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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - lineare DGL, allgemein
lineare DGL, allgemein < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lineare DGL, allgemein: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Di 06.05.2014
Autor: jayw

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die lineare DGL
[mm] y'' + a_1 * y' + a_0 * y = b_0 * sin(\Omega x) + b_1 * cos(\Omega x) ( \Omega\ne 0) [/mm]
eine Lösung der Form
[mm] y_p(x) = x (k_0 * sin(\Omega x) + k_1 * cos(\Omega x)) [/mm]
besitzt, falls [mm] j\Omega [/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der DGL ist. Bestimmen Sie [mm] k_0 [/mm] und [mm] k_1 [/mm] für eine solche Lösung.





Hi, bitte schaut mal auf meine Rechnung, leider komme ich überhaupt nicht weiter und würde gern wissen ob man mit meinem Ansatz überhaupt weiter kommt und falls ja, wie :)
Siehe Anhang.
(Ich habe die gegebenen [mm] a_1 [/mm] und [mm] b_1 [/mm] usw. in [mm] A_1, B_1 [/mm] ... umbenannt)

Hinweis für Nicht-E-Techniker: j=i ;)

Mfg

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
lineare DGL, allgemein: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Di 06.05.2014
Autor: MathePower

Hallo jayw,

> Zeigen Sie, dass die lineare DGL
>  [mm]y'' + a_1 * y' + a_0 * y = b_0 * sin(x) + b_1 * cos(x) ( \Omega\ne 0)[/mm]
>  
> eine Lösung der Form
>  [mm]y_p(x) = x (k_0 * sin(x) + k_1 * cos(x))[/mm]
>  besitzt, falls
> [mm]j\Omega[/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der
> DGL ist. Bestimmen Sie [mm]k_0[/mm] und [mm]k_1[/mm] für eine solche
> Lösung.
>  
> Hi, bitte schaut mal auf meine Rechnung, leider komme ich
> überhaupt nicht weiter und würde gern wissen ob man mit
> meinem Ansatz überhaupt weiter kommt und falls ja, wie :)


Da [mm]j*\Omega[/mm] Lösung des charakteristischen Polynoms der DGL ist,
ist auch [mm]-j*\Omega[/mm] Lösung des charakteristischen Polynoms der DGL .


Damit lautet die homogene DGL:

[mm]y''+0*y'+\Omega^{2}*y=0[/mm]

Entsprechend die inhomogene DGL:

[mm]y''+0*y'+\Omega^{2}*y=b_0 * sin(x) + b_1 * cos(x)[/mm]

Jetzt setze den obigen Ansatz ein.

Dann vergleiche die Koeffizienten von [mm]\sin\left(x\right), \ \cos\left(x\right), x*\sin\left(x\right), \ x* \cos\left(x\right)[/mm]


> Siehe Anhang.
>  (Ich habe die gegebenen [mm]a_1[/mm] und [mm]b_1[/mm] usw. in [mm]A_1, B_1[/mm] ...
> umbenannt)
>  
> Hinweis für Nicht-E-Techniker: j=i ;)
>  
> Mfg


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
lineare DGL, allgemein: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Di 06.05.2014
Autor: jayw

Danke! Guckst du nochmal drauf?

-> Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
lineare DGL, allgemein: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Di 06.05.2014
Autor: MathePower

Hallo jayw,

> Danke! Guckst du nochmal drauf?
>  


Soweit alles ok.
Bleibt nur die Frage, für welches [mm]}\Omega[/mm] dies gilt.


> -> Anhang


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
lineare DGL, allgemein: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Mi 07.05.2014
Autor: jayw


> Soweit alles ok.
>  Bleibt nur die Frage, für welches [mm]}\Omega[/mm] dies gilt.

Für alle [mm] \Omega \ne [/mm] 0? Ich mag diese Beweise irgendwie nicht :)



Bezug
                                        
Bezug
lineare DGL, allgemein: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mi 07.05.2014
Autor: MathePower

Hallo jayw,


>
> > Soweit alles ok.
>  >  Bleibt nur die Frage, für welches [mm]}\Omega[/mm] dies gilt.
>  
> Für alle [mm]\Omega \ne[/mm] 0? Ich mag diese Beweise irgendwie
> nicht :)
>  


Ganz bestimmt nicht.

Die Störfunktion (rechte Seite der DGL) lautet    [mm]b_{0}*\sin\left(x\right)+b_{1}*\cos\left(x\right)[/mm]

Nach Deiner Rechnung lautet die Störfunktion [mm]b_{0}*\sin\left(\blue{\Omega}x\right)+b_{1}*\cos\left(\blue{\Omega}x\right)[/mm]

Die zu behandelnde DGL lautet doch:

[mm]y''+\Omega^{2}*y=b_{0}*\sin\left(x\right)+b_{1}*\cos\left(x\right)[/mm]

Hier ist dann mit

[mm]y_p(x) = x (k_0 \cdot{} sin(x) + k_1 \cdot{} cos(x)) [/mm]

anzusetzen und dies in die DGL einzusetzen.

Durch Koeffitzientenvergleich ergeben sich einige Bedingungsgleichungen.
Daraus ist auch das [mm]\Omega[/mm] zu ermitteln.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
lineare DGL, allgemein: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Do 08.05.2014
Autor: jayw

Ach verdammt, ich sehe gerade das der Formeleditor die Omegas unterschlagen hat. Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass die lineare DGL
[mm] y'' + a_1 * y' + a_0 * y = b_0 * sin(\Omega x) + b_1 * cos(\Omega x) ( \Omega\ne 0) [/mm]
eine Lösung der Form
[mm] y_p(x) = x (k_0 * sin(\Omega x) + k_1 * cos(\Omega x)) [/mm]
besitzt, falls [mm] j\Omega [/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der DGL ist. Bestimmen Sie [mm] k_0 [/mm] und [mm] k_1 [/mm] für eine solche Lösung.

Passt das dafür?

Bezug
                                                        
Bezug
lineare DGL, allgemein: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Do 08.05.2014
Autor: leduart

Hallo
ja alles richtig
Gruß leduart

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