lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wie muss die reele Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
[mm] \vektor{a \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ a \\ 3}, \vektor{3a \\ 1 \\ 0} [/mm] |
Hallo,
eigentlich ist die Aufgabe ja recht einfach. Ich stelle ein Gleichungssystem auf und setze es gleich null.
Ich erhalte dann nach einigen Umformungen [mm] (-6a-3)x_{3} [/mm] = 0
Dann gilt -6a-3 = 0 [mm] \vee x_{3} [/mm] = 0
Ist [mm] x_{3} [/mm] = 0, sind die Vektoren linear unabhängig daher muss -6a-3 = 0 gelten --> a = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] Diese Lösung stimmt auch wie ich erfahren habe.
Nun aber zu meiner eigentlichen Frage:
Um auf die o.g. Lösung zu kommen muss ich irgendwann im Gleichungssystem mit a multiplizieren. Daher muss ja gelten a [mm] \not= [/mm] 0, da eine Gleichung mit 0 multiplizieren nicht erlaubt ist. Nun haben wir es in der Schule immer so gemacht, dass wir dann zum Schluss die Fälle betrachtet haben, die vorher ausgenommen worden sind. Für a = 0 hätte ich somit folgende Vektoren:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 0 \\ 3}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Diese Vektoren sind doch auf jeden Fall linear abhängig, oder? Aufgrund der drei nullen in der oberen Ebene.
Mein eigentliches Problem, dass in der Lösung von der Aufgabe als Lösung nur -0.5 steht und nicht für a = 0.
Habe ich einen Denkfehler oder stimmt in der Lösung evtl. etwas nicht?
Danke für eure Hilfe!
Gruß Patrick
Habe diese Frage im keinen anderen Forum im Internet gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 03.05.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo,
> [mm] $(-6a-3)x_{3} [/mm] = 0$
> Ist [mm]x_{3}[/mm] = 0, sind die Vektoren linear unabhängig
Nein.
Sie sind es, wenn [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0$ sein müssen.
> daher muss -6a-3 = 0 gelten --> a = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] Diese Lösung
> stimmt auch wie ich erfahren habe.
Du hast aber auch die Gleichung
[mm] $ax_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$
Und wenn Du da [mm] $x_3 [/mm] = 0$ einsetzt, so erhältst Du u.a. die noch fehlende Lösung $a=0$.
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 0 \\ 3}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Diese Vektoren sind doch auf jeden Fall linear abhängig, oder?
ja.
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
| |
|
Jetzt wurde ja geschrieben, a sei -0,5 und das sei korrekt, da dann [mm] x_{3} [/mm] 0 sei und sobald [mm] x_{1} [/mm] ; [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] 0 seien sind die Vektoren linear unabhängig.
Aber die Aufgabenstellung ist ja, für welches a die Vektoren linear ABHÄNGIG sind und nicht unabhängig.
Ich schreibe nächste Woche eine Mathearbeit und mache auch gerade diese Aufgaben. Ich könnte es zwar immer so nach a auflösen, dass es 0 würde, aber ich verstehe nicht, was ich tun soll, dass es abhängig wird.
Aufbae ist wohl aus dem Buch Lambacher Schweizer Analytische Geometrie in der LK-ausgabe S. 61
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Sa 10.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Laserlock,
wenn a = -1/2, dann ist zum Beispiel [mm] x_1 [/mm] = -3, [mm] x_2 [/mm] = 2, [mm] x_3 [/mm] = 1 eine Lösung, für die die Linearkobination Null wird. Also sind die Vektoren für a = -1/2 linear abhängig. Für den Fall a = 0 mußt Du [mm] x_3 [/mm] = 0 setzten, sonst wie oben. Also sind sie auch dann linear abhängig.
Nun nimm ein anderes a und löse das Gleichungssystem. Dabei wird herauskommen, dass [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0 sein muß. also sind sie dann linear unabhängig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 So 11.06.2006 | | Autor: | laserlock |
Danke erstmal für die Antwort chrisno,
ich glaube, das verstehe ich jetzt. Ich habe es jetzt so begriffen, dass nicht [mm] x_{3}=0 [/mm] ist, sondern, indem man in $ [mm] (-6a-3)x_{3} [/mm] $ das (-6a-3) gleich 0 setzt, [mm] 0x_{3}=0 [/mm] gilt.
Damit fällt der Term [mm] 0x_{3}=0 [/mm] raus, das LGS ist unterbestimmt und ich würde eine Lösungsmenge mit Paramter erhalten, würde ich es ausrechnen. Damit wären die Vektoren dann linear abhängig.
Habe ich das richtig verstanden?
Also ich verstehe das Thema eigentlich relativ gut und komme auch sehr gut mit LGS zurecht, nur leider stehe ich bei dieser einzelnen Aufgabe einfach irgendwie auf dem Schlauch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Mo 12.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Wie definierst Du linear (un)abhängig?
Standard ist: Wenn die Gleichung $ [mm] x_1 \vec{a} [/mm] + [mm] x_2 \vec{b} [/mm] + [mm] x_3 \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] nur durch [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0$ gelöst wird, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Sonst, also wenn es eine Lösung mit mindestens einem [mm] $x_i \not= [/mm] 0$ gibt, sind die Vektoren linear abhängig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mo 12.06.2006 | | Autor: | laserlock |
Ja so definiere ich es auch.
Ich wollte in meinem letzten post etwas anderes damit sagen, aber das hat sich jetzt erledigt.
Danke für eure hilfe
|
|
|
|
