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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ [/mm] mit $f(2)=(6,2)$. Bestimmen Sie den Kern und das Bild von $f$. |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Die lineare Abbildung hat ja die Form
y=mx+b
Bedeutet in der Schreibweise (6,2) dass mx=6 und b=2 ist?
Dann wäre das Bild:
[mm] $x\mapsto [/mm] 3x+2$
Und der Kern:
[mm] $ker(-\frac{2}{3})$
[/mm]
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Hallo,
> Sei [mm]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]f(2)=(6,2)[/mm]. Bestimmen
> Sie den Kern und das Bild von [mm]f[/mm].
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Die lineare Abbildung hat ja die Form
>
> y=mx+b
Nein. Da stecken gleich zwei fatale Denkfehler drin. Zum einen wird obige Funktion imRahmen von Schulmathe und Analysis i.d.R. als lineare Funktion bezeichnet, im Sinne der Linearen Algebra ist sie aber nicht linear, sondern (linear) affin. Mache dir klar, weshalb!
Weiters hast du die vorgegebene Bildmenge ignoriert. Wäre diese einfach [mm] \IR, [/mm] dann wäre die gesuchte Funktion nichts anderes als eine Proportionalität. Die Bildmenge ist aber der [mm] \IR^2 [/mm] und somit solltest du dir erst einmal überlegen, mit welchem Konzept du aus einer rellen Zahl einen Vektor aus [mm] \IR^2 [/mm] erzeugen möchtest. Das geht nicht schwer, es ist sehr naheliegend und der Hinweis mit der Proportionalität war in gewissem Sinn durchaus als Tipp gedacht.
>
> Bedeutet in der Schreibweise (6,2) dass mx=6 und b=2 ist?
>
> Dann wäre das Bild:
>
> [mm]x\mapsto 3x+2[/mm]
>
> Und der Kern:
>
> [mm]ker(-\frac{2}{3})[/mm]
Die sind natürlich auch falsch (und mir ist völlig schleierhaft, was du da angestellt hast, also auf welcher Motivation deine Überlegungen beruhen). Wenn du die richtige Abbildung hast, wirst du mir Recht geben, dass man Kern und Bild hier schon aus anschaulichen Überlegungen unmittelbar angeben kann, und auch der Dimensionssatz legt die beiden sofort nahe. Wie genau du das dann noch rechnerisch herleiten musst, musst du selbst wissen. Mache dich aber auf triviale Ergebnisse gefasst!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich hätte gedacht, dass der Kern die Nullstelle meiner linearen Funktion ist.
Dies ist aber augenscheinlich ziemlicher Blödsinn gewesen...
Nun gut.
Also ich nehme einen Wert aus den rellen Zahlen und bilde diesen auf ein Paar im [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] ab.
Wenn ich nun eine relle Zahl als Vektor darstellen soll, dann würde ich dies so machen, dass ich zum Beispiel 1=(1,0) wähle, also einfach immer mit der y-Komponente Null.
Der Dimensionssatz ist leider nicht bekannt.
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> Ich hätte gedacht, dass der Kern die Nullstelle meiner
> linearen Funktion ist.
> Dies ist aber augenscheinlich ziemlicher Blödsinn
> gewesen...
Hallo,
sooo großer Blödsinn ist das nicht, bloß fehlt bisher noch die Funktionsgleichung der linearen Funktion.
Bisher wissen wir "bloß"
[mm] f:\IR \to \IR^2 [/mm] linear mit
f(2)=(6,2).
Ganz schön wäre es, würden wir mal f(x) kennen für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Schau Dir die Eigenschaften linearer Funktionen an.
Überlege Dir, was f(1) ist, und dann, was f(x) ist.
Wenn Du das hast, kann es an die Bestimmung des Kerns gehen.
>
> Nun gut.
>
> Also ich nehme einen Wert aus den rellen Zahlen und bilde
> diesen auf ein Paar im [mm]\mathbb{R}^2[/mm] ab.
Ja.
>
> Wenn ich nun eine relle Zahl als Vektor darstellen soll,
Du sollst sie nicht als Vektor darstellen.
Sie ist ein Vektor, denn sie ist ein Element des [mm] \IR-Vektorraumes \IR. [/mm] (Dimension? Basis?)
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Für lineare Abbildungen gilt:
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(a*v)=f(a)*v
Dann könnte ich f(2) umschreiben zu
f(1)+f(1) oder wolltest du darauf gar nicht hinaus?
f(1)+f(1)=f(1)*2=(6,2) also ist
f(1)=(3,1)
?
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> also ist
>
> f(1)=(3,1)
>
> ?
Hallo,
ja.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Achso, und der Kern wäre dann das "Ergebnis" von f(0)
Also f(1-1)=f(1)-f(1)=(0,0)
Für das Bild weiß ich nicht so recht was verlangt ist.
Also eine lineare Funktion der Art
y=mx+b ist es ja nach Diophant nicht.
Dann vielleicht einfach
[mm] $x\mapsto [/mm] (3,1)x$
?
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> Achso, und der Kern wäre dann das "Ergebnis" von f(0)
Hallo,
nein.
f(0) ist nicht sehr aufregend bei linearen Abbildungen. Es kommt nämlich Null heraus.
Der Kern ist all das, was auf die Null in [mm] \IR^2 [/mm] abgebildet wird.
Aber wir kennen ja noch gar nicht f(x)...
LG Angela
>
> Also f(1-1)=f(1)-f(1)=(0,0)
>
> Für das Bild weiß ich nicht so recht was verlangt ist.
> Also eine lineare Funktion der Art
>
> y=mx+b ist es ja nach Diophant nicht.
>
> Dann vielleicht einfach
>
> [mm]x\mapsto (3,1)x[/mm]
>
> ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
f(x)=(3,1)x
Hätte ich nun gesagt.
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> f(x)=(3,1)x
>
> Hätte ich nun gesagt.
Hallo,
ja.
Und jetzt mach doch mal ein bißchen weiter, ohne jeden Schritt nachzufragen.
LG Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Wollte nur nochmal nachfragen, weil du dich dazu im letzten Beitrag nicht geäußert hattest. :)
Das Bild ist dann also:
[mm] $x\mapsto [/mm] (3,1)x$
Aber dann ist der Kern doch
ker(0) denn nur für x=0 erhalte ich (0,0) also das Nullelement des [mm] $\mathbb{R}^2$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Do 19.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wollte nur nochmal nachfragen, weil du dich dazu im letzten
> Beitrag nicht geäußert hattest. :)
>
> Das Bild ist dann also:
>
> [mm]x\mapsto (3,1)x[/mm]
Nein. Das ist nicht das Bild von f.
Es ist doch $f(x)=x*(3,1)$ für x [mm] \in \IR
[/mm]
Das Bild ist [mm] f(\IR) [/mm] und das ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^2. [/mm] Welcher ?
>
> Aber dann ist der Kern doch
>
> ker(0) denn nur für x=0 erhalte ich (0,0) also das
> Nullelement des [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
Du meinst das richtig, schreibst es aber falsch auf !
[mm] ker(f)=\{x \in \IR: f(x)=0\} [/mm] = ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 19.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Der Untervektorraum der Ursprungsgeraden mit Steigung 3 des [mm] $\mathbb{R}^2$
[/mm]
[mm] $ker(f)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)=0\}$
[/mm]
f(x)=0
x(3,1)=0
[mm] $x=0\vee [/mm] (3,1)=0$
Offensichtlich ist [mm] $(3,1)\neq [/mm] 0$, also muss x=0 gelten.
Kann man das so machen? Dieser Zusammenhang gilt ja eigentlich nur in Körpern.
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Hallo,
> Der Untervektorraum der Ursprungsgeraden mit Steigung 3 des
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
Nein, der fragleiche UVR besteht aus der betreffenden Ursprungsgeraden. Die gibst du am besten in Parameterform an.
>
> [mm]ker(f)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)=0\}[/mm]
>
> f(x)=0
>
> x(3,1)=0
>
> [mm]x=0\vee (3,1)=0[/mm]
>
> Offensichtlich ist [mm](3,1)\neq 0[/mm], also muss x=0 gelten.
> Kann man das so machen?
Im Sinne einer vernünftigen akademischen Arbeistweise: nein. Zum einen ist [mm] (3,1)\ne{0} [/mm] in etwa der Erkenntnis gleichzusetzen, dass ein Apfel keine Birne ist. Zum anderen geht halt aus deiner Rückfrage immer noch nicht hervor, ob dir klar ist, was jetzt der Kern ist? Es ist die reelle Zahl x=0, da der Kern stets eine Teilmenge des Urbilds ist.
> Dieser Zusammenhang gilt ja
> eigentlich nur in Körpern.
Dein Problem ist, dass du dir offensichtlich nicht im Klaren bist, dass die Null auf der rechten Seite von
x*(3,1)=0
im Prinzip ein Vektor ist, also streng genommen müsste man da
x*(3,1)=(0,0)
schreiben (obwohl ich weiß, dass dies außer Mode gekommen ist). Und aus den betreffenden Vektorraumaxiomen zur Multiplikation mit einem Skalar lässt sich das natürlich trivialerweise folgern.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 19.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Das [mm] $(3,1)\neq [/mm] 0$ "sinnlos" ist, ist mir bewusst.
Dann sollte ich also besser schreiben:
3x=0
1x=0
Also x=0
Die Parameterform ist in der Vorlesung noch nicht behandelt worden.
Gibt es eine andere Möglichkeit diese anzugeben?
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Hallo,
> Das [mm](3,1)\neq 0[/mm] "sinnlos" ist, ist mir bewusst.
Das hat halt oben ganz anders ausgesehen...
> Dann sollte ich also besser schreiben:
>
> 3x=0
> 1x=0
>
> Also x=0
>
> Die Parameterform ist in der Vorlesung noch nicht behandelt
> worden.
> Gibt es eine andere Möglichkeit diese anzugeben?
Das ist Schulstoff:
[mm] Bild(f)=\vektor{3t\\t} [/mm] ; [mm] t\in\IR
[/mm]
Das braucht nicht extra 'behandelt' worden zu sein!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 19.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Wir hatten das Themengebiet zu Ebenen, Parameterform und co. nicht in der Schule.
Und in der Analysisvorlesung mussten die rellen Zahlen ja auch erst einmal 'behandelt' werden bevor ich sie verwenden darf.
Jetzt wo ich die Lösung in Parameterform sehe, hätte ich aber auch selber drauf kommen können... Diese Darstellung ist ja eigentlich unmittelbar klar...
Damit wäre ich also fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Do 19.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir hatten das Themengebiet zu Ebenen, Parameterform und
> co. nicht in der Schule.
> Und in der Analysisvorlesung mussten die rellen Zahlen ja
> auch erst einmal 'behandelt' werden bevor ich sie verwenden
> darf.
>
> Jetzt wo ich die Lösung in Parameterform sehe, hätte ich
> aber auch selber drauf kommen können... Diese Darstellung
> ist ja eigentlich unmittelbar klar...
>
> Damit wäre ich also fertig?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Do 19.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank euch allen für die ausführliche Hilfe.
Ich weiß gar nicht woran es liegt, dass ich mich bei solchen Aufgaben immer so begriffsstutzig anstelle.
Schäme mich schon ein wenig die Frage überhaupt gestellt zu haben...
:(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Do 19.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Vielen Dank euch allen für die ausführliche Hilfe.
Gern geschehen.
> Ich weiß gar nicht woran es liegt, dass ich mich bei
> solchen Aufgaben immer so begriffsstutzig anstelle.
Nun, ich denke, das ist am Anfang jedem von uns mehr oder weniger so gegangen.
> Schäme mich schon ein wenig die Frage überhaupt gestellt
> zu haben...
Das musst du sicherlich auch nicht tun. Aber einen Ratschlag hätte ich noch: wenn man in der Mathematik einen Beweis oder auch nur eine Rechnung aufschreibt, tut man gut daran, einige Punkte zu beachten:
- Jede neue Zeile, jeder Schritt den man macht, sollte irgendeinen wesentlichen Erkenntnisgewinn beinhalten.
- Die zugrundeliegenden Definitionen sollte man sich klarmachen, bevor man anfängt.
- Immer wieder sollte man sein eigenes Tun daraufhin überprüfen, ob es a) das ausdrückt, was man eigentlich sagen möchte und b) Sinn ergibt.
Das schreibt sich natürlich so leicht, wenn man wie ich mit 48 Jahren aus dem Gröbsten raus ist.  In Wirklichkeit sind das m.A. nach Dinge, an denen man ein Leben lang arbeiten kann (wenn man denn der Mathematik einen Platz in seinem Leben einräumt.  )
Gruß & viel Erfolg, Diophant
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