lineare Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear bzw. lässt sich durch elementar in eine solche umformen? Jeweils kurze Begründung!
i) [mm] x`=t^2*x+sin(t) [/mm]
ii) [mm] x`=t^2+sin(x)
[/mm]
iii) xx`=t
iv) [mm] \bruch{x`}{x}=t^2
[/mm]
b) Benutzen Sie soweit wie möglich die Methode "Variation der Konstanten", um die DGL zu lösen. Begründen Sie, warum Sie ihre Rechnung an der entsprechenden Stelle abgebrochen haben. Wie kann man die gesuchte Lösung stattdessen berechnen?
[mm] x`=t^2*x^2+t^2 [/mm] |
a) eine lineare DGL hat folgende Form:
[mm] x'(t)=g(t)\*x(t)+y(t)
[/mm]
dies trifft auf i) zu. ii) ist nicht linear weil das x(t) fehlt, iii) ist ebenfalls nicht linear weil es dfolgende form hat
[mm] x'(t)=\bruch{g(t)}{x(t)}
[/mm]
iv) ist linear. es fehlt zwar das y(t), aber eine gleichung ist auch ohne den startwert y(t) linear
ich möchte wissen ob das richtig ist und vor allem ob die Begründungen reichen
|
|
| |
|
Hallo,
> a) Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear
> bzw. lässt sich durch elementar in eine solche umformen?
> Jeweils kurze Begründung!
>
> i) [mm]x'=t^2*x+sin(t)[/mm]
>
> ii) [mm]x'=t^2+sin(x)[/mm]
>
> iii) xx'=t
>
> iv) [mm]\bruch{x'}{x}=t^2[/mm]
>
>
> b) Benutzen Sie soweit wie möglich die Methode "Variation
> der Konstanten", um die DGL zu lösen. Begründen Sie,
> warum Sie ihre Rechnung an der entsprechenden Stelle
> abgebrochen haben. Wie kann man die gesuchte Lösung
> stattdessen berechnen?
>
> [mm]x'=t^2*x^2+t^2[/mm]
> a) eine lineare DGL hat folgende Form:
>
> [mm]x'(t)=g(t)\*x(t)+y(t)[/mm]
>
> dies trifft auf i) zu. ii) ist nicht linear weil das x(t)
> fehlt, iii) ist ebenfalls nicht linear weil es dfolgende
> form hat
>
> [mm]x'(t)=\bruch{g(t)}{x(t)}[/mm]
>
> iv) ist linear. es fehlt zwar das y(t), aber eine gleichung
> ist auch ohne den startwert y(t) linear
>
> ich möchte wissen ob das richtig ist und vor allem ob die
> Begründungen reichen
Meiner Ansicht nach ist alles richtig bis auf die ii). Wenn g(t) die Nullfunktion ist, dann entspricht auch die ii) deiner Definition. Außerdem nennt man solche Gleichungen ja nicht aus Jux und Dollerei linear sondern diese Eigenschaft hat ja auch essentiell mit der Lösbarkeit bzw. (sofern diese gegeben ist) mit dem Lösungsweg zu tun. Insofern habe ich das immer im Sinn von höchstens linear verstanden, man korrigiere mich bitte, wenn ich da falsch liege.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
b) [mm] x'=t^2*x^2+t
[/mm]
homogene Lösung:
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2} dx}=\integral{t^2 dt}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{x}=\bruch{1}{3}t^3+C
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}=-\bruch{1}{3}t^3-C
[/mm]
x(t) = [mm] \bruch{1}{-\bruch{1}{3}t^3-C}
[/mm]
inhomogene Lösung:
konstante variieren: x(t) = [mm] \bruch{1}{-\bruch{1}{3}t^3-C(t)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
x'(t) = [mm] \bruch{1}{(\bruch{1}{3}t^3+C(t))^2}*(-C'(t)-t^2)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(\bruch{1}{3}t^3+C(t))^2}*(-C'(t)-t^2)=t^2*(\bruch{1}{-\bruch{1}{3}t^3-C(t)})^2+t
[/mm]
ich denke das ich hier aufhören kann. normalerweise sollte sich hier einiges weg kürzen. aber hier kürzt sich kaum was. das liegt wohl daran, dass die DGL nicht linear ist.
jetzt muss ich für die aufg. wissen wie die DGL stattdessen lösbar ist?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> b) [mm]x'=t^2*x^2+t[/mm]
>
Wie heißt denn das jetzt am Ende, t (so wie hier) oder [mm] t^2 [/mm] (so wie im Themenstart)? Das ist nämlich ziemlich entscheidend für eine Antwort.
> homogene Lösung:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x^2} dx}=\integral{t^2 dt}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{x}=\bruch{1}{3}t^3+C[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x}=-\bruch{1}{3}t^3-C[/mm]
>
> x(t) = [mm]\bruch{1}{-\bruch{1}{3}t^3-C}[/mm]
>
> inhomogene Lösung:
>
> konstante variieren: x(t) =
> [mm]\bruch{1}{-\bruch{1}{3}t^3-C(t)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> x'(t) = [mm]\bruch{1}{(\bruch{1}{3}t^3+C(t))^2}*(-C'(t)-t^2)[/mm]
IMO ist hier ein Vorzeichenfehler!
>
>
> [mm]\bruch{1}{(\bruch{1}{3}t^3+C(t))^2}*(-C'(t)-t^2)=t^2*(\bruch{1}{-\bruch{1}{3}t^3-C(t)})^2+t[/mm]
>
> ich denke das ich hier aufhören kann. normalerweise sollte
> sich hier einiges weg kürzen. aber hier kürzt sich kaum
> was. das liegt wohl daran, dass die DGL nicht linear ist.
>
> jetzt muss ich für die aufg. wissen wie die DGL
> stattdessen lösbar ist?
Für den Fall, dass die DGL so heißt wie im Themenstart (was ich vermute): faktorisiere die rechte Seite geeignet und führe eine Trennung der Variablen durch.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
