lineare DGL konst Koeffizie... < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Frage stellt sich für mich im Zusammenhang mit dem Fach Systemdynamik (Regelungstechnik).
Oft besteht die Aufgabe darin:
Übertragungselemente also "Einzelsysteme", welche durch eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden zusammenzufassen zu einem "Gesamtsystemt" also einem einzigen Übertragungselement, dass wieder nur durch eine DGl mit k. Koeffizienten beschrieben wird.
Dabei stellt sich mir allgemein die Frage, kann ich, wenn n lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten und n unbekannten Funktionen vorliegen, immer die unbekannten Funktionen bestimmen, egal mit wievielen Ableitungen sie auftreten.
Und weiterführend könnte ich dieses DGL System umformen in eine einzige DGL mit nur einer unbekannten Funktion, wobei diese eine beliebige der unbekannten Funktionen sein kann?
Leider dazu in Mathe 3 Skript für Ingenieure nichts gefunden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dankbar um jede Antwort.
Grüße
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Hallo prinzgruen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Frage stellt sich für mich im Zusammenhang mit dem
> Fach Systemdynamik (Regelungstechnik).
> Oft besteht die Aufgabe darin:
> Übertragungselemente also "Einzelsysteme", welche durch
> eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten beschrieben
> werden zusammenzufassen zu einem "Gesamtsystemt" also einem
> einzigen Übertragungselement, dass wieder nur durch eine
> DGl mit k. Koeffizienten beschrieben wird.
>
> Dabei stellt sich mir allgemein die Frage, kann ich, wenn n
> lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten und n unbekannten
> Funktionen vorliegen, immer die unbekannten Funktionen
> bestimmen, egal mit wievielen Ableitungen sie auftreten.
Die Funktionen kannst Du immer bestimmen.
> Und weiterführend könnte ich dieses DGL System umformen
> in eine einzige DGL mit nur einer unbekannten Funktion,
> wobei diese eine beliebige der unbekannten Funktionen sein
> kann?
Auch das ist möglich.
Das siehst Du am besten an einem Beispiel:
Liegt folgendes DGL-System vor:
[mm]\pmat{x \\ y}'=\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}*\pmat{x \\ y}[/mm]
Das ist gleichbedeutend mit
[mm]x'=a_{11}*x+a_{12}*y[/mm]
[mm]y'=a_{21}*x+a_{22}*y[/mm]
Daraus soll eine DGL für x enstehen. Damit muss entweder
[mm]a_{12}[/mm] oder [mm]a_{22}[/mm] von Null verschieden sein.
Ist z.B [mm]a_{12} \not=0[/mm] dann ist die Gleichung
[mm]x'=a_{11}*x+a_{12}*y[/mm]
nach y aufzulösen, dieses dann zu differenzieren
und in
[mm]y'=a_{21}*x+a_{22}*y[/mm]
einzusetzen.
Ähnlich geht das, wenn die Matrizen größer sind.
> Leider dazu in Mathe 3 Skript für Ingenieure nichts
> gefunden.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Dankbar um jede Antwort.
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Do 23.12.2010 | | Autor: | prinzgruen |
Danke, damit ist alles beantwortet.
Grüße
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