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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mi 23.11.2011 | | Autor: | hula |
Guten Abend!
Ich habe folgende Frage:
Wenn ich einen Vektorraum $ V $ habe, nicht zwingend endlich dimensional, und einen Teilraum $ M $, sowie eine lineare Abbildung $ f: M [mm] \to [/mm] V $. Wie kann ich diese Abbildung linear fortsetzen?
Ich wäre sehr an einem Beweis interessiert. Falls es diesen online gibt, bin ich auch für eine Referenz dankbar.
greetz
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
geht es nicht etwas konkreter? Warum gilt deine Abb. nicht auf ganz V?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Mi 23.11.2011 | | Autor: | hula |
Naja, weil sie halt nur auf einem Teilraum definiert ist. Das ganze spielt in einem Beweis, in dem nichts konkret gegeben ist! Es geht um folgenden Satz
Seien $ [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] $ Vektorräume, $ f: [mm] E_1 \to E_3 [/mm] , [mm] g:E_1 \to E_2 [/mm] $ lineare Abbildungen. Dann existiert eine lineare Abbildung $ h: [mm] E_2 \to E_3 [/mm] $ mit f(x)= h(g(x)) genau dann wenn $ [mm] g^{-1}(0) \subset f^{-1}(0)$.
[/mm]
Den Beweis verstehe ich, für die eine Richtung definiert man die Abbildung $ h: [mm] g(E_1) \to E_3 [/mm] $ nach $ h(g(x)) := f(x) $. Zeigt das dies wohldefiniert ist etc, und dann steht am Schluss, wie oben erwähnt: Extend $ h $ to a linear map on $ [mm] E_2 [/mm] $.
Nun will ich wissen, wieso das geht, resp. wie man das macht. Wie gesagt, die Räume müssen nicht endlich dimensional sein.
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend!
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> Ich habe folgende Frage:
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> Wenn ich einen Vektorraum [mm]V[/mm] habe, nicht zwingend endlich
> dimensional, und einen Teilraum [mm]M [/mm], sowie eine lineare
> Abbildung [mm]f: M \to V [/mm]. Wie kann ich diese Abbildung linear
> fortsetzen?
> Ich wäre sehr an einem Beweis interessiert. Falls es
> diesen online gibt, bin ich auch für eine Referenz
> dankbar.
>
Verschaffe Dir einen Komplementärraum zu M, also einen Unterraum N von V mit
$V=M [mm] \oplus [/mm] N$
Definiere $h:V [mm] \to [/mm] V$ wie folgt: ist v [mm] \in [/mm] V , so gibt es eindeutig bestimmte x [mm] \in [/mm] M und y [mm] \in [/mm] N mit v=x+y.
setze h(v):=f(x).
Dann ist h linear und es ist f=h auf M.
FRED
> greetz
>
> hula
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