lineare Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 So 10.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | [mm] V=\IC [/mm] ist ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] mit folgenden Vektoren:
v1= 1
v2= 1+i
v3= e
Sind die Familien (v1,v2) (v2,v3) (v1,v3) linear abhängig bzw. unabhängig? |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich ein kleines Problem.
Ich habe das Prinzip der linearen Abhängigkeit bzw Unabhängigkeit verstanden und weiß auch, wie ich es bei zwei Vektoren, wie z.B.
v1 = [mm] \vektor{-1 \\ 3}
[/mm]
v2= [mm] \vektor{-2 \\ 6}
[/mm]
prüfen kann, da Vektoren linear abhängig sind, wenn ein Vektor quasi ein Vielfaches des anderen ist.
Nur verstehe ich leider noch nicht ganz, wie die oben, in der Aufgabe, genannten Vektoren aussehen, ich kann mir diese nicht vorstellen.
Kann mir jemand helfen und hat vielleicht noch weitere gute Tips zur linearen Abhängigkeit/Unabhängigkeit?
Vielen Dank, Paula!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 So 10.04.2011 | | Autor: | Captain |
Es geht hier nur darum, ob die betrachteten Vektoren, die gerichtete Größen sind, durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind.
Etwas salopp gesagt: d.h. ob man sie durch Multiplikation mit einer "Zahl" "gleich" machen kann.
Nun, e = Euler'sche Zahl (2,7...) und 1 sind so etwas, da man 1 nur mit e multiplizieren muss, um e zu erhalten.
Der Vektor 1+i ist so etwas wie (a+i.b), mit a=1 und b=1 und scheint ein Vektor in der komplexen Zahlenebene zu sein. Sofern das der Fall ist, dann liegt er also im Winkel 45° zur reellen Achse ( = "x-Achse") und hat die Länge [mm] \wurzel{1+1} [/mm] = 1,4142 (=> Phytagoras). Dieser Vektor kann aber nicht als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden.
Wie das mit dem Definitionsbereich ausschaut ... beachte die Angabe und finde es heraus.
Also:
(v1,v2) : linear unabhängig
(v2,v3) : linear unabhängig
(v1,v3) : linear abhängig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 10.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank so weit, dass konnte ich nachvollziehen.
Ich habe trotzdem noch weitere Fragen, um das Thema noch besser zu verstehen:
1)
Kann ich somit auch verallgemeinern, dass wenn einer der beiden Vektoren v=1 ist, die Vektoren linear abhängig sind?
2)
Und zweimal der gleiche Vektor bedeutet somit doch auch direkt, dass eine lineare Abhängigkeit besteht, oder?
3)
Wenn ein Vektor nur aus einer Variable besteht, z.B. v=i, ist er dann nicht auch zu jedem Vektor linear abhängig, wenn dieser aus einer reelen Zahl besteht? Z.B. (v=i, v=2) ?
4)
Eine weitere Aufgabe ist zu bestimmen, ob die Vektoren linear abhängig bzw. unabhängig sind, wenn der Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ist.
Inwiefern verändern sich dann die Bedingungen? Abgesehen davon, dass die Vektoren im Raum der rationalen Zahlen liegen müssen?
Wie sieht die lineare Un/Abhängigkeit nun bei folgenden Verktopaaren aus?
(v=1,v=i)
(v=1,v=e)
[mm] (v=1,v=\pi)
[/mm]
(v=1,v=1+i)
Ich hoffe auf Antworten, da ich danach noch weitere Fragen habe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 10.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
VR über dem Körper [mm] \IQ
[/mm]
kannst du aus [mm] v_1=1 [/mm] durch Multiplikation mit einer Zahl aus [mm] \IQ [/mm] e erreichen?
Nicht die vektoren liegen in [mm] \IQ [/mm] sondern du kannst nur mit Skalaren Faktoren aus [mm] \IQ [/mm] linearkombinationen bilden!
dien Vektoren selbst liegen in dieser aufgabe
nach Aufgabenstellung weder in [mm] \IR [/mm] noch in [mm] \IQ [/mm] sondern in [mm] \IC [/mm] sind also komplexe Zahlen über dem Körper der reellen bzw. rationalen Zahlen.
Damit solltest du die antworten auf deine fragen selbst geben können. Schreib sie mitbegründung auf, und wir kontrollieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 10.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Alles klar, dann versuch ich einfach mal meine Fragen bzgl. des Vektorraums über [mm] \IQ [/mm] selbst zu beantworten:
Sind folgende Vektorenpaare linear un/abhängig?
(v=1,v=i)
Ist [mm] i\in\IQ? [/mm] Dann wäre der skalare Faktor auch [mm] \in\IQ [/mm] und somit wären die beiden linear abhängig.
(v=1,v=e)
l.u. da der skalare Faktor ein Vielfachen von e sein muss und somit [mm] \not\in\IQ
[/mm]
[mm] (v=1,v=\pi)
[/mm]
l.u. analog zur Aufgabe davor
(v=1,v=1+i)
dies müsste, wenn [mm] i\in\IQ, [/mm] l.a. sein
Ich bin mir bei meinen Antworten total unsicher und hätte gerne eine kurze Rückmeldung zu jeder Aufgabe!
Könnte jemand bitte trotzdem noch auf meine vorherigen Fragen 1-3 antworten, diese beziehen sich noch auf den Vektorraum über [mm] \IR.
[/mm]
Vielen Dank, Ihr rettet mich :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 So 10.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Alles klar, dann versuch ich einfach mal meine Fragen bzgl.
> des Vektorraums über [mm]\IQ[/mm] selbst zu beantworten:
>
> Sind folgende Vektorenpaare linear un/abhängig?
>
> (v=1,v=i)
> Ist [mm]i\in\IQ?[/mm] Dann wäre der skalare Faktor auch [mm]\in\IQ[/mm] und
> somit wären die beiden linear abhängig.
[mm] i^2=-1 [/mm] es gibt keine rationale Zahl mit [mm] (p/q)^2=-1
[/mm]
> (v=1,v=e)
> l.u. da der skalare Faktor ein Vielfachen von e sein muss
> und somit [mm]\not\in\IQ[/mm]
richtig
> [mm](v=1,v=\pi)[/mm]
> l.u. analog zur Aufgabe davor
richtig
> (v=1,v=1+i)
> dies müsste, wenn [mm]i\in\IQ,[/mm] l.a. sein
selbst wenn i aus Q wäre müsste ja 1+i auch aus Q sein.Kennst du komplexe Zahlen denn gar nicht?
> Könnte jemand bitte trotzdem noch auf meine vorherigen
> Fragen 1-3 antworten, diese beziehen sich noch auf den
> Vektorraum über [mm]\IR.[/mm]
hab ich als 2 te Antwort geschrieben, da man direkt besser zitieren kann.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 10.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Was die komplexen Zahlen angeht bin ich mir leider, wie man merkt, sehr unsicher.
So ein letztes Mal werde ich jetzt auflisten, was meiner Meinung nach linear abhängig und unabhängig ist, um das Thema abschließen zu können:
Vektorraum über [mm] \IR [/mm]
linear abhängig:
1) (v=1,v=i) und (v=i,v=e) Wie ist das mit den komplexen Zahlen, wenn der Vektorraum über [mm] \IR [/mm] ist? Sorry, da bin ich mir halt unsicher.
2) (v=i,v=i)
linear unabhängig:
1) (v=1,v=1+i)
Vektorraum über [mm] \IQ [/mm]
linear abhängig:
1) (v=1,v=1)
linear unabhängig:
Hier sind immer 3 Vektoren angegeben, ist die Familie somit linear unabhängig, sobald einer der Vektoren, nichtmehr l.a. zu einem der anderen beiden ist?
z.B.
(v=1,v=i,v=1)
(v=1,v=i,v=i)
(v=1,v=i,v=e)
[mm] (v=1,v=i,v=\pi)
[/mm]
(v=1,v=i,v=1+i)
Da in allen Familien die Vektoren v=1 und v=i vorkommen, die l.u. sind, habe ich erstmal angenommen, dass alle genannten Familien l.u.
Liege ich damit wirklich richtig?
Jetzt habe ich noch eine neue Frage:
Wie erkenne ich, ob jeweils 3 Vektoren, die eine Familie bilden, eine Basis von V bilden? Sowohl im Vektorraum über [mm] \IR, [/mm] als auch über [mm] \IQ?
[/mm]
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 So 10.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Was die komplexen Zahlen angeht bin ich mir leider, wie man
> merkt, sehr unsicher.
> So ein letztes Mal werde ich jetzt auflisten, was meiner
> Meinung nach linear abhängig und unabhängig ist, um das
> Thema abschließen zu können:
>
> Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
>
> linear abhängig:
> 1) (v=1,v=i) und (v=i,v=e) Wie ist das mit den komplexen
> Zahlen, wenn der Vektorraum über [mm]\IR[/mm] ist? Sorry, da bin
> ich mir halt unsicher.
in deiner ursprünglichen aufgabe kan v=i doch nicht vor?
[mm] v_1=1,v_2=e [/mm] linear abh weil [mm] v_2=e*v_1 [/mm] e reell
aber [mm] v_1=1 v_2=i [/mm] lin. unabh. weil es keine reelle Zahl gibt mit r*1=i
aus demselben Grund [mm] v_1=i v_2=e [/mm] lin unabh.
> 2) (v=i,v=i)
richtig weil gleich
>
> linear unabhängig:
> 1) (v=1,v=1+i)
richtig
> Vektorraum über [mm]\IQ[/mm]
>
> linear abhängig:
> 1) (v=1,v=1)
>
> linear unabhängig:
> Hier sind immer 3 Vektoren angegeben, ist die Familie
> somit linear unabhängig, sobald einer der Vektoren,
> nichtmehr l.a. zu einem der anderen beiden ist?
> z.B.
> (v=1,v=i,v=1)
2 lin abh, (1 und 1, der dritte i lin unabh.
> (v=1,v=i,v=i)
dasselbe i,i lin abh. 1 unabh davon
> (v=1,v=i,v=e)
3 lin. unabh.
> [mm](v=1,v=i,v=\pi)[/mm]
3lin unabh.
> (v=1,v=i,v=1+i)
3 lin unabh.
> Da in allen Familien die Vektoren v=1 und v=i vorkommen,
> die l.u. sind, habe ich erstmal angenommen, dass alle
> genannten Familien l.u.
> Liege ich damit wirklich richtig?
>
>
> Jetzt habe ich noch eine neue Frage:
> Wie erkenne ich, ob jeweils 3 Vektoren, die eine Familie
> bilden, eine Basis von V bilden? Sowohl im Vektorraum über
> [mm]\IR,[/mm] als auch über [mm]\IQ?[/mm]
Du musst die Dimension von v bestimmen. was du eine "familie nennst weiss ich nicht.
wenn die Dimension des VR n ist bilden irgendwelche n linear unabh. vektoren eine Basis des VR
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Mo 11.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Nochmal zum Verständnis: Mit Familie meine ich einfach die drei gegebenen Vektoren.
Und wie bestimme ich die Dimension des Vektorraums? :S
Könnte mir das jemand an folgendem Beispiel demonstrieren?
Vektorraum über [mm] \IR
[/mm]
[mm] (v=\pi,v=1+i,v=1)
[/mm]
Vielen Dank, Paula.
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> Nochmal zum Verständnis: Mit Familie meine ich einfach die
> drei gegebenen Vektoren.
> Und wie bestimme ich die Dimension des Vektorraums? :S
Hallo,
die Dimension eines Vektorraumes bestimmt man, indem man eine Basis des Raumes nimmt und nachzählt, wieviele Elemente sie enthält.
>
> Könnte mir das jemand an folgendem Beispiel
> demonstrieren?
>
> Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
>
> [mm](v=\pi,v=1+i,v=1)[/mm]
Was Du wohl meinst?
Den von den drei Vektoren [mm] v_1=\pi, v_2=1+i, v_3=1 [/mm] erzeugten Vektorraum?
Falls ja: [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] ist ein Erzeugendensystem dieses Raumes.
Es ist nun eine maximale linear unabhängige Teilmenge zu finden. Dann haben wir nämlich eine Basis.
Die drei Vektoren sind offensichtlich nicht linear unabhängig. (Warum?)
Beh.: [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind linear unabhängig. (Beweis?)
Also ist [mm] (v_1, v_2) [/mm] eine Basis des von [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] erzeugten Raumes, welcher damit die Dimension 2 hat (und damit der VR [mm] \IC [/mm] über [mm] \IR [/mm] ist. Warum?)
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank, Paula.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 10.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal
> 1)
> Kann ich somit auch verallgemeinern, dass wenn einer der
> beiden Vektoren v=1 ist, die Vektoren linear abhängig
> sind?
nein, 1+i etwa nicht, nur alle vektoren , die aus einer reellen Zahl bestehen.
> 2)
> Und zweimal der gleiche Vektor bedeutet somit doch auch
> direkt, dass eine lineare Abhängigkeit besteht, oder?
ja
> 3)
> Wenn ein Vektor nur aus einer Variable besteht, z.B. v=i,
> ist er dann nicht auch zu jedem Vektor linear abhängig,
> wenn dieser aus einer reelen Zahl besteht? Z.B. (v=i, v=2)
Nein, denn i ist eine komplexe Zahl , es gibt keine reelle Zahl r mit r1=i
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 10.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank.
Noch eine kleine Frage zu 3)
Somit sind also auch folgende Familien lienar unabhängig?
[mm] (v=i,v=\pi)
[/mm]
(v=i,v=1)
Und wie sieht das bei (v=i,v=1+i) aus?
Viele Grüße, Paula
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Hallo paula_88,
> Vielen Dank.
>
> Noch eine kleine Frage zu 3)
>
> Somit sind also auch folgende Familien lienar unabhängig?
> [mm](v=i,v=\pi)[/mm]
> (v=i,v=1)
Ja.
>
> Und wie sieht das bei (v=i,v=1+i) aus?
Ebenfalls linear unabhängig.
>
> Viele Grüße, Paula
Gruss
MathePower
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