lineare Abbildung??? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo,
wer kann mir vieleicht helfen bei dieser Aufgabe...
Geben Sie eine lineare Abbildung [mm] L:R^3->R^3 [/mm] an deren Kern durch (2,1,0) und (1,0,1) erzeugt wird
keine Ahnung wie ich da anfangen muss
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Hexe |
Also zunächst mal ist deine gesuchte abbildung eine 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix. Weiterhin gilt für v im Kern von A: Av=0 Also ist eine Matrix gesucht die das für deine gegebenen Vektoren erfüllt
Liebe Grüße Hexe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mausi |
Danke,
aber so richtig verstanden habe ich das jetzt noch nicht was ich jetzt machen soll
also die beiden vorgegebenen Vektoren erzeugen den Kern es fehlt also noch ein Vektor
den Kern erzeugt man doch indem man die Einheitsmatrix gegenüberstellt und dann umformt
hmmm... wie bekomme ich den Vektor raus???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes mausi
ich würde etwa so vorgehen:
Die gesuchte Matrix sei diese:
[mm] $A=\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31} &a_{32}&a_{33}}$
[/mm]
Wobei die Matrixelemente zu bestimmen sind.
Mit dem ersten gegebenen Basisvektor des Kerns führt das zu:
[mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31} &a_{32}&a_{33}}*\vektor{2\\1\\0}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Mit dem zweiten gegebenen Basisvektor entsprechend:
[mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31} &a_{32}&a_{33}}*\vektor{1\\0\\1}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Dies führt auf die Gleichungssysteme:
[mm] $2a_{11}+a_{12}=0$
[/mm]
[mm] $a_{11}+a_{13}=0$
[/mm]
Genau die gleichen Systeme für:
[mm] $2a_{21}+a_{22}=0$
[/mm]
[mm] $a_{21}+a_{23}=0$
[/mm]
und:
[mm] $2a_{31}+a_{32}=0$
[/mm]
[mm] $a_{31}+a_{33}=0$
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, führt das zu:
[mm] $\vektor{a_{11}\\a_{12}\\a_{13}}=\lambda*\vektor{-1\\2\\1}$
[/mm]
[mm] $\vektor{a_{21}\\a_{22}\\a_{23}}=\mu*\vektor{-1\\2\\1}$
[/mm]
[mm] $\vektor{a_{31}\\a_{32}\\a_{33}}=\nu*\vektor{-1\\2\\1}$
[/mm]
Womit sich deine Matrix so darstellen lässt:
[mm] $A=\pmat{-\lambda&2\lambda&\lambda\\-\mu&2\mu&\mu\\-\nu&2\nu&\nu}$
[/mm]
Du kannst jetzt auch überprüfen, dass tatsächlich gilt:
[mm] $\pmat{-\lambda&2\lambda&\lambda\\-\mu&2\mu&\mu\\-\nu&2\nu&\nu}*\vektor{2a+b\\a\\b}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Jetzt muss aber noch sichergestellt sein, dass nur die Vektoren aus dem gegebenen Unterraum, der den Kern bildet, den Nullvektor als Bild haben. Deshalb sollte man die beiden Vektoren noch zu einer Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ergänzen.
Der Vektor [mm] $\vektor{1\\-2\\-1}$ [/mm] leistet das.
Es muss also gelten:
[mm] $\pmat{-\lambda&2\lambda&\lambda\\-\mu&2\mu&\mu\\-\nu&2\nu&\nu}*\vektor{1\\-2\\-1} \not [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Es gilt ja:
[mm] $\pmat{-\lambda&2\lambda&\lambda\\-\mu&2\mu&\mu\\-\nu&2\nu&\nu}*\vektor{1\\-2\\-1}=-6*\vektor{\lambda\\\mu\\\nu}$
[/mm]
Das heisst, es darf nicht zugleich gelten: [mm] $\lambda=0$, $\mu=0$ [/mm] und [mm] $\nu=0$.
[/mm]
Du kannst also schreiben:
[mm] $A=\pmat{-\lambda&2\lambda&\lambda\\-\mu&2\mu&\mu\\-\nu&2\nu&\nu}$ [/mm] mit [mm] $\vektor{\lambda\\\mu\\\nu} \not [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mausi |
Danke lieber Paulus hab ich supi gut verstanden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mausi |
funz diese Aufgabe so ähnlich???
L sei eine lineare Abbildung [mm] L:R^3->R^3,die [/mm] durch eine Koeffizientenmatrix [mm] A_L, [/mm] beschrieben wird, bekannt sind Bilder von 3 Vektoren
L(1,0,1)=(3,4,6) L(2,1,1)=(5,9,13) L(0,1,1)=(1,5,5)
Bestimmen sie Die Koeffizientenmatrix [mm] A_L [/mm] der Abbildung L
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
ja, das funzt genau so. Du hast jetzt einfach nicht nur zwei Vektoren, deren Bilder du kennst, sondern drei. Und zudem sind die Bilder nicht der Nullvektor. Ich habe die Aufgabe natürlich noch nicht durchgerechnet.
Ich denke aber, dass du, um des Lernerfolges Willen, das doch einmal selber versuchen solltest. Ich bin gerne bereit, deine Berechnungen zu kontrollieren. Und da du dich jetzt ja auch so nett bedankst, mache ich das gleich doppelt so gerne! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mausi |
also
das wäre ja dann so...
[mm] \begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
soweit erstmal richtig aufgestellt???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes mausi
> also
>
> das wäre ja dann so...
>
> [mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> soweit erstmal richtig aufgestellt???
ich denke, das sollte genau umgekehrt sein. Es heisst doch: L(1,0,1)=(3,4,6).
Ich interpretiere das so, dass das Bild von (1,0,1) der Vektor (3,4,6) ist. Ich würde also so sagen:
[mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mausi |
herzlichen Dank habe jetzt auch raus was die anderen raus haben
danke Paulus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes mausi
jetzt, da du die Lösung auf steinigem Weg gefunden hast, hast du sicher festgestellt, dass du eigentlich das genau gleiche Gleichungssystem 3 Mal gelöst hast, einfach mit unteschidlichen Zahlen auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens. Der Gauss-Algorithmus erforderte aber jedes Mal die gleichen Operationen.
Du hättest die drei Gleichungssysteme also ohne Weiteres in einem Schritt machen können:
[mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
Diese drei Gleichungssysteme lassen sich als ein einziges schreiben:
[mm]\begin{pmatrix}a_1_1&a_1_2&a_1_3\\a_2_1&a_2_2&a_2_3\\ a_3_1&a_3_2&a_3_3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1&1&0\\0&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5&1\\4&9&5\\6 &13&5\end{pmatrix}[/mm]
Das kannst du dann auch einfach so schreiben:
[mm]\begin{pmatrix}a_1_1&a_1_2&a_1_3\\a_2_1&a_2_2&a_2_3\\ a_3_1&a_3_2&a_3_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5&1\\4&9&5\\6 &13&5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1&1&0\\0&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}^{-1}[/mm]
Ich hoffe, du bist mir nicht böse, dass ich dir das erst jetzt sage, aber der Highway der Erkenntnis ist halt oft nur über gewisse steinige Wege erreichbar!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 23.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
um noch eine Alternative zu bieten:
eine lin. Abbildung ist schon eindeutig über die Bilder der Basisvektoren bestimmt, wenn du jetzt noch einen dritten Basisvektor nimmst/suchst und diesen NICHT auf 0 abbilden lässt, ist deine Abbildung also auch schon eindeutig bestimmt.
[es steht ja nicht da, dass man L als Matrix angeben muss]
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 28.06.2005 | | Autor: | Jeedi |
Hallo!
Ich habe ein ähnliches Problem, mit dem Unterschied, dass ich nur die Art der Abbildung, nicht aber Kern, Bild oder Abbildungsmatrix gegeben hab. die sind zu suchen. Wie gehe ich da jetzt weiter vor?
Gegeben ist der Vektorraum V der reellen 2 [mm] \times2 [/mm] Matrizen und die Abbildung, die folgendermaßen definiert ist:
B [mm] \mapsto [/mm] B+B(transponiert) (weiß nicht die Schreibweise am Rechner)
Danke schonmal im Vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Di 28.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Eine Basis deines Vektorraums ist ja
[mm] $\left\{ \pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}, \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}, \pmat{0 & 0 \\ 0 & 1} \right\}$.
[/mm]
Betrachte nun die Koordinaten der Bilder dieser Basisvektoren bezüglich dieser Basis und schreibe diese als Spaltenvektoren in ein $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix.
Das ist dann eine Abbildungsmatrix.
Nun sollte es dir mit Hilfe von Zeilen- und Spaltenumformungen gelingen den Kern und das Bild dieser Abbildung zu bestimmen.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Do 30.06.2005 | | Autor: | Jeedi |
Danke für deine Antwort. Ich hab das mal gerechnet, hab aber immer noch ein paar Fragen.
Meintest du das denn so:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] ??
Für den Kern das Ganze gleich 0 gesetzt, würde dann rauskommen:
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}=-x_{3}
[/mm]
[mm] x_{4}=0
[/mm]
woraus dann für den Kern folgt: [mm] x*\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Oder schreibe ich das jetzt wieder in eine 2x2Matrix?
[mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Für das Bild müsste ich dann die Abbildungsmatrix mit [mm] \vec{y} [/mm] gleichsetzten, oder?
D.h.:
[mm] 2x_{1}=y_{1}
[/mm]
[mm] y_{2}=y_{3}
[/mm]
[mm] 2x_{4}=y_{4}
[/mm]
woraus sich drei linear unabhängige Vektoren bilden lassen:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ist das jetzt die Basis vom Bild? Oder muss ich die auch wieder als 2x2Matrix schreiben?
Warum ist überhaupt die Abbildungsmatrix eine 4x4Martix? Die kann ich ja garnicht mit der normalen Matrizenmultiplikation auf 2x2Matrizen anwenden!
Außerdem kommt die Erstellung der Abb.Matrix erst in Teilaufgabe c) dran, also sollte ich Kern und Bild vor der eigentlichen Matrix berechnen! Das hatte michbei der Aufgabenstellung besonders stutzig gemacht!
Wann kann ich eigentlich 2x2Matrizen in Spaltenvektoren umschreiben und wann nicht??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Hexe |
Also esrtmal zum allgemeinen Du bildest mit dieser 4 [mm] \times [/mm] 4 Matrix die 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen indirekt schon ab
Beispiel: [mm] A=\pmat{1&2\\-3&4} [/mm] In Abhängigkeit unserer Basis [mm] {e_1,e_2,e_3,e_4} [/mm] ist die Gleichbedeutend mit [mm] A=1*e_1+2*e_2-3*e_3+4*e_4=\vektor{1\\2\\-3\\4} [/mm] und das bild ich ich per Matrix-vektor-multiplikation ab.
Also ist der Kern wie du vermutest
Ker=< [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }>
[/mm]
und das Bild ist
[mm] Bild=<\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\1&0},\pmat{0&0\\0&1}
[/mm]
Ind den Aufgaben a und b musst du halt dasselbe durch nachdenken rausbekommen, also wie muss eine Matrix aussehen damit A+A°T=0 gilt bzw ich hab [mm] A=\pmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}} [/mm] wie sieht dann ganz allgemein A+A°T aus
> Wann kann ich eigentlich 2x2Matrizen in Spaltenvektoren
> umschreiben und wann nicht??
Immer wenn du eine Basis aus Matrizen festlegst denn der Spaltenvektor sagt nix anderes als a*1.Basismatrix + b*2. Basismatrix + ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Di 05.07.2005 | | Autor: | Jeedi |
Sorry, habs erst jetzt geschafft, mich für die Antworten zu bedanken!
Hab grade die Klausur hinter mir, die ich dank euch wohl ganz ordentlich geschafft habe.
Also nochmal danke an euch!
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