lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | UNtersuchen Sie folgende Abbildungen auf Linearität:
a) f: [mm] \IR^2 \mapsto \IR^2, (x,y)\mapsto [/mm] (3x +sy,x) mit [mm] \IR^2 [/mm] als [mm] \IR- [/mm] Vektorraum
b) g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] a*x+b für a,b [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \IR [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum
[/mm]
c) h: [mm] \IQ^2 \to \IR,(x,y) \mapsto x+\wurzel{2}*y [/mm] mit [mm] \IQ^2 [/mm] und [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ- [/mm] Vektorräume
d) i: [mm] \IR^\IR \to \IR, [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] f(1) Dabei bezeichnet [mm] \IR^\IR [/mm] wieder den [mm] \IR- [/mm] Vektorraum aller Funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] |
Kann ich die Aufgabe a) zum Beispiel so angehen, dass ich Überprüfe ob f(x)+f(y)=f(x+y) und y*(fx))=f(y*x)??
Also hier für die erste Bedingung dann so ansetzte?:
Sei (x1,y1) und (x2, y2) Aus [mm] \IR^2
[/mm]
f(x1, y1) = (3x1+2y1,x1)
f(x2, y2) = (3x2+2y2, x2)
f((x1,y1)+(x2,y2))= f(x1+x2,y1+y2)
f(x1, y1)+f(x2,y2)= (3x1+2y1,x1)+(3x2+2y2,x2)= ((3x1+3x2)+(2y1+2y2), x1+y1))
und f((x1,y1)+(x2,y2))= )3*(x1+x2)+(2*y1+y2),x1+x2)= ((3x1+3x2)+(2y1+2y2),x1+y1))
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Do 07.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
genau das musst du nachprüfen.
Auf welche Funktion beziehst du dich denn in deinem Beispiel. In der Funktion f kam doch noch was mit s vor?
Beispielsweise hat man bei d):
i(f+g)=(f+g)(1)=f(1)+g(1)=i(f)+i(g)
i(sf)=(sf)(1)=sf(1)=si(f), also i linear.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
oh sry das s soll ne 2 sein, hab mich also auf f bezogen....
JA das mit der d) wäre meine nächste Frage gewesen;). weil sich da ja auf f bezogen wird und nicht auf (x,y) z.b. wie in den Teilaufgaben davor.
bei b) hätte ich raus, dass die Abbildung nicht linear ist, weildas b nicht von x abhängt..ist das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles bisher richtig, aber so wie du das mit der b ausdrückst zeigt das zwar, dass du das richtige Gefühl für linear hast, du musst aber schon zeigen : es gilt nicht f(r*x)=r*f)x) deshalb nicht linear.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Leduart,
also bei der b) hatt eich das bisher so gezeigt:
Sei x1, x2 [mm] \in \IR
[/mm]
Dann ist :
g(x1)= a+x1+b
g(x2)=a*x2+b
und: g(x1)+g(x2) = (a*x1)+b+ (a*x2)+b
= a*(x1+x2) +2b
Weiter ist:
g(x1+x2)= a(x1+x2)+b
[mm] \Rightarrow g(x1+x2)\not=g(x1)+g(x2) [/mm] und g ist keine lineare Abbildung.
Könnte man das so auch zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
völlig richtig!
egal welche bedingung für lineare Abb. nicht stimmt. dann ist es keine.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Sei (x1,y1) und (x2, y2) Aus [mm]\IR^2[/mm]
>
> f(x1, y1) = (3x1+2y1,x1)
> f(x2, y2) = (3x2+2y2, x2)
>
> f((x1,y1)+(x2,y2))= f(x1+x2,y1+y2)
>
> f(x1, y1)+f(x2,y2)= (3x1+2y1,x1)+(3x2+2y2,x2)=
> ((3x1+3x2)+(2y1+2y2), x1+y1))
>
> und f((x1,y1)+(x2,y2))= )3*(x1+x2)+(2*y1+y2),x1+x2)=
> ((3x1+3x2)+(2y1+2y2),x1+y1))
Hallo, ich beschäftige mich auch gerade mit dieser Aufgabe.
Wenn hier steht (..., [mm] x_1+ y_1) [/mm] muss das nicht heißen (..., [mm] x_1, x_2)...? [/mm] Wenn nicht, kann mir jemand erklären wieso? Danke...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Fr 08.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a,b Vektoren irgendeiner Dimension:
Linearität fordert: f(a+b)=f(a)+f(b)
wenn du jetzt a und b in Komponenten a1,a2 usw schreibst steht da: also a=(a1,a2,..an)
f(a1+b1,a2+b2)=f(a1,a2)+f(b1,b2) (nur für 2-d geschrieben.)
War das deine Frage?
sonst musst du ausführlicher fragen, um dich verständlich zu machen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> >
> > f(x1, y1) = (3x1+2y1,x1)
> > f(x2, y2) = (3x2+2y2, x2)
> >
> > f((x1,y1)+(x2,y2))= f(x1+x2,y1+y2)
> >
> > f(x1, y1)+f(x2,y2)= (3x1+2y1,x1)+(3x2+2y2,x2)=
> > ((3x1+3x2)+(2y1+2y2), x1+y1))
> >
> > und f((x1,y1)+(x2,y2))= )3*(x1+x2)+(2*y1+y2),x1+x2)=
> > ((3x1+3x2)+(2y1+2y2),x1+y1))
>
> Hallo, ich beschäftige mich auch gerade mit dieser Aufgabe.
> Wenn hier steht (..., [mm]x_1+ y_1)[/mm] muss das nicht heißen (...,
> [mm]x_1, x_2)...?[/mm] Wenn nicht, kann mir jemand erklären wieso?
> Danke...
Ich glaubde dir ist ein fehler bei mir aufgefallen, aber dann müsste da nicht stehen (.....,x1,x2) sondern (....,x1+x2) weil ich vorher ja zwei vektoren addiert habe , und das macht man ja komponentenweise, deswegen steht da ein plus und kein Komma:)Glaub ich zumindest:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Fr 08.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du glaubst richtig. in Mathe sollte man eigentlich nicht glauben! -;)
sonst war doch keine frage?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Fr 08.06.2007 | | Autor: | LaLuna1123 |
Ja, aber ich wollte ja auch keinen vom Pferd erzählen, deswegen habe ich erstmal eine Vermutung angestellt;) Jetzt weiß ich ja , dass ich richtig geglaubt habe;)
|
|
|
|
