b_2$ [/mm] ,
[mm] $A*a_3=b_3$ [/mm] und
[mm] $A*a_4=b_4$
[/mm]
Die Matrix A hat 3 Zeilen und 4 Spalten. Klar?
Sie sieht also etwa so aus:
[mm]\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&a_{1,4}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&a_{2,4}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&a_{3,4}\end{pmatrix}[/mm]
Dabei sind die [mm] $a_{m,n}$ [/mm] gesucht. (Also sage und schreibe 12 Unbekannte!)
dazu stehen dir auch 12 Gleichungen zur Verfügung: Die ersten 3 kommem z.B. aus folgender Abbildung:
[mm]\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&a_{1,4}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&a_{2,4}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&a_{3,4}\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}[/mm]
So, ich hoffe, dass du jetzt ein Bisschen weiter kommst! 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Fr 28.05.2004 | | Autor: | mausi |
ich versuche mal die aufgabe anhand des Beispiels in der Übung zu lösen also
[mm] a_1_1 \quad a_1_2 \quad a_1_3 \quad a_1_4
[/mm]
0 0 -1 2 | 0
3 -1 0 -2 |-1
1 0 1 2 | 1
2 0 0 -2 | 0
die letzte Spalte ergibt sich aus der ersten Zeile aller b Vektoren
und da komme ich auf die erste Zeile des A
die wäre
[mm] a_1_1 \qquad a_1_2 \qquad a_1_3 \qquad a_1_4
[/mm]
1/5 1 1/5 2/5 1/5
rechnet man das in etwa so???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
Ja, genau so würde ich es auch machen!
Für die Werte auf der rechten Seite des senktechten Striches hast du also jeweils die 1. Komponente der Bildvektoren genommen.
Jetzt muss das Ganze aber auch noch für die 2. und für die 3. Komponente gemacht werden.
Dann aber natürlich mit
[mm]a_{21}, \, a_{22}, \, a_{23}\, und \, a_{24}[/mm] respektive
[mm]a_{31}, \, a_{32}, \, a_{33}\, und \, a_{34}[/mm]
Zeigst du mir dann die Lösung auch noch?
P.S. ich habe deine konkreten Ergebnisse nicht überprüft. Wenn du das wünschst, kann ich das auch noch tun. Sollte aber auch kein Problem sein: einfach in den Gleichungen einsetzten und schauen, ob es stimmt.
mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Fr 28.05.2004 | | Autor: | mausi |
meine Lösung wäre A =
[mm] \begin{pmatrix}
\frac {1}{5} & 1\frac{1}{5} & \frac {2}{5} & \frac {1}{5} \\
\frac {2}{5} & 2\frac{2}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-3}{5} \\
1 \frac {1}{5} & 7\frac{1}{5} & \frac {2}{5} &\frac {-4}{5}
\end{pmatrix} [/mm]
für die Probe:
[mm] \begin{pmatrix}
\frac {1}{5} & 1\frac{1}{5} & \frac {2}{5} & \frac {1}{5} \\
\frac {2}{5} & 2\frac{2}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-3}{5} \\
1 \frac {1}{5} & 7\frac{1}{5} & \frac {2}{5} &\frac {-4}{5}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\frac {1}{5} & 1\frac{1}{5} & \frac {2}{5} & \frac {1}{5} \\
\frac {2}{5} & 2\frac{2}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-3}{5} \\
1 \frac {1}{5} & 7\frac{1}{5} & \frac {2}{5} &\frac {-4}{5}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\frac {1}{5} & 1\frac{1}{5} & \frac {2}{5} & \frac {1}{5} \\
\frac {2}{5} & 2\frac{2}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-3}{5} \\
1 \frac {1}{5} & 7\frac{1}{5} & \frac {2}{5} &\frac {-4}{5}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\frac {1}{5} & 1\frac{1}{5} & \frac {2}{5} & \frac {1}{5} \\
\frac {2}{5} & 2\frac{2}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-3}{5} \\
1 \frac {1}{5} & 7\frac{1}{5} & \frac {2}{5} &\frac {-4}{5}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
haut das dann so hin????bitte mal nachrechnen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
ich denke, das stimmt alles! Hast du super gemacht!! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 28.05.2004 | | Autor: | mausi |
oki danke für die Hilfe!!!!
aber die Aufgabe geht noch weiter
Warum existiert eine Lösung und ist eindeutig?
b)bestimme eine Basis von [mm] ker(f_A)
[/mm]
c)bestimme eine Basis von [mm] Im(f_A)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> oki danke für die Hilfe!!!!
Bitteschö, gerne geschehen!
> aber die Aufgabe geht noch weiter
> Warum existiert eine Lösung und ist eindeutig?
Gut, überlegen wir weiter unten.
> b)bestimme eine Basis von [mm] ker(f_A)
[/mm]
> c)bestimme eine Basis von [mm] Im(f_A)
[/mm]
>
Dafür machen wir je einen einzelnen Strang, wird dann etwas übersichtlicher.
Also, zur Frage: warum existiert eine Lösung und ist eindeutig?
Dazu solltes du wohl nochmals diene Theorie zu Hilfe nehmen.
(Weil mir hier der Platz fehlt).
Ich denke aber, dort sollte stehen, dass eine Lineare Abbildung zum einen eindeutig definiert ist, indem man jedem Basisvektor des Urraumes einen beliebigen Vektor des Bildraumes zuordnet.
Also: es darf jedem Basisvektor ein beliebiger Vektor zugeordnet werden, um die Abbildung eindeutig zu machen.
Wenn es mir also gelingen würde, zu zeicgen, dass die Vektoren [mm] $a_1$, $a_2$, $a_3$ [/mm] und [mm] $a_4$ [/mm] Basisvektoren sind, dann wäre die Antwort gegeben.
Sind sie das aber auch? Nein, sie sind es nicht!!
Aber: es ist ja bewiesen, dass man in einem n-Dimensionalen Vektorraum jede Menge aus n Vektoren, die unabhängig sind, als Basis benutzen kann (Austauschsatz von Steinitz(?)).
Somit brauchst du lediglich nachzuweisen, dass die 4 Vektoren [mm] $a_1$, $a_2$, $a_3$ [/mm] und [mm] $a_4$ [/mm] linear unabhängig sind, und schon ist die Begründung perfekt! Kanns du das noch tun?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> b)bestimme eine Basis von [mm] ker(f_A)
[/mm]
das soll jetzt aber eher vorwiegend durch deine Leistung erarbeitet werden, also ganz in Stile dieses Forums. Zuerst nur mal soviel: mache dir doch bitte nochmals klar, was denn der Kern einer Abbildung ist. Ich glaube, wenn du die Definition nochmals nachguckst, dann kommst du sicher fast, wenn nicht sogar ganz alleine auf die Lösungsidee. 
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Di 01.06.2004 | | Autor: | mausi |
ach so, also nur den kern mal A multiplizieren und man hat die im-matrix???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Di 01.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> ach so, also nur den kern mal A multiplizieren und man hat
> die im-matrix???
>
Jetzt verstehe ich nur Bahnhof!
Was soll denn die im-matrix sein?
Bisher dachte ich immer, unter [mm] $Im(f_A)$ [/mm] verstehe man die Bildmenge der Abbildung. Und bei Linearen Abbildungen ist doch das Bild ein Unterraum, der durch die Bilder der Basisvektoren des Urraumes aufgespannt wird. Du musst also folgendes tun: wende deine Abbildung auf eine Basis der Urraumes an. Wenn die 4 gegebenen Urvektoren linear unabhängig waren, kannst du auch gerade ihre Bilder nehmen, also die gegebenen Vektoren [mm] $b_1, b_2$, b_3$ [/mm] und [mm] $b_4$. [/mm] Wenn nicht, dann wendest du die Abbildung halt auf die kanonische Basis an.
Nun untersuchst du, welchen Unterraum die Bildvektoren aufspannen und bestimmst eine Basis davon.
mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Chriskoi |
Hallo mausi,
ich glaube du musst die Aufgabe nochmal rechnen.
Die Matrix
0 0 -1 2 | 0
3 -1 0 -2 |-1
1 0 1 2 | 1
2 0 0 -2 | 0
muss so aussehen
0 0 -1 -2 | 0
3 -1 0 -2 |-1
1 0 1 2 | 1
2 0 0 -2 | 0
Sorry. Ist aber so!?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:01 Di 01.06.2004 | | Autor: | mausi |
stimmt,ich habs nochmal mit der aufgabe verglichen,blöder abschreibfehler,aber is ja egal es geht ja um den rechenweg
merci
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